2023-2024学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1}，B={x|x2−3x+2=0}，则A∪B的子集个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知a，b∈R，则“a>b”是“2a>2b”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=x+lnx−5的零点所在的一个区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.函数f(x)=x22x+2−x的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(cs100∘,sin200∘)，则( )
A. sinα>0B. csα>0C. 01
6.已知α∈(0,π)，3cs2α−10csα=1，则sinα=( )
A. 2 23B. 53C. 23D. 13
7.在当今这个5G时代，6G的研究方兴未艾.有消息称，未来6G通讯的速率有望达到1Tbps，香农公式C=Wlg2(1+SN)是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的的大小.其中SN叫做信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比SN从3提升到99，则最大信息传递率C大约会提升到原来的(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)( )
A. 2.3倍B. 3.3倍C. 4.6倍D. 6.6倍
8.若24+lg3a=44+2lg9b，则( )
A. 0二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若集合M={x|x≥0}，N={x|(x−1)(x−2)<0}，则( )
A. M⊆NB. M∪N=MC. (∁RM)∩N=⌀D. M∪(∁RN)=R
10.已知定义域为I的函数f(x)，∃x0∈I，使f(x0)<0，则下列函数中符合条件的是( )
A. f(x)=x3+1B. f(x)=ex+e−x
C. f(x)=lgx2D. f(x)=2csx+3
11.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，下列结论正确的是( )
A. A=3B. ω=π20C. sinφ=−1115D. b=−0.8
12.已知函数f(x)=sinx−|csx|，x∈R，则( )
A. f(−x)=−f(x)B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)的图象关于直线x=π2对称D. f(x)的最大值为 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题：“∀x∈R，3x>0”的否定是______.
14.已知2a=3，lg45=b，则8a−2b=______.
15.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2，则函数y=[x+2]−x的值域是______.
16.如图，要在一块半径为6，圆心角为45∘的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点.设∠AOP=α，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为______，此时tanα=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=5−x−6x(x>0).
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)求不等式xf(x)<0的解集.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3cs2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f(α2−π6)=85,α∈(π2,π)，求f(α−π6)的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(a2−1)x1+x2(a>0,a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并加以证明.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin4x+2sinxcsx−cs4x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)把函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[π6,π4]上的最小值.
21.(本小题12分)
某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人.某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人.该兴趣小组想找一个函数y=f(x)来拟合该文化馆对外开放后第x(x≥1)年与当年参观人数y(单位：万人)之间的关系.
(1)若选函数f(x)=mx+n(m≠0)，试确定m，n的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；
(2)若选函数f(x)=a⋅bx+c(b>0,b≠1)，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定b的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)的定义域为R，∀a，b∈R，f(a+b)+f(a−b)=3f(a)f(b)，且f(1)=13,f(x)在区间[0,3]上单调递减.
(1)求证：f(x)+f(0)≥0；
(2)求f(1)+f(2)+⋯+f(2023)的值；
(3)当x∈R时，求不等式3f(2x)+4≤9f(x)的解集.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：令x2−3x+2=0，解得x=1或x=2，故A∪B={1,2}，
则A∪B的子集个数是22=4个．
故选：D.
求出A∪B，利用子集的个数公式求解即可．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由函数y=2x在R上为增函数，故当a>b时，2a>2b.
当2a>2b时，可得a>b.
故“a>b”是“2a>2b”的充要条件．
故选：B.
由题意，利用指数函数的单调性、充要条件的定义，即可得出结论．
本题主要考查充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，x>0，函数f(x)=x+lnx−5在定义域上单调递增，
f(1)=1+ln1−5=−4<0，f(2)=2+ln2−5<2+lne−5=−2<0，
f(3)=3+ln3−5<3+lne2−5=0，f(4)=4+ln4−5>4+lne−5=0，
∴零点所在的一个区间是(3,4).
故选：D.
根据函数表达式，结合零点定理即可得出零点所在的一个区间．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x22x+2−x的定义域为R，
且f(−x)=(−x)22−x+2x=x22−x+2x=f(x)，故f(x)为偶函数，排除选项BD；
因为f(x)=x22x+2−x≥0恒成立，且根据指数函数的增长速度可知，当x→+∞时，f(x)→0，排除选项C.
故选：A.
根据函数的性质，利用排除法即可得解．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为cs100∘=cs(180∘−80∘)=−cs80∘<0，
sin200∘=sin(180∘+20∘)=−sin20∘<0，
故点P在第三象限，
故sinα<0，csα<0，AB错误；
tanα=sin200∘cs100∘=−sin20∘−cs80∘=sin20∘sin10∘=2sin10∘cs10∘sin10∘=2cs10∘，
因为y=csx在(0,π)上单调递减，
所以cs10∘>cs60∘=12，
故cs10∘∈(12,1)，2cs10∘∈(1,2)，
所以tanα>1，C错误，D正确．
故选：D.
