2023-2024学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={x|0≤x≤6,x∈N}，A={2,3,6}，B={2,4,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. {2,3,4,5,6}B. {3,6}C. {2}D. {4,5}
2.“a<1”是“∃x∈R，x2−x+a<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知sin(α−π12)=14，则cs(2α+5π6)=( )
A. 158B. − 158C. 78D. −78
4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过天.(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)( )
A. 9B. 15C. 25D. 35
5.设函数f(x)=2(x−1)2x2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
6.将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上，则φ的取值范围是( )
A. (π6,π4]B. (π12,π4]C. (π6,π2)D. (π12,π2)
7.设a=lg0.20.3，b=lg23，c=lg34，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
8.定义域为R的函数f(x)=lg|x−2|,x≠21,x=2，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f(x1+x2+x3+x4+x5)等于( )
A. 1B. 2lg2C. 3lg2D. 0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设a，b，c∈R，aA. a+ce−bC. ac21b
10.下列命题中正确的有( )
A. f(x)=(m2−m−1)xm是幂函数，且在(0,+∞)单调递减，则m=−1
B. f(x)=lg2(x2−2x)的单调递增区间是(1,+∞)
C. f(x)=1ax2+ax+1的定义域为R，则a∈[0,4]
D. f(x)=x+2 4−x的值域是(−∞,5]
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−1f(x+1)，且当−1≤x<0时，f(x)=2x，则( )
A. f(x)是周期为2的周期函数
B. 当4≤x<5时，f(x)=−24−x
C. f(x)的图象与g(x)=lg0.5x的图象有两个公共点
D. f(x)在(2022,2024)上单调递增
12.已知函数f(x)=1sinx+1csx，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(3π4,0)对称
B. f(x)的图象关于直线x=−3π4对称
C. f(x)的最小正周期是π
D. f(x)在(0,π2)上有最小值，且最小值为2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式csx>12的解集为______.
14.已知csα+sinαcsα−sinα=2，则sin2α−2sinαcsα=______.
15.已知函数y=x2−2x+2,x≥0x+ax+3a,x<0的值域为R，则实数a的取值范围为______.
16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：
(1)tan70∘cs10∘( 3tan20∘−1)
(2)已知cs(π4+x)=35，17π1218.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB.
(1)求sin(π+α)cs(π2+β)cs(π−β)sin(3π2+α)的值；
(2)若点A的横坐标为13，求sin(2α+β)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−2ex+1(a∈R).
(1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数；
(2)探索函数f(x)的单调性；
(3)在(1)的前提下，若对∀x∈R，不等式f(f(x))+f(3−m)>0恒成立，求m的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin2x+2cs2x+m在区间[0,π2]上的最小值为3.
(1)求常数m的值；
(2)将函数f(x)向右平移π4个单位，再向下平移4个单位，得到函数g(x)，请求出函数y=g(x)，x∈[−π6,π2]的单调递减区间.
21.(本小题12分)
初一(2)班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形ABCD的周长为8cm，其中较长边AD为xcm，将△BCD沿BD向△ABD折叠，BC折过去后交AD于点E.
(1)用x表示图1中△BAE的面积；
(2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角(如图2阴影部分)利用镀金工艺双面上色(厚度忽略不计).已知镀金工艺是2元/cm2，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用.
22.(本小题12分)
已知x=1是函数g(x)=ax2−3ax+2的零点，f(x)=g(x)x.
(1)求实数a的值；
(2)若方程f(|2x−1|)+k(3|2x−1|)−3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵U={x|0≤x≤6,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6}，
B={2,4,5}，
∴CUB={0,1,3,6}，A={2,3,6}，
则A∩CUB={3,6}.
故选：B.
先把集合U利用列举法表示出来，确定出全集U，根据全集U和集合B，求出集合B的补集，最后求出集合B补集与集合A的交集即可．
此题考查了交集、补集及并集的混合运算，利用列举法表示出集合U，确定出全集U是本题的突破点，学生在求补集时注意全集的范围．
2.【答案】B
【解析】解：因为∃x∈R，x2−x+a<0，
所以Δ=(−1)2−4a>0，
解得a<14，
所以(−∞,1)⫌(−∞,14)，
故“a<1”是“∃x∈R，x2−x+a<0”的必要不充分条件．
故选：B.
