2023-2024学年广东省阳江市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年广东省阳江市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,5,a2}，B={1,2a+3}，且B⊆A，则a=( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
2.“不等式ax2+2ax−1<0恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A. −1≤a<0B. a≤0C. −13.已知aA. ac4.已知函数f(x)=(2a−3)x+2,x≤1ax,x>1是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A. 05.设函数f(x)=2f(1x)⋅lgx+1，则f(10)等于( )
A. 35B. 1C. −1D. 10
6.已知函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lg13x|,x>0，若a，b，c，d互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则a+b+c+d的取值范围是( )
A. (−2,3)B. (0,13)C. (−1,2)D. (0,43)
7.设a=20.8,b=(12)−0.9,c=lg0.60.7，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为P(t)=P0e−kt(P0,k是正常数).若经过10h过滤后消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要(参考数据：lg25≈2.322)( )
A. 30hB. 31hC. 32hD. 33h
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列不等式的解集为R的是( )
A. x2+6x+11>0B. x2−3x−3<0
C. −x2+x−2<0D. x2+2 5x+5≥0
10.已知函数f(x)=x|x|+1，则函数具有下列性质( )
A. f(x)为(−∞,+∞)上的奇函数B. f(x)在(−∞,+∞)上是递减函数
C. f(x)的值域为(−1,1)D. f(x)的图象关于(−1,1)对称
11.已知函数f(x)=|ax+1|−|ax−1|(x∈R)，则( )
A. f(x)是R上的奇函数
B. 当a=1时，f(x)<1的解集为(−∞,12)
C. 当a<0时，f(x)在R上单调递减
D. 当a≠0时，y=f(x)值域为[−2,2]
12.若a=20.6，b=40.4，c=30.8，则( )
A. acC. ab三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.关于x的不等式|x−1|+|x−a|≥a的解集是R，则实数a的取值范围是______.
14.已知对任意实数x，不等式ax2+ax+1>0恒成立，则实数a的取值范围是______.
15.已知点(2,1)在函数f(x)=x2+2x,x≤a2x−3,x>a的图像上，且f(x)有最小值，则常数a的一个取值为______.
16.已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)在区间(1,2)内有两个零点，则2m−n的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.
(1)求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集；
(2)求y=b2+(c+1)2a的最小值.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={x|2a−3(1)当a=0时，求A∩B；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在[−2,2]上的偶函数，当0≤x≤2时，f(x)=12x2+x.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(a+1)−f(2a−1)>0，求实数a的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−2−x.
(Ⅰ)判断函数f(x)在(−∞,+∞)上的单调性，并利用单调性定义进行证明；
(Ⅱ)函数g(x)=x2−4x+6，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[0,2]，使得g(x1)=mf(x2)+7−3m成立，求实数m的取值范围.
21.(本小题12分)
为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产x万件，需另投入的流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)=13x2+2x−50(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)=8x+200x−120(万元).每件产品的售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完.
(1)写出年利润Q(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−3x+2.
(1)若a≥12，求f(x)在[1,3]的最小值；
(2)若a≠0，且对于∀x∈(2,4],有f(x)≥−(a+2)x−a成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意：B⊆A，得：2a+3=5或a2=2a+3两种情况，
若2a+3=5，则a=1，此时a2=1，不满足互异性；
若a2=2a+3，则解得a=3或a=−1，显然，a=3符合题意，
而当a=−1时，a2=1，不满足互异性．
综上所述：a=3.
故选：D.
根据集合包含的知识以及元素的互异性可求解．
本题主要考查了集合间的包含关系，考查了元素的特征，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：当a=0时，−1<0恒成立；
当a≠0时，则a<04a2+4a<0，解得−1综上所述，不等式ax2+2ax−1<0恒成立时，−1所以选项中“不等式ax2+2ax−1<0恒成立”的一个充分不必要条件是−1故选：D.
分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解．
本题考查了函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，当c≤0时，由a对于B，由a对于C，当a对于D，当a<0且b>0时，由a故选：B.
根据不等式的基本性质，对各项依次加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的基本性质及其应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=(2a−3)x+2,x≤1ax,x>1是R上的减函数，
所以2a−3<0a>02a−3+2≥a，解得1≤a<32.
故选：B.
由已知结合一次函数及反比例函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2f(1x)⋅lgx+1①，
所以f(1x)=2f(x)⋅lg1x+1，即f(1x)=−2f(x)⋅lgx+1②，
由①②解得f(x)=1+2lgx1+4lg2x，
所以f(10)=1+2lg101+4lg210=1+21+4=35.
故选：A.