利用诱导公式得到cs100∘<0，sin200∘<0，求出点P在第三象限，得到AB错误；并结合诱导公式和二倍角公式得到tanα=2cs10∘，由余弦函数单调性得到tanα>1.
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式以及余弦函数单调性，考查了函数思想，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为3cs2α−10csα=3(2cs2α−1)−10csα=6cs2α−10csα−3=1，
即6cs2α−10csα−4=0，
即(3csα+1)(csα−2)=0，
故csα=−13或csα=2，
由−1≤csα≤1，
故csα=2需舍去，即csα=−13，
又α∈(0,π)，
故sinα>0，
则sinα= 1−cs2α= 1−19=2 23.
故选：A.
由题意结合二倍角公式化简后，解方程可得csα，由同角三角函数与角所在象限计算即可得．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：C1=Wlg2(1+3)=2W，C2=Wlg2(1+99)=2Wlg210，
则C2C1=2Wlg2102W=lg210=1lg2≈10.3010≈3.3.
故选：B.
将SN=3及SN=99代入计算对应的C，再计算比例即可得．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为24+lg3a=44+2lg9b，
所以(44+2lg9b)−(24+lg3a)=44+lg3b−24−lg3a=0，
即lg3ab=240，
即ab=3240，a=3240b>2b>0，
所以a>2b>0.
故选：D.
根据对数运算法则及性质得出结果．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：解一元二次不等式(x−1)(x−2)<0，得1所以N=(1,2)；∁RN=(−∞,1]∪[2,+∞)，
由于M={x|x≥0}，结合补集的定义∁RM=(−∞,0)，
N⊆M，选项A不正确；
同时可得M∪N=M，选项B正确；
由于∁RM=(−∞,0)，且N=(1,2)，可得(∁RM)∩N=⌀，选项C正确；
由于M={x|x≥0}，且∁RN=(−∞,1]∪[2,+∞)，可得M∪(∁RN)=R，选项D正确．
故选：BCD.
解一元二次不等式得集合N，根据补集的概念可得∁RM与∁RN，根据集合间的关系以及集合的运算法则，依次判断每个选项即可．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：f(−2)<0，故A正确；
对于B：f(x)≥2 ex⋅e−x=2，当ex=e−x，即x=0时等号成立，故B错误；
对于C：f(12)<0，故C正确；
对于D：由题意得f(x)min=2×(−1)+3=1，故D错误．
故选：AC.
根据特值以及基本不等式判断，即可得出答案．
本题考查函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
所以T=601.5=40，
所以ω=2π40=π20，选项B正确；
振幅A为筒车的半径，即A=3，所以选项A正确；
由题意，t=0时，d=0，即0=3sinφ+b，b=2.2，即sinφ=−1115，选项C正确、选项D错误．
故选：ABC.
由题意可得A、T、ω和b、sinφ的值，即可判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数模型的应用问题，重点考查了y=Asin(ωx+φ)+b的图象与性质，是基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=sinx−|csx|=sinx−csx,2kπ−π2≤x≤2kπ+π2,k∈Zsinx+csx,2kπ+π2对于A，f(−x)=sin(−x)−|cs(−x)|=−sinx−|csx|≠−f(x)，故A不正确；
对于B，f(x+2π)=sin(x+2π)−|cs(x+2π)|=sinx−|csx|=f(x)，结合图象，f(x)的最小正周期为2π，故B正确；
对于C，f(π−x)=sin(π−x)−|cs(π−x)|=sinx−|csx|=f(x)，f(x)的图象关于直线x=π2对称，故C正确；
对于D，函数f(x)在区间[2kπ−π2,2kπ−π4]，k∈Z和(2kπ+π2,2kπ+5π4],k∈Z上单调递减，
在区间(2kπ−π4,2kπ+π2],k∈Z和(2kπ+5π4,2kπ+3π2)，k∈Z上单调递增，
f(2kπ−π2)=f(2kπ+3π2)=−1，k∈Z，f(2kπ+π2)=1，k∈Z，
f(x)的最大值为1，选项D不正确．
故选：BC.
将函数f(x)=sinx−|csx|表示为分段函数，结合函数的图像，利用三角函数的性质逐项分析即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】∃x0∈R，使得3X0≤0
【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，得：
命题：“∀x∈R，3x>0”的“的否定是：
“∃x0∈R，使得3X0≤0”．
故答案为：∃x0∈R，使得3X0≤0.
根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．
本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．
14.【答案】27125
【解析】解：由题意，2a=3，lg45=b，
∴4b=5，8a−2b=8a÷82b=23a÷43b=33÷53=27125.
故答案为：27125.