将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵sin(α−π12)=14=−sin(π12−α)，∴sin(π12−α)=−14，
则cs(2α+5π6)=−cs(π6−2α)=2sin2(π12−α)−1=2×116−1=−78，
故选：D.
由题意，利用诱导公式求得sin(π12−α)的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cs(2α+5π6)=−cs(π6−2α)的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则()x=2，
∴x=−lg99≈−1.9956=≈35，
故选：D.
设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则()x=2，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出x的值即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解；∵f(x)=2(x−1)2x2+1=2(x2+1)−4xx2+1=2−4xx2+1，
∴可令g(x)=f(x)−2=−4xx2+1，则g(−x)=−−4xx2+1=4xx2+1=−g(x)，
∴g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(x)max+g(x)min=0，
则M−2+m−2=0，∴M+m=4.
故选：D.
将f(x)整理为f(x)=2−4xx2+1，令g(x)=f(x)−2，由奇偶性定义可证得g(x)为奇函数，则g(x)max+g(x)min=0，由此可求得M+m的值．
本题主要考查函数的最值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，
即f(x)=sin2(x−φ)=(2x−2φ)，
∵函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，
∴−2φ≤2x−2φ≤2π3−2φ，
∵0<φ<π2，
∴−2φ≥−π22π3−2φ≤π2，得φ≤π4φ≥π12，即π12≤φ≤π4，
由2x−2φ=kπ得，x=φ+kπ2，即函数的零点坐标为(φ+kπ2,0)，
由−5π12<φ+kπ2<−π6，得−5π12−kπ2<φ<−π6−kπ2，
∵0<φ<π2，
∴当k=−1时，π12<φ<π3，
综上可得π12<φ≤π4，
故选：B.
根据平移变换先求出f(x)的解析式，然后根据单调性以及零点范围分别进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，结合图象变换求出函数的解析式，结合函数的单调性以及零点建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，难度中等．
7.【答案】D
【解析】解：因为32>23，
所以lg232>lg223，即2lg23>3，
所以b=lg23>32，
因为42<33，
所以lg342所以c<32，
同时c=lg34>1，
所以1而a=lg0.20.3<1，
所以b>32>c>1>a.
故选：D.
由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对于程f2(x)+bf(x)+c=0来说，最多两个不同的f(x)，
又当x≠2时，f(x)=lg|x−2|的图象关于x=2对称，f(x)=lg|x−2|=m最多2个解，
由f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5可知x=2是其中一个实数解，且其他实数解关于x=2对称，
所以x1+x2+x3+x4+x5=4+2+4=10，
故f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=lg8=3lg2.
故选：C.
由已知函数零点的个数，结合二次方程根的个数及函数的对称性可求．
本题主要考查了函数零点的求解，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．
本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，属于基础题．
【解答】
解：∵ae−b，ac2≤bc2(c=0时取等号)，
1a与1b的大小关系不确定．
故选：AB.
10.【答案】AD
【解析】解：对于A：f(x)是幂函数，则m2−m−1=1，得m=2或m=−1，又f(x)在(0,+∞)单减，故m=−1，对；
对于B：由复合函数单调性有x2−2x>0且x≥1，所以单增区间是(2,+∞)，错；
对于C：定义域为R，则a=0或a≠0Δ=a2−4a<0⇒0≤a<4，错；
对于D：令t= 4−x≥0，则f(x)=y=−t2+2t+4=−(t−1)2+5≤5，对．
故选：AD.
A由幂函数及其单调性求参数；B由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C根据定义域及二次函数性质求参数范围；D换元法及二次函数性质求值域．
本题考查复合函数的单调性的判断，函数的定义域、值域的求法，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由已知可得f(x+1)=−1f(x+2)，所以f(x+2)=−1f(x+1)=f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，故A正确；
对于B项，∀x∈[0,1),则x−1∈[−1,0).
由已知可得，f(x−1)=2x−1.
又f(x)=−1f(x+1)，
所以f(x−1)=−1f(x)，f(x)=−1f(x−1)=−12x−1=−21−x.