根据题意可得f(1x)=2f(x)⋅lg1x+1，联立方程组，求出f(x)的解析式，再代入求值即可．
本题考查函数解析式的求法，熟练掌握构造方程组求函数的解析式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：作出分段函数的图象，如图所示：
直线y=m与函数图象有4个交点，
则a，b关于直线x=−1对称，所以a+b=−2，
而lg13c=−lg13d，所以lg13c+lg13d=0⇒lg13cd=0⇒cd=1，
所以d=1c，
所以a+b+c+d=−2+c+1c，
因为直线y=m与函数图象有4个交点，所以m∈(0,1)，
所以lg13c∈(0,1)⇒c∈(13,1)，
根据对勾函数性质可知t=c+1c在(13,1)上单调递减，
所以t∈(2,103)，所以a+b+c+d∈(0,43).
故选：D.
先画出分段函数的图象，然后转换变量化成对勾函数模型，再根据自变量的取值范围求出整体取值范围即可．
本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：一方面因为函数y=2x在R上单调递增，
所以20=1<20.8<20.9=(12)−0.9，
另一方面又因为函数y=lg0.6x在(0,+∞)上单调递减，
所以lg0.60.7<，
结合以上两方面有lg0.60.7<<20.8<20.9=(12)−0.9，
所以c故选：D.
由指数函数和对数函数单调性比较大小即可得解．
本题主要考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，经过10h过滤后还剩余80%的污染物，则0.8P0=P0e−10k，解得e10k=54，
设污染物减少50%用时t小时，于是0.5P0=P0e−kt，即ekt=2，则(e10k)t=210，即(54)t=210，
两边取对数得tlg254=10，解得t=10lg25−2≈100.322≈31，
所以污染物减少50%大约需要31h.
故选：B.
利用给定的函数模型，求出e10k=54，再借助取对数的方法求出P=50%P0时的t值即可．
本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，易知方程x2+6x+11=0的判别式Δ=62−4×11<0，
即对应的整个二次函数图象都在x轴上方，所以解集为R，即A正确；
对于B，易知方程x2−3x−3=0的判别式Δ=32+4×3>0，
由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误；
对于C，易知方程−x2+x−2=0的判别式Δ=12−4×2<0，
即对应的整个二次函数图象都在x轴下方，所以解集为R，即C正确；
对于D，易知不等式x2+2 5x+5≥0可化为(x+ 5)2≥0，显然该不等式恒成立，即解集为R，即D正确．
故选：ACD.
分别对不等式所对应的方程的判别式进行逐一判断，结合一元二次函数图象即可得出结论．
本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A：定义域为R关于原点对称，f(−x)=−x|−x|+1=−x|x|+1=−f(x)，
所以f(x)为R上的奇函数，故A正确；
B：当x∈[0,+∞)时，f(x)=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，
因为y=x+1在[0,+∞)上单调递增，所以y=1x+1在[0,+∞)上单调递减，
所以y=−1x+1在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)=1−1x+1在[0,+∞)上单调递增，
又因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(−∞,+∞)上是递增函数，故B错误；
C：当x∈[0,+∞)时，f(x)=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，
因为x+1∈[1,+∞),1x+1∈(0,1],1−1x+1∈[0,1),所以f(x)∈[0,1),
又因为f(x)为奇函数，所以当x∈(−∞,0)时，f(x)∈(−1,0)，
所以f(x)的值域为(−1,1)，故C正确；
D：若f(x)的图象关于(−1,1)对称，则一定有f(−2)+f(0)=2；
因为f(−2)=−23，f(0)=0，f(0)+f(−2)≠2，
显然f(x)的图象不关于(−1,1)对称，故D错误．
故选：AC.
A：根据定义域以及f(x)与f(−x)的关系判断即可；B：根据解析式结合奇偶性进行判断；C：根据解析式结合分式取值特点直接分析函数值域；D：根据f(−2)+f(0)的取值进行判断．
本题主要考查函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，f(x)的定义域是R关于原点对称，且f(−x)=|−ax+1|−|−ax−1|=|ax−1|−|ax+1|=−f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数，故A正确；
对于B，当a=1时，f(x)=|x+1|−|x−1|=−2,x≤−12x,−11，
所以f(x)<1⇔x≤−1或2x<1−1解得x≤−1或−1对于C，不妨取a=−1<0，此时f(x)=|x−1|−|x+1|，
对x1=2对于D，当a≠0，x∈R时，令t=ax∈R，此时f(x)=|ax+1|−|ax−1|=|t+1|−|t−1|=g(t)，t∈R，
而g(t)=|t+1|−|t−1|=−2,t≤−12t,−11，当−1从而当a≠0时，y=g(t)即y=f(x)值域为[−2,2].
