2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期末数学试卷（二）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期末数学试卷（二）(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是( )
A. 存在无数个五边形，它是轴对称图形B. 存在一个五边形，它不是轴对称图形
C. 任意一个五边形，它是轴对称图形D. 任意一个五边形，它不是轴对称图形
2.已知集合A={x|x−3>1}，B={x|x2−6x≤0}，则A∩B=( )
A. (4,6]B. (4,6)C. (2,6]D. [4,+∞)
3.已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角(正角)的弧度数为( )
A. 3B. 2C. 32D. 52
4.“3x>1”是“1x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若函数y=tan(x−φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点，则φ的最小值为( )
A. 0B. π4C. π2D. π
6.已知3a=4，2b=5，4c=2，则( )
A. a>c>bB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
7.已知函数f(x)=Asinx,0≤x≤π22xπ−A,x>π2在[0,+∞)上单调递增，则A的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. (0,12]C. [12,1]D. [12,+∞)
8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−t4求得.若将温度分别为80℃和60℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则至少要经过(取：ln2=0.69)( )
A. 2.76minB. 4.14minC. 5.52minD. 6.9min
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sinx+1，则( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)是奇函数
C. f(x)的图象关于直线x=π轴对称D. f(x)的值域为[0,2]
10.已知a>0，且a≠1，ab=1，则函数y=ax与y=lgbx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数f(x)满足f(x+y)≥f(x)+f(y)，则f(x)的解析式可以是( )
A. f(x)= xB. f(x)=x(x≥0)
C. f(x)=2x−1(x≥0)D. f(x)=lnx+2x+1(x≥0)
12.已知函数f(x)=ax2+a(a>0且a≠1)，下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的图象与直线y=1一定没有交点
C. 若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则a的取值范围是(0,1)
D. 若f(x)的图象与直线y=a交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是(0,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=−1x,x>0,x3,x≤0,则(f(1))=______.
14.已知P(m,2m)(m≠0)是角α终边上一点，则sin(α−π)sin(α+π2)=______.
15.若a2+b2=4，则a+b的最大值是______.
16.已知函数f(x)=2cs(2ωx+π3)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={−1,0,1}，B={x|x>0}.
(1)求A∩B；
(2)求∁R(A∪B).
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+1x2+1是偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，并用定义证明.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+π4).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,2π]时，求f(x)的最小值及取最小值时x的集合.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+a−x(a>0且a≠1)，且f(1)=52.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=[f(x)]2+f(x)−m在[0,+∞)上的最小值为0，求m的值.
21.(本小题12分)
某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x(单位：元)与销量Q(单位：万件)的数据如下：
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：Q=kax，Q=mlgnx，Q=px+q.
(1)选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)已知每生产一件该产品，需要的成本x0(单位：元)与销量Q(单位：万件)的关系为x0=3Q+3+2，不考虑其他因素，结合(1)中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lga(x+a)，g(x)=lga(3x+a)，a>0且a≠1.
(1)若a=3，函数F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的定义域；
(2)若∀x∈(1,+∞)，f(x)>g(x)，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是：任意一个五边形，它不是轴对称图形．
故选：D.
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于A={x|x−3>1}，整理得：A={x|x>4}，
对于B={x|x2−6x≤0}，整理得：B={x|0≤x≤6}，
则A∩B={x|x>4}∩{x|0≤x≤6}={x|4故选：A.
直接利用不等式的解法求出集合的交集．
本题考查的知识要点：不等式的解法，集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：某扇形的面积为12，半径为4，
设该扇形的圆心角为α，
则12α×42=12，
解得α=32.
故选：C.
利用扇形面积公式求解．
本题考查扇形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为3x>1，所以x>0，
因为1x>1，所以0因为{x|00}，
故“3x>1”是“1x>1”的必要不充分条件．
故选：B.
首先解指数不等式和分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数y=tanx的图象与直线x=π2+kπ(k∈Z)没有交点．
若函数y=tan(x−φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点，
则π−φ=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=−kπ+π2(k∈Z)，又φ≥0，
则φ的最小值为π2.
故选：C.
利用函数y=tanx的图象与直线x=π2+kπ(k∈Z)没有交点．结合题意列式可求得答案．
本题考查正切函数的图象与性质的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：∵a=lg34∈(1,2)，
b=lg25>lg24=2，
c=lg42∴b>a>c.
故选：C.
