2023-2024学年广东省揭阳市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}则(∁UA)∪B=( )
A. {3}B. {4,5}C. {1,3,4,5,6}D. {2,3,4,5,7}
2.已知条件p：2x−4>0，条件q：x2−5x+6<0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)⋅xm2−m−3在区间(0,+∞)上单调递减，则m=( )
A. −1B. 3C. 1或−3D. −1或3
4.函数f(x)=lnx+x−4的零点所在的大致区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
5.若sin(α+π6)=13，则sin(2α+5π6)=( )
A. 79B. 13C. 89D. 23
6.已知e是自然对数的底数，设a=lge,b=2−12,c=lg130.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. c7.鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表.除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”.如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线.下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是( )
A. y=|x|+ 1−x22及y=|x|− 1−x22
B. y=x+ 1−x22及y=x− 1−x22
C. y=|x|+ 1+x22及y=|x|− 1+x22
D. y=x+ 1+x22及y=x− 1+x22
8.已知函数f(x)=sinx+ 3csx(x∈R)，先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为( )
A. π9B. π3C. 5π18D. 2π3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数y=f(x)的定义域为[−1,5]，其图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)的单调递减区间为(0,2)B. f(x)的最大值为2
C. f(x)的最小值为−1D. f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(2,5)
10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−12,2)，则下列结论正确的是( )
A. a>0B. b>0C. c>0D. a+b+c<0
11.下列说法正确的是( )
A. 如果α是第一象限的角，则−α是第四象限的角
B. 如果α，β是第一象限的角，且α<β则sinαC. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为2π3
D. 若圆心角为2π3的扇形的弦长为4 3，则该扇形弧长为8π3
12.下列结论正确的有( )
A. 函数y=x2+10 x2+9的最小值为2
B. 函数f(x)=lga(2x−1)+1(a>0且a≠1)的图像恒过定点(1,1)
C. f(x)=lg2(x2−mx+1)的定义域为R，则m∈(−∞,−2)∪(2,+∞)
D. f(x)=lg2(x2−mx+1)的值域为R，则m∈(−∞,−2]∪[2,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x+1)=2x2+1，则f(x)=______.
14.已知命题p：∀x∈R，x2+x+a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.
15.函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且当x∈(0,+∞)时，f(x)=2x，那么f(lg215)=______.
16.已知函数f(x)=2−x,x≤0ln1x,x>0,g(x)=f(x)−x−a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求值：(214)12−(18)13−( 2−1)0+12lg25+lg2；
(2)已知tanα=−43，求2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(3π2−α)+cs(−α)的值.
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213.
(1)求cs2α的值；
(2)求sin(α+β)的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga1+x1−x(a>0且a≠1)的图象过点(12,1).
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合；
(2)令g(x)=f(x+π8)−1，若g(x)21.(本小题12分)
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本P(x)(单位：万元)，且P(x)=10x2+100x,0(1)求2023年的利润C(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
22.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数.
(1)求实数a的值.
(2)试判断f(x)的单调性，并用定义证明.
(3)解关于x的不等式f(4x)−f(9×2x−8)>0.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，
∴∁UA={1,3,6}，
∵B={3,4,5}
∴(∁UA)∪B={1,3,4,5,6}.
故选：C.
根据补集与并集的定义，进行计算即可．
本题考查了补集与并集的定义与应用问题，是基础题目．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件，考查不等式以及集合问题，属于基础题．
解不等式，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】
解：由2x−4>0，解得：x>2；
由x2−5x+6<0，解得：2则p是q的必要不充分条件，
故选：B.
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)是幂函数，所以m2−2m−2=1，解得m=−1或3；
当m=−1时，m2−m−3=−1,f(x)=1x在(0,+∞)上单调递减，符合题意，
当m=3时，m2−m−3=3，f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增，不符合题意，
综上，m=−1符合题意．
故选：A.
根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lnx+x−4是连续的增函数，
∵f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3−1>0，
∴函数的零点所在的区间为(2,3)，
故选：B.
由函数的解析式可得f(2)<0，f(3)>0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由sin(α+π6)=13，
则sin(2α+5π6)=sin[π2+2(α+π6)]
=cs2(α+π6)
=1−2sin2(α+π6)
=1−2×(13)2
=79.
故选：A.
利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．
本题考查了诱导公式和二倍角公式应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为y=lgx在(0,+∞)上递增，e< 10，则a=lge又y=lg13x在(0,+∞)上递减，0.2<13，则c=lg130.2>lg1313=1，
而b=2−12= 22∈(12,1)，
所以a故选：D.
根据对数函数的单调性即可得出lge<12,lg130.2>1，而b= 22∈(12,1)，这样即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为图形为轴对称图形，
所以x与−x对应的y值相等，故函数为偶函数，只有A、C选项中函数均为偶函数，故排除B、D；
根据图象可知为封闭图形，x的定义域有限，C中y=|x|+ 1+x22及y=|x|− 1+x22定义域均为R，不符合题意．
故选：A.