化简式子，结合已知条件即可求出8a−2b的值．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，属于基础题．
15.【答案】(1,2]
【解析】解：由函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，
当x∈[n,n+1)时，可得[x]=n，则[x+2]=n+2，
可得y=[x+2]−x=n+2−x，
因为x∈[n,n+1),可得n+2−x∈(1,2],所以函数y=[x+2]−x的值域是(1,2].
故答案为：(1,2].
根据题意，当x∈[n,n+1)时，得到[x+2]=n+2，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于基础题．
16.【答案】912
【解析】解：根据题意，Rt△AOD中，AD=OAsinα=6sinα，OD=OAcsα=6csα，
Rt△BOC中，OC=BC=AD=6sinα，故CD=OD−OC=6csα−6sinα，
所以矩形ABCD的面积S1=AD⋅CD=6sinα(6csα−6sinα)=36sinαcsα−36sin2α，
由F为OB中点，可得矩形CEFG中，EF=EC=12BC=3sinα，
所以矩形CEFG的面积S2=EF⋅EC=9sin2α，
可得S=S1+S2=36sinαcsα−27sin2α=9[2sin2α−3(1−cs2α)2]=92(4sin2α+3cs2α)−272，
因为4sin2α+3cs2α=5sin(2α+φ)，其中φ=arctan34，α∈(0,π4).
当2α+φ=π2时，4sin2α+3cs2α有最大值5，此时S有最大值92×5−272=9，
由tan2α=1tanϕ=43，得2tanα1−tan2α=43，解得tanα=−2(不符合题意，舍去)或tanα=12.
综上所述，S的最大值为9，此时tanα=12.
故答案为：9，12.
根据矩形与等腰三角形的性质，建立S关于角α的函数关系式，利用三角恒等变换化简，并结合正弦函数的最值，求出S的最大值，进而求出S最大时tanα的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的最值及其应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(x)=5−x−6x=5−(x+6x)≤5−2 x⋅6x=5−2 6，
当且仅当x=6x，即x= 6时，等号成立，
故函数f(x)的最大值为5−2 6；
(2)xf(x)=x(5−x−6x)=−x2+5x−6=−(x−2)(x−3)<0，x>0，
即(x−2)(x−3)>0，解得x<2或x>3，又x>0，故03，
即不等式xf(x)<0的解集为{x|03}.
【解析】(1)由已知借助基本不等式即可得；
(2)先化简已知不等式，然后解一元二次不等式即可得．
本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了二次不等式的求解，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
则T=2π2=π，即函数f(x)的最小正周期为π；
(2)f(α2−π6)=2sin(α−π3+π3)=2sinα=85，
故sinα=45，又α∈(π2,π)，故csα=− 1−(45)2=−35，
f(α−π6)=2sin(2α−π3+π3)=2sin2α=4sinαcsα
=4×45×(−35)=−4825.
【解析】(1)由辅助角公式化简后结合正弦型函数的性质即可得；
(2)由题意结合象限可得sinα、csα，借助二倍角公式即可得f(α−π6)的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=(a2−1)x1+x2为奇函数，
理由如下：f(x)=(a2−1)x1+x2的定义域为R，
又f(−x)=−(a2−1)x1+(−x)2=−(a2−1)x1+x2=−f(x)，
故f(x)=(a2−1)x1+x2为奇函数；
(2)根据题意，当a>1时，f(x)=(a2−1)x1+x2单调递减，
当0证明：设∀x1，x2∈(1,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=(a2−1)x11+x12−(a2−1)x21+x22=(a2−1)(x1+x1x22)−(a2−1)(x2+x2x12)(1+x12)(1+x22)
=(a2−1)(1−x1x2)(x1−x2)(1+x12)(1+x22)，
因为x1，x2∈(1,+∞)，且x1当a>1时，(a2−1)(1−x1x2)(x1−x2)(1+x12)(1+x22)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)=(a2−1)x1+x2单调递减，
当0故f(x)=(a2−1)x1+x2单调递增，
【解析】(1)求出定义域，计算出f(−x)=−f(x)，得到答案；
(2)利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论．
本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意作差法的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=sin4x+2sinxcsx−cs4x=(sin2x+cs2x)(sin2x−cs2x)+2sinxcsx
=sin2x−cs2x+2sinxcsx=sin2x−cs2x
= 2sin(2x−π4)，
令π2+2kπ≤2x−π4≤3π2+2kπ(k∈Z)，
则3π8+kπ≤x≤7π8+kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ](k∈Z)；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，
则g(x)= 2sin(2x+2×π4−π4)= 2sin(2x+π4)，
当x∈[π6,π4]时，2x+π4∈[7π12,3π4]，
则当2x+π4=3π4时，即x=π4时，
y=g(x)有最小值，且最小值为g(π4)= 2sin3π4=1.