又f(x)的周期为2，所以f(x)=f(x−4).
∀x∈[4,5),则x−4∈[0,1),f(x−4)=−21−(x−4)=−2−x+5,
所以，f(x)=f(x−4)=−2−x+5.故B错误；
对于C项，由A、B可知，当−1≤x<0时，f(x)=2x；
当x∈[0,1)时，f(x)=−21−x，且f(x)的周期为2.
作出函数y=f(x)以及y=g(x)的图象，
显然，当x<2时，f(x)的图象与g(x)=lg0.5x的图象没有交点．
又f(4)=f(2)=f(0)=−2，g(2)=lg0.52=−1，g(4)=lg0.54=−2=f(4)，
由图象可知，f(x)的图象与g(x)=lg0.5x的图象有两个公共点，故C项正确；
对于D项，∀x∈[1,2),则x−2∈[−1,0),f(x−2)=2x−2.
又f(x)的周期为2，所以f(x)=f(x−2)=2x−2在[1,2)上单调递增．
当x∈[0,1)时，f(x)=−21−x，显然f(x)=−21−x在[0,1)上单调递增．
且f(1)=21−2=12>−21−1=−1，
所以，f(x)在[0,2)上单调递增．
根据函数的周期性可知，f(x)在(2022,2024)上单调递增．故D正确．
故选：ACD.
根据题意，根据已知可得f(x+2)=−1f(x+1)=f(x)，即可得出A项；根据已知求出x∈[0,1)时的解析式，进而根据周期性，得出函数在[4,5)上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数f(x)的图象以及g(x)=lg0.5x的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在[0,2)上单调递增，即可根据周期性，得出D项，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的周期性和图象的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：若函数有意义，需满足sinx≠0，csx≠0，∴x≠kπ2,k∈Z，
∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ2,k∈Z}，
f(x)=1sinx+1csx=sinx+csxsinxcsx=2 2sin(x+π4)sin2x，
令sinx+csx=t，则sinxcsx=t2−12，
令函数g(t)=2tt2−1=2t−1t，
∵0且函数y= 2sin(x+π4)在(0,π4)上单调递增，在(π4,π2)上单调递减．
又函数y=t−1t在(1, 2]上单调递增，t=1时y=0，则y=t−1t>0在(1, 2]上恒成立，
∴g(t)在(1, 2]上单调递减，
∴根据复合函数的判断法则，可得f(x)在(0,π4)上单调递减，在(π4,π2)上单调递增，
∴f(x)在(0,π2)上有最小值，且最小值为f(π4)=2 2，D正确；
f(3π4+x)+f(3π4−x)=2 2sin(3π4+x+π4)sin2(3π4+x)+2 2sin(3π4−x+π4)sin2(3π4−x)
=2 2sin(π+x)sin(3π2+2x)+2 2sin(π−x)sin(3π2−2x)=2 2(−sinx−cs2x+sinx−cs2x)=0，
即f(3π4+x)+f(3π4−x)=0，
∴f(x)的图象关于点(3π4,0)对称，A正确；
f(−3π4+x)=2 2sin(−3π4+x+π4)sin2(−3π4+x)=2 2sin(−π2+x)sin(−3π2+2x)=−2 2csxcs2x，
f(−3π4−x)=2 2sin(−3π4−x+π4)sin2(−3π4−x)=2 2sin(−π2−x)sin(−3π2−2x)
=−2 2csxcs2x=f(−3π4+x)，即f(−3π4+x)=f(−3π4+x)，
∴f(x)的图象关于直线x=−3π4对称，B正确；
∵f(x+π)=1sin(x+π)+1cs(x+π)=−1sinx−1csx≠f(x)，
∴π不是f(x)的周期，C错误．
故选：ABD.
计算出定义域后，由f(x)=1sinx+1csx=sinx+csxsinxcsx，借助三角函数基本关系，可借助换元法设出新函数g(t)=2tt2−1，根据新函数的单调性即可研究D选项；结合函数对称性的性质可得A、B选项；结合函数周期性的性质可得C选项．
本题考查三角函数的性质，诱导公式，属于中档题．
13.【答案】(2kπ−π3,2kπ+π3)，(k∈Z)
【解析】解：在[−π,π)内，csx=12对应的x=±π3；
根据余弦函数y=csx的图象与性质知，
不等式csx>12的解集为(2kπ−π3,2kπ+π3)，(k∈Z).