故选：ABD.
对于A，直接由奇函数的定义即可判断；对于B，直接分类讨论解绝对值不等式即可判断；对于C，举出反例，推翻C选项；对于D，通过令t=ax∈R换元法，然后再分类讨论求出y=f(x)的值域即可判断．
本题主要考查函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：∵b=40.4=20.8，
∴0<20.6<20.8，即0又∵0<20.8<30.8，即0∴0故A正确，B错误，
∴ab∵34=81>25=32，∴345>2，即30.8>2，
∴ac=20.6⋅30.8>20.6×2=21.6=40.8=b2，故D正确．
故选：ACD.
利用指数函数和幂函数的性质求解．
本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．
13.【答案】(−∞,12]
【解析】解：因为2|(x−1)(x−a)|≥−2(x−1)(x−a)，|x−1|2=(x−1)2，|x−a|2=(x−a)2，
所以|x−1|2+2|(x−1)(x−a)|+|x−a|2≥(x−1)2−2(x−1)(x−a)+(x−a)2，
即(|x−1|+|x−a|)2≥[(x−1)−(x−a)]2=(a−1)2，
所以|x−1|+|x−a|≥|a−1|，等号成立当且仅当x在a和1两个数之间，规定a=1时的取等条件为x=a=1，
综上所述|x−1|+|x−a|的最小值为|a−1|，
因为关于x的不等式|x−1|+|x−a|≥a的解集是R，
所以∀x∈R，|x−1|+|x−a|≥a恒成立，
所以当且仅当|a−1|≥a，
当a≥1时，|a−1|=a−1≥a不可能成立，当a<1时，|a−1|=1−a≥a，解得a≤12.
综上所述：实数a的取值范围是(−∞,12].
故答案为：(−∞,12].
由题意首先由三角不等式得到|x−1|+|x−a|的最小值为|a−1|，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可．
本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，是中档题．
14.【答案】[0,4)
【解析】解：a=0时，不等式ax2+ax+1>0化为1>0，对任意实数x不等式恒成立，满足条件；
a≠0时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足a>0△<0，
即a>0a2−4a<0，
解得0∴实数a的取值范围是[0,4).
故答案为：[0,4).
讨论a=0时和a≠0时不等式恒成立的条件是什么，从而求出实数a的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，是基础题．
15.【答案】1(不唯一)
【解析】解：设g(x)=x2+2x，h(x)=2x−3，分别绘制g(x)，h(x)函数的大致图像如下图：
其中g(x)=x2+2x有最小值，g(x)min=g(−1)=−1，h(x)=2x−3没有最小值，y=−3是它的渐近线，
点(2,1)在h(x)上，∴a<2，h(1)=−1，如上图，当a<1时，f(x)不存在最小值，
∴1≤a<2；
故答案为：a=1(不唯一).
分别画出函数y=x2+2x和y=2x−3的图像，再根据条件求解．
本题主要考查函数最值的求法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(−12,−5)
【解析】解：设函数的两个零点为x1，x2，
则x1+x2=−mx1x2=n，再由x1，x2∈(1,2)，
可得3所以2m−n=−2(x1+x2)−x1x2=4−(x1+2)(x2+2)∈(−12,−5).
故答案为：(−12,−5).
用两个零点表示所求的代数式即可求解．
本题考查函数的零点与方程的根之间的关系的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意得1，3是方程ax2+bx+c=0的两实数根，且a>0，
则有−ba=4ca=3，即b=−4ac=3a，
所以不等式cx2+bx+a>0，可化为3ax2−4ax+a>0，
由a>0，得3x2−4x+1>0，解得x<13或x>1，
则不等式解集为{x|x<13或x>1}.
(2)因为a>0，且由(1)得：
y=b2+(c+1)2a=(−4a)2+(3a+1)2a
=25a2+6a+1a=25a+1a+6≥2 25a⋅1a+6=16，
当且仅当25a=1a，即a=15时等号成立．
所以y=b2+(c+1)2a的最小值为16.
【解析】(1)根据韦达定理代入即可解出不等式；
(2)减少变量，将式子转化为y=25a+1a+6，再利用基本不等式即可．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可得A={x|−2当a=0时，B={x|−3则A∩B={x|−2(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
显然B≠⌀，则2a−3≥−2,2a+1≤3,
解得12≤a≤1，
即a的取值范围是[12,1].