即y=g(x)在区间[π6,π4]上的最小值为1.
【解析】(1)借助三角恒等变换公式将f(x)化简为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；
(2)平移后得到y=g(x)的解析式，结合正弦型函数的性质计算即可得．
本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由于函数f(x)=mx+n(m≠0)，
第1年参观人数为12万人，即f(1)=m1+n=m+n=12，
第2年参观人数为14万人，即f(2)=m2+n=14，
联立可得：m=−4，n=16，
所以f(x)=−4x+16，
设1≤x1且1≤x10，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)=−4x+16在区间[1,+∞)上单调递增，符合预测①，
同时x∈[1,+∞),f(x)=−4x+16<16,符合预测②；
(2)由于函数f(x)=a⋅bx+c(b>0,b≠1)，
第1年参观人数为12万人，即f(1)=a⋅b+c=12，
第2年参观人数为14万人，即f(2)=a⋅b2+c=14，
联立可得：a=2b(b−1),c=12−2b−1，
由指数函数的性质可知：
当0当b>1时，函数y=bx在R上单调递增，
若符合预测①，则01a>0，
当0此时x∈[1,+∞),bx∈(0,b],a⋅bx∈[ab,0),f(x)∈[ab+c,c),
再符合预测②，只需c≤16即可，由c=12−2b−1≤16，且0当b>1时，a=2b(b−1)>0，符合预测①，
此时函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，
同时a=2b(b−1),c=12−2b−1，f(x)=2b(b−1)⋅bx+12−2b−1，
解方程2b(b−1)⋅bx+12−2b−1=16，可得x=lgb(2b2−b)，
其中b>1，2b2−b=b(2b−1)>2b−1=b+(b−1)>b，lgb(2b2−b)>1，
即当x>lgb(2b2−b)时，f(x)>16，不符合预测②，
综上所述，b的取值范围是：0【解析】(1)分别将“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得m，n的值，进而判断函数是否符合预测①与预测②即可；
(2)同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得a=2b(b−1),c=12−2b−1，再结合对数函数的性质分b>1，0本题考查了函数在实际问题上的综合运用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：令a=b=x2，则有f(x)+f(0)=3f(x2)⋅f(x2)=3f2(x2)，
由f2(x2)≥0，故f(x)+f(0)≥0；
(2)令b=1，则有f(a+1)+f(a−1)=3f(a)f(1)=f(a)，
则f(a)+f(a−2)=f(a−1)，即f(a)=f(a−1)−f(a−2)，
故f(a+1)+f(a−1)=f(a−1)−f(a−2)，即f(a+1)=−f(a−2)，
则f(a−3+1)=−f(a−3−2)，即f(a−2)=−f(a−5)，
故f(a+1)=f(a−5)，即有f(x)=f(x−6)，
故函数f(x)为周期为6的周期函数，
令a=1、b=0，则有f(1)+f(1)=3f(1)f(0)，即f(0)=23，
令a=1、b=1，则有f(2)+f(0)=3f(1)f(1)，即f(2)=−13，
由f(a+1)=−f(a−2)，故f(3)=−f(0)=−23，
f(4)=−f(1)=−13，f(5)=−f(2)=13，f(6)=f(0)=23，
故f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=337[f(1)+f(2)+⋯+f(6)]+f(1)=337(13−13−23−13+13+23)+13=13；
(3)令a=b=x，则有f(2x)+f(0)=3f2(x)，
即f(2x)=3f2(x)−f(0)=3f2(x)−23，
则3f(2x)=9f2(x)−2，
即3f(2x)+4≤9f(x)可化为9f2(x)−2+4≤9f(x)，
即解9f2(x)−9f(x)+2≤0，即[3f(x)−2][3f(x)−1]≤0，
即13≤f(x)≤23，
由f(1)=13、f(0)=23，且f(x)在区间[0,3]上单调递减，
故x∈[0,1]是该不等式的解，
又f(a−2)=−f(a−5)，即f(x)=−f(x−3)，
故f(x)在区间[3,6]上单调递增，
又f(5)=13、f(6)=23，故x∈[5,6]是该不等式的解，
又函数f(x)为周期为6的周期函数，
故该不等式的解集为[6k,6k+1]∪[6k+5,6k+6](k∈Z)=[6k−1,6k+1](k∈Z).
【解析】(1)借助赋值法令a=b=x2即可得；
(2)借助赋值法可得f(x)为周期为6的周期函数、并可计算出f(0)、f(1)、⋯、f(6)，结合周期性即可得；
(3)借助赋值法令a=b=x，可将原不等式转化为9f2(x)−9f(x)+2≤0，解出可得f(x)的范围，结合函数性质即可得．
本题考查了用赋值求抽象函数的值，考查了抽象函数的单调性及周期性，考查了转化思想，属于中档题．