故答案为：(2kπ−π3,2kπ+π3)，(k∈Z).
求出在[−π,π)内csx=12对应的x值，再根据余弦函数的图象与性质，得到不等式的解集．
本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
14.【答案】−12
【解析】解：csα+sinαcsα−sinα=2分子分母同除csα得，1+tanα1−tanα=2，
解得：tanα=13，
所以sin2α−2sinαcsα=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−2tanαtan2α+1=19−2319+1=−12.
故答案为：−12.
由题意求出tanα=13，将要求的式子化简为tan2α−2tanαtan2α+1，求解即可．
本题主要考查了同角商的关系的应用，属于基础题．
15.【答案】(−∞,0)∪[1,+∞)
【解析】解：当x≥0时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，此时f(x)∈[1,+∞),
当a=0且x<0时，f(x)=x，
此时f(x)∈(−∞,0)，且(−∞,0)∪[1,+∞)≠R,所以不满足；
当a>0且x<0时，f(x)=x+ax+3a，
由对勾函数单调性可知f(x)在(−∞,− a)上单调递增，在(− a,0)上单调递减，
所以f(x)max=f(− a)=3a−2 a，此时f(x)∈(−∞,3a−2 a],
若要满足f(x)的值域为R，只需要3a−2 a≥1，解得a≥1；
当a<0且x<0时，因为y=x,y=ax均在(−∞,0)上单调递增，
所以f(x)=x+ax+3a在(−∞,0)上单调递增，且x→0时，f(x)→+∞，x→−∞时，f(x)→−∞，
所以此时f(x)∈(−∞,+∞)，此时显然能满足f(x)的值域为R；
综上可知，a的取值范围是(−∞,0)∪[1,+∞),
故答案为：(−∞,0)∪[1,+∞).
先求解出x≥0时f(x)的值域，然后根据a=0，a>0，a<0分类讨论x<0时f(x)的值域，由此确定出a的取值范围．
本题主要考查分段函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】(1+ 33)π
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长公式的应用，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
可以分为三步，每步走π3，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，利用弧长公式分别求解，最后求和即可．
【解答】
解：可以分为三步，每步走π3，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，
第一步：r=2，L1=π3×2=2π3，
第二步：r= 3，L2=π3× 3= 33π，
第三步：r=1，L3=π3×1=π3，
所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为
L1+L3+L3=23π+ 33π+13π=(1+ 33)π.
故答案为：(1+ 33)π.
17.【答案】解：(1)tan70∘cs10∘( 3tan20∘−1)=sin70∘cs70∘⋅cs10∘⋅ 3sin20∘−cs20∘cs20∘=cs20∘sin20∘⋅cs10∘⋅2sin(20∘−30∘)cs20∘
=cs10∘−2sin10∘sin20∘=−1.
(2)∵cs(π4+x)=35，17π12∴sin2x+2sin2x1−tanx=2sinxcsx(csx+sinx)csx−sinx=sin2x⋅1+tanx1−tanx=−cs(2x+π2)=−[2cs2(x+π4)−1]⋅tan(x+π4)
=−[2×925−1]⋅(−43)=−2875.
【解析】(1)由条件利用三角恒等变换化简要求的式子，可得结果．
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan(x+π4)的值，再化简要求的式子为−[2cs2(x+π4)−1]⋅tan(x+π4)，从而得到结果．
本题主要考查三角恒等变换及化简求值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由OA⊥OB，知β=α+π2，
所以sinβ=csα，csβ=−sinα，
所以sin(π+α)cs(π2+β)cs(π−β)sin(3π2+α)=−sinα⋅(−sinβ)(−csβ)⋅(−csα)=−1.
(2)因为点A的横坐标为13，所以A(13,2 23)，
所以sinβ=csα=13，csβ=−sinα=−2 23，
所以sin2α=2sinαcsα=2×13×2 23=4 29，cs2α=2cs2α−1=2×(13)2−1=−79，
所以sin(2α+β)=sin2αcsβ+cs2αsinβ=4 29×(−2 23)+(−79)×13=−2327.