利用指数函数、对数函数的单调性能求出结果．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得A>01−A≥A，解得0故选：B.
由已知结合分段函数的单调性即可求解．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：80℃的物块经过tmin后的温度θ1=20+60e−t4，
60℃的物块经过tmin后的温度θ2=20+10e−t4.
要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则20+60e−t4−(20+40e−t4)≤10，
即e−t4≤12，
解得t≥4ln2=2.76.
故选：A.
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为函数f(x)=sinx+1，
所以T=2π，A正确；
f(−x)=−sinx+1≠−f(x)，f(−x)=−sinx+1≠f(x)，既不是奇函数，也不是偶函数，B错误；
f(π)=sinπ+1=1，既不是最大值2，也不是最小值0，故图象不关于直线x=π轴对称，C错误；
f(x)=sinx+1∈[0,2].故D对．
故选：AD.
直接根据三角函数的性质依次判断即可．
本题主要考查三角函数的性质，考查计算能力，属于基础题也是易错题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故A错误；
对于B：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故B正确；
对于C：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，由选项C的函数图象都为单调递减函数，故C错误；
对于D：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故D正确．
故选：BD.
直接利用指数函数和对数函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：若f(x)= x, x+y≥ x+ y显然不恒成立，A错误．
若f(x)=x(x≥0)，因为x+y≥x+y，即f(x+y)≥f(x)+f(y)，B正确．
若f(x)=2x−1(x≥0)，因为x≥0，y≥0时，2x−1≥0，2y−1≥0，
所以(2x−1)(2y−1)≥0，则2x⋅2y−(2x+2y)+1≥0，即2x+y−1≥2x−1+2y−1，所以f(x+y)≥f(x)+f(y)，C正确．
若f(x)=lnx+2x+1=ln(1+1x+1)(x≥0)，因为f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(x)>0，
令x1>x2≥0，则f(x1)−f(x2)=f((x1−x2)+x2)−f(x2)≥f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)>0，
即f(x1)≥f(x2)，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，与f(x)=lnx+2x+1(x≥0)的单调性矛盾，D错误．
故选：BC.
由已知结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：定义域为R，f(−x)=a(−x)2+a=aa+x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；
当a>1时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=aa>a>1，此时f(x)的图象与直线y=1没有交点．
当0令f(x)=ax2+a=a，则x2+a=1，即x2=1−a.若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则1−a>0，解得a<1，
所以a的取值范围是(0,1)，C正确．
由x2=1−a，解得x=± 1−a，
所以|AB|=2 1−a∈(0,2)，D错误．
故选：ABC.
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：f(1)=−1，f(f(1))=f(−1)=−1.
故答案为：−1.
将x的值依次代入解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：因为P(m,2m)是角α终边上一点，
根据三角函数的定义，可得tanα=2mm=2，
则sin(α−π)sin(α+π2)=−sinαcsα=−tanα=−2.
故答案为：−2.
根据题意，利用三角函数的定义，求得tanα=2，结合三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解．
本题考查了三角函数的定义，重点考查了三角函数的诱导公式和基本关系式，属中档题．
15.【答案】2 2
【解析】解：∵a2+b2=4，
∴a=2csθ，b=2sinθ，
∴a+b=2 2sin(θ+π4)，
(a+b)max=2 2.
故答案为：2 2
利用圆的参数方程，a=2csθ，b=2sinθ，于是a+b=2 2sin(θ+π4)，问题即可解决．
本题考查基本不等式，可以由“(a+b)2≤2(a2+b2)=8”求得，也可以由参数方程结合辅助角公式解决，属于基础题．
16.【答案】[712,1312)
【解析】解：当x∈[0,π]时，2ωx+π3∈[π3,2πω+π3]，
因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点，所以，3π2≤2πω+π3<5π2，解得712≤ω<1312.
故答案为：[712,1312).
根据x的范围求出2ωx+π3的范围，再根据余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解．
本题考查了余弦函数的性质，涉及到余弦函数零点问题，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵集合A={−1,0,1}，B={x|x>0}，
∴A∩B={1}.
(2)∵A∪B={−1}∪[0,+∞),
∴∁R(A∪B)=(−∞,−1)∪(−1,0).
【解析】(1)利用交集定义能求出A∩B.
(2)先求出A∪B，再由补集定义能求出∁R(A∪B).