【解析】(1)根据题意，由交集的运算，即可得到结果；
(2)根据题意，由条件可得B⊆A，列出不等式，即可得到结果．
本题主要考查了集合的交集运算及集合并集的运算性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)设−2≤x≤0，则0≤−x≤2，
因为0≤x≤2时，f(x)=12x2+x，
则f(−x)=12x2−x=f(x)，
故f(x)=12x2+x,0≤x≤212x2−x,−2≤x≤0；
(Ⅱ)当0≤x≤2时，f(x)=12x2+x单调递增，当−2≤x≤0时，f(x)=12x2−x单调递减，
若f(a+1)−f(2a−1)>0，则f(a+1)>f(2a−1)，
故|a+1|>|2a−1|−2≤a+1≤2−2≤2a−1≤2，解得0故a的范围为(0,1].
【解析】(Ⅰ)设−2≤x≤0，则0≤−x≤2，然后根据已知函数解析式即可求解；
(Ⅱ)先判断函数的单调性，然后根据函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)在(−∞,+∞)上的单调递增．
证明：任取x1，x2∈(−∞,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−2−x1−(2x2−2−x2)=(2x1−2x2)(1+12x12x2)，
因为x1，x2∈(−∞,+∞)，且x10，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)在[0,2]上单调递增，
所以f(x)∈[f(0),f(2)]=[0,154]，
当m≥0时，由x2∈[0,2]，可得mf(x2)+7−3m∈[7−3m,154+7−3m]；
当m<0时，由x2∈[0,2]，可得mf(x2)+7−3m∈[154+7−3m,7−3m].
当x∈[1,4]时，g(x)=x2−4x+6=(x−2)2+2∈[g(2),g(4)]=[2,6]，
所以当x1∈[1,4]时，g(x1)∈[2,6].
因为对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[0,2]，使得g(x1)=mf(x2)+7−3m成立，
所以当m≥0时，[2,6]⊆[7−3m,154+7−3m]，
所以7−3m≤2，且154+7−3m≥6，解得m≥53或m≤1912，
又m≥0，所以m≥53或0≤m≤1912；
当m<0时，[2,6]⊆[154+7−3m,7−3m]，
所以154+7−3m≤2，且7−3m≥6，解得m≥3512或m≤13，
又m<0，所以m<0，
综上，m的取值范围为{m|m≥53或m≤1912}.
【解析】(Ⅰ)f(x)在(−∞,+∞)上的单调递增，再用定义法证明即可；
(Ⅱ)根据对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[0,2]，使得g(x1)=mf(x2)+7−3m成立，可得当m≥0时，[2,6]⊆[7−3m,154+7−3m]；当m<0时，[2,6]⊆[154+7−3m,7−3m]，再求出m的取值范围即可．
本题考查了利用定义法证明函数的单调性，函数恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为每件产品售价为6元，则x万件产品销售收入为6x万元，
当0当x≥8时，Q(x)=6x−W(x)−20=6x−(8x+200x−120)−20=−2x−200x+100，
所以Q(x)=−13x2+4x+30,0(2)当0当x=6时，Q(x)取得最大值Q(6)=42万元；
当x≥8时，Q(x)=100−(2x+200x)≤100−2 2x⋅200x=60万元，
当且仅当2x=200x时，即x=10时，函数Q(x)取得最大值，最大值为60万元，
因为42<60，所以年产量为10万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为60万元．
【解析】(1)根据题意，分别求得0(2)由(1)中Q(x)的函数关系式，结合二次函数的性质和基本不等式，分别取得利润的最大值，比较即可得到答案．
本题考查函数模型的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=ax2−3x+2的对称轴为x=32a，∵a≥12，∴0<32a≤3.
1∘当0<32a≤1即a≥32时，f(x)在[1,3]单调递增，∴f(x)min=f(1)=a−1；
2∘当1<32a≤3，即12≤a<32时，f(x)min=f(32a)=2−94a；
综上：当12≤a<32时，f(x)min=2−94a；当a≥32时，f(x)min=a−1.
(2)f(x)≥−(a+2)x−a，即ax2−3x+2≥−(a+2)x−a，化简得：a(x2+x+1)≥x−2，
又x2+x+1>0恒成立，∴a≥x−2x2+x+1，
故x∈(2,4],f(x)≥−(a+2)x−a恒成立，即为a≥(x−2x2+x+1)max.
令x−2=t，t∈(0,2],则x−2x2+x+1=t(t+2)2+(t+2)+1=tt2+5t+7=1t+7t+5，
∵t∈(0,2],由对勾函数单调性知y=t+7t在(0,2]单调递减，
∴(t+7t)min=112，∴(1t+7t+5)max=221，即a≥221.
∴实数a的取值范围为[221,+∞).
【解析】(1)根据二次函数的对称轴进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案．
(2)由不等式f(x)≥−(a+2)x−a分离参数a，利用换元法，结合函数的单调性求得a的取值范围．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．