根据图形的对称性与定义域特点选择合适的函数．
本题考查曲线方程以及函数的图象，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两角和的正弦公式的应用，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得θ的最小值．
【解答】
解：函数f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)(x∈R)，
先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，可得y=2sin(3x+π3)的图象；
再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=2sin(3x−3θ+π3)的图象；
根据得到的图象关于y轴对称，可得−3θ+π3=kπ+π2，k∈Z，
即θ=−kπ3−π18且θ>0，令k=−1，可得θ的最小值为5π18，
故选：C.
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由图象可知：f(x)的单调递减区间为(0,2)，A正确；
对于B，当x=0时，f(x)max=3，B错误；
对于C，当x=2时，f(x)min=−1，C正确；
对于D，由图象可知：f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(2,5)，D正确．
故选：ACD.
根据图象直接判断单调区间和最值即可．
本题主要考查了函数图象的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(−12,2)，
故y=ax2+bx+c的图像开口向下，所以a<0，故A错误；
由题意得x=2，x=−12是方程ax2+bx+c=0的两个根，则ca=−1<0,−ba=32>0，
又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；
因为x=1∈(−12,2)，所以a+b+c>0，故D错误．
故选：BC.
由已知结合二次不等式与二次函数的转化关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次不等式与二次函数及二次方程转化关系的应用，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为α是第一象限的角，则−α是与α旋转方向相反、大小相等的角，
所以−α是第四象限的角，故选项A正确；
因为α，β是第一象限的角，且α<β，不妨取α=−5π3,β=π6，
则sinα= 32,sinβ=12，所以sinα>sinβ，故选项B错误；
因为圆心角为π3的扇形的弧长为π，所以扇形的半径为r=ππ3=3，
则扇形的面积为12×π×3=3π2，故选项C错误；
圆心角为2π3的扇形的弦长为4 3，所以扇形的半径为r=12×4 3sinπ3=4，
则扇形的弧长为2π3×4=8π3，故选项D正确．
故选：AD.
利用象限角和负角的定义判断选项A，利用象限角与三角函数的关系选择特殊角判断选项B，利用扇形的弧长公式和面积公式判断选项C、D，即得到答案．
本题考查命题真假的判断，涉及了任意角与象限角的定义、三角函数值大小的比较、扇形的面积公式与弧长公式的应用，要熟练掌握扇形的弧长公式：l=|α|r，扇形的面积公式：S=12lr，属基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：A中，y=x2+10 x2+9=x2+9+1 x2+9= x2+9+1 x2+9，令t= x2+9≥3，
设g(t)=t+1t在[3,+∞)上单调递增，所以g(t)≥g(3)=3+13=103，即函数y的最小值为103，故A错误；
B中，令2x−1=1，即x=1，则f(1)=lga1+1=1，
则函数f(x)=lga(2x−1)+1(a>0且a≠1)的图像恒过定点(1,1)，故B正确；
C中，若f(x)=lg2(x2−mx+1)的定义域为R，则x2−mx+1>0在R上恒成立，
所以Δ=(−m)2−4<0，解得−2D中，若f(x)=lg2(x2−mx+1)的值域为R，则方程x2−mx+1=0在R上有解，
所以Δ=(−m)2−4≥0，解得m∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，故D正确．
故选：BD.
A中，将函数整理，换元，g(t)=t+1t在[3,+∞)上单调递增，可得函数的最小值，判断出A的真假；B中，由对数函数恒过的定点的条件，可得函数过的定点的坐标，判断出B的真假；C中，由函数的定义域为R，可得真数大于0恒成立，可得m的范围，判断出C的真假；D中，由函数的值域为R可知方程x2−mx+1=0在R上有解，可得m的范围，判断出D的真假．
本题考查基本不等式的性质的应用及函数恒过定点的求法，属于基础题．
13.【答案】2x2−4x+3
【解析】解：令t=x+1，则x=t−1
故有f(t)=2(t−1)2+1=2t2−4t+3
所以f(x)=2x2−4x+3
故答案为 2x2−4x+3
由题设，本题已知复合函数f(x+1)=2x2+1的解析式，求外层函数的解析式，解题的方法是换元法，令t=x+1代入换元即可
本题考查函数解析式的求解及常用方法，由于本题中已知复合函数的解析式与内层函数的解析式，求外层函数解析式，要用换元法求解，其具体步骤是令内层函数为t，解出t表示的x的解析式，代入复合函数解析求出f(t)，由于习惯用x表示自变量，再将t换成x即可得到外层函数的解析式，在新教材实验区，复合函数已经弱化，求外层函数的解析式的题型已经不做要求
14.【答案】{a|a≤14}
【解析】解：命题p：∀x∈R，x2+x+a≠0的否定命题¬p为：∃x∈R，x2+x+a=0，
因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，
所以Δ=12−4a≥0，解得a≤14.
故答案为：{a|a≤14}.
根据命题与命题的否定的真假关系求解．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(lg215)=f(lg25)=2lg25=5.
故答案为：5.