本题考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=ax+1x2+1(x∈R)是偶函数，
则对任意的x都有f(−x)=f(x)，
f(−x)=a(−x)+1(−x)2+1=−ax+1x2+1，
则ax+1x2+1=−ax+1x2+1，
即ax+1=−ax+1，解得a=0；
(2)由(1)得f(x)=1x2+1，
函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，
证明如下：
设任意的0≤x1则f(x2)−f(x1)=1x22+1−1x12+1
=x12−x22(x22+1)(x12+1)=(x1−x2)(x1+x2)(x22+1)(x12+1)，
因为x2>x1≥0，所以x1−x2<0,x1+x2>0，
又因为x12+1>0,x22+1>0，
所以f(x2)−f(x1)<0，
即f(x2)所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递减．
【解析】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查根据定义证明函数的单调性问题．
(1)根据函数的奇偶性的定义求出a的值即可；
(2)根据函数的单调性的定义证明即可．
19.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x+π4)的最小正周期T=2π2=π.
(2)x∈[0,2π]⇒2x+π4∈[π4,17π4]，f(x)∈[−1,1].
当f(x)取最小值时，2x+π4=−π2+2kπ,k∈Z，即x=−3π8+kπ,k∈Z.
当k=1或2时，x=5π8或13π8.
故f(x)的最小值为−1，取最小值时x的集合为{5π8,13π8}.
【解析】(1)由正弦函数的周期公式可求得答案；
(2)利用正弦函数的性质可求得x∈[0,2π]时，f(x)的最小值及取最小值时x的集合．
本题考查了正弦函数的周期性与最值的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(1)=52，所以a+1a=52，解得a=2或a=12，
所以f(x)=2x+2−x.
(2)g(x)=(2x+2−x)2+(2x+2−x)−m.
令u=2x+2−x≥2(当且仅当x=0时，等号成立)，
因为函数h(u)=u2+u−m在[2,+∞)上单调递增，
所以h(u)min=h(2)=6−m.
因为g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，
所以6−m=0，解得m=6.
综上，m的值为6.
【解析】(1)由指数的运算性质，解方程可得所求；
(2)由二次函数的单调性和最值，以及基本不等式，可得所求值．
本题考查指数的运算性质和二次函数的单调性、最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)若选择模型Q=kax，
将(1,3)，(2,2)代入，得ka=3ka2=2，解得k=92，a=23，
所以Q=92×(23)x；
经验证，(3,1.5)，(4,1.2)均不满足，
所以模型Q=kax不合适．
若选择模型Q=mlgax，
因为Q=mlgax过点(1,0)，所以模型Q=mlgax不合适．
若选择模型Q=ρx+q，
将(1,3)，(2,2)代入，可得p1+q=3p2+q=2，解得q=1，p=6，
所以Q=6x+1，
经验证，(3,1.5)，(4,1.2)均满足，
所以模型Q=ρx+q最合适，且Q=6x+1.
(2)x0=3Q+3+2=x+1x+3+2，
要使生产的产品可以获得利润，则x0=x+1x+3+2因为x+3>0，所以x+1+2(x+3)即x2>7，
因为x>0，所以x> 7，
所以该产品的销售单价应该高于 7元．
【解析】(1)讨论选择模型Q=kax，选择模型Q=mlgax，选择模型Q=ρx+q，验证是否满足题意即可．
(2)由题意，利用模型列不等式求解即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)F(x)=f(x)−g(x)=2lg3(x+3)−lg3(3x+3)，F(x)的定义域为(−1,+∞).
(2)f(x)=lga(x+a)2.
因为a>0且a≠1，x∈(1,+∞)，所以x+a>03x+a>0恒成立．
若a>1，则函数y=lgax是增函数．
因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2>3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a>0.
设h(x)=x2+(2a−3)x+a2−a，要使x∈(1,+∞)时，h(x)>0恒成立，
只需−2a−32>1Δ<0或−2a−32≤1h(1)≥0；
解得a≥1.
故a>1符合题意．
若0因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2<3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a<0.
结合二次函数的性质可得，当x∈(1,+∞)时，不等式不可能恒成立．
故0综上，a的取值范围为(1,+∞).
【解析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的定义域；
(2)利用函数的单调性及函数的恒成立问题以及二次函数的性质判断参数a的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，判别式和函数的恒成立问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．x/元
1
2
3
4
Q/万件
3
2
1.5
1.2