由已知结合函数的奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】[1,+∞)
【解析】解：令g(x)=0可得f(x)=x+a，
作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象如下图所示：
当a≥1时，函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点，
此时，函数y=g(x)有2个零点．因此，实数a的取值范围是[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
同一坐标系内画出函数f(x)与y=x+a的图象，则问题转化为当y=f(x)与y=x+a的图象有两个交点时，求a的取值范围的问题，据此求解．
本题考查函数的零点、方程的根以及两函数图象交点间的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)(214)12−(18)13−( 2−1)0+12lg25+lg2
=(94)12−((12)3)13−1+(lg5+lg2)
=32−12−1+1
=1；
(2)因为tanα=−43，
所以原式=2sinα+csα−sinα+csα=2tanα+11−tanα=−57.
【解析】(1)利用指数函数和对数函数的运算性质即可求解；
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的运算性质，考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为锐角α的终边与单位圆交于A两点，且点A的横坐标是35，
所以csα=35，
所以cs2α=2cs2α−1=2×925−1=−725；
(2)因为在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，
所以csα=35，sinβ=1213，
所以sinα= 1−cs2α= 1−925=45，
csβ=− 1−sin2β=− 1−144169=−513，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ
=45×(−513)+35×1213=1665.
【解析】(1)根据题意结合任意角三角函数的定义求出csα的值，然后利用二倍角公式可求得答案；
(2)根据题意结合任意角三角函数的定义求出csα，sinβ的值，再利用同角三角函数的关系求出sinα，csβ，然后利用两角和的正弦公式可求得结果．
本题主要考查了三角函数的定义、两角和的正弦公式及向量的数量积的性质及数量积的定义的简单应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知函数f(x)=lga1+x1−x(a>0且a≠1)的图象过点(12,1)，
∴lga3=1，即a=3.
又1+x1−x>0，即(1+x)(1−x)>0，
解得−1∴f(x)的定义域为(−1,1).
(2)f(x)为奇函数，理由如下：
由(1)知：f(x)=lg31+x1−x，
f(x)的定义域为(−1,1)，定义域关于原点对称，
又f(x)+f(−x)=lg31+x1−x+lg31−x1+x=lg31=0，即f(x)=−f(−x)，
∴f(x)为奇函数．
【解析】(1)代点求值，对数真数大于0求定义域．
(2)先求定义域是否关于原点对称，再判断f(x)、f(−x)的关系．
本题主要考查了函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=2sinxcsx+2cs2x=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1，
其最小正周期是T=2π2=π，
又当2x+π4=−π2+2kπ，(k∈Z)，即x=kπ−3π8(k∈Z)时，
∴函数f(x)的最小值为1− 2，此时x的集合为{x|x=kπ−3π8,k∈Z}；
(2)由题意可得g(x)=f(x+π8)−1= 2sin[2(x+π8)+π4]+1−1= 2cs2x.
∵−π6≤x≤π3，∴−π3≤2x≤2π3，
故当x=0时，g(x)有最大值为 2，
即 22+ 2，
故实数a的取值范围是(2+ 2,+∞).
【解析】本题考查了不等式的恒成立问题，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 ，二倍角公式及两角和的正弦公式，属于中档题．
(1)根据二倍角公式及两角和的正弦公式，将函数f(x)化成f(x)= 2sin(2x+π4)+1，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期和最小值，计算得结论；
(2)由题意求得g(x)= 2cs2x，根据x的范围求得2x的范围，由此求得g(x)的最大值 2，即可得 221.【答案】解：(1)∵P(x)=10x2+100x,0∴当0当x≥40时，C(x)=500x−501x−10000x+4500−2500=2000−(x+10000x)，……………(4分)
故C(x)=−10x2+400x−2500,0(2)由(1)得C(x)=−10x2+400x−2500,0当0∴C(x)max=C(20)=1500；…………………………………(8分)
当x≥40时，C(x)=2000−(x+10000x)≤2000−2 x⋅10000x=2000−200=1800，
当且仅当x=10000x，即x=100时等号成立，故C(x)mxx=C(100)=1800.……………………(10分)
∵1800>1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．……(12分)
【解析】(1)根据利润=销售额-成本，分类讨论0(2)根据分段函数的性质，分类讨论0本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是定义域为R的奇函数，所以f(−x)+f(x)=0，
即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1恒成立，
所以a−1=0，解得a=1.
(2)函数f(x)在R上为减函数，
证明如下：
由函数f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x10，又因为(2x1+1)(2x2+1)>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上为减函数．
(3)(2)知，函数f(x)在R上为减函数，
不等式f(4x)−f(9×2x−8)>0可化为f(4x)>f(9×2x−8)，
即22x<9×2x−8，
令2x=t(t>0)，得t2−9t+8<0，解得1即1<2x<8，解得0【解析】(1)根据题意，结合f(−x)+f(x)=0，列出方程，即可求解；
(2)化简f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，结合函数单调性的定义及判定方法，即可求解；
(3)根据题意，把不等式转化为22x>9×2x−8，结合换元法和指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．