【解析】(1)易知β=α+π2，从而有sinβ=csα，csβ=−sinα，利用诱导公式，化简所求式子，即可；
(2)由题意知，sinβ=csα=13，csβ=−sinα=−2 23，结合二倍角公式与两角和的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差公式，二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)假设存在实数a使函数f(x)为奇函数，
此时f(−x)+f(x)=a−2e−x+1+a−2ex+1=0，解得a=1，
故存在实数a=1，使函数f(x)为奇函数；
(2)函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R，且x1∵ex1−ex2<0,(ex1+1)(ex2+1)>0，
∴f(x1)即函数f(x)在R上单调递增；
(3)当a=1时，f(x)=1−2ex+1，
∵f(x)是奇函数，
∴f(f(x))+f(3−m)>0⇔f(f(x))>−f(3−m)⇔f(f(x))>f(m−3)，
又∵f(x)在R上单调递增，∴f(x)>m−3，
∴m∵ex>0，∴ex+1>1，∴0<2ex+1<2，
∴2<4−2ex+1<4，
∴m≤2，
即m的取值范围为(−∞,2].
【解析】(1)根据奇函数的性质进行判断即可；
(2)根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可；
(3)根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可．
本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)= 3sin2x+2cs2x+m= 3sin2x+cs2x+m+1=2sin(2x+π6)+m+1，
当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，
所以−12≤sin(2x+π6)≤1，
因为f(x)的最小值为3，
所以m=3；
(2)由(1)得，f(x)=2sin(2x+π6)+4，
将函数f(x)向右平移π4个单位，再向下平移4个单位，得到函数g(x)=2sin(2x−π3)，
令2kπ+π2≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
则kπ+5π12≤x≤11π12+kπ，k∈Z，
由x∈[−π6,π2]可得函数g(x)的单调递减区间为[5π12,π2]，[−π6,−π12].
【解析】(1)先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数最值的取得条件可求m；
(2)结合三角函数图象的平移变换先求出g(x)，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了三角函数的图象的变换，正弦函数最值及函数单调性的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为AD=xcm，所以AB=(4−x)cm，
因为AD为较长边，所以4−x设ED=acm，则AE=(x−a)cm，
因为∠AEB=∠C′ED，∠EAB=∠DC′E，AB=DC′，
所以Rt△BAE≌Rt△DC′E，所以BE=ED=acm，
在Rt△BAE中，由勾股定理得BA2+AE2=BE2，
即(4−x)2+(x−a)2=a2，解得a=x2−4x+8x，
所以AE=x−a=4x−8x，
所以△BAE的面积S=12AB⋅AE=12(4−x)⋅4x−8x=−2x2+12x−16x=12−2(x+8x)(2所以△BAE的面积S=[12−2(x+8x)]cm2(2(2)设一颗钮扣的镀金费用为y元，
则y=6×S△BAE×2×2=24×[12−2(x+8x)]≤24×(12−8 2)=96(3−2 2)，
当且仅当x=8x，由2所以当AD为2 2cm时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为96(3−2 2)元．
【解析】(1)根据已知条件，可推得Rt△BAE≌Rt△DC′E，在Rt△BAE中，由勾股定理得BA2+AE2=BE2，解得解得解得a=x2−4x+8x，AE=x−a=4x−8x，再结合面积公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵x=1是函数g(x)=ax2−3ax+2的零点
∴g(1)=a−3a+2=2−2a=0，解之得a=1；
(2)由(1)得g(x)=x2−3x+2，则f(x)=x−3+2x，
则方程f(|2x−1|)+k(3|2x−1|)−3k=0
可化为|2x−1|+2|2x−1|−3+3k|2x−1|−3k=0，
∵x≠0，∴两边同乘|2x−1|得：|2x−1|2−(3+3k)|2x−1|+3k+2=0，则此方程有三个不同的实数解．
令t=|2x−1|则t>0，则t2−(3+3k)t+3k+2=0，解之得t=1或t=3k+2，
当t=1时，|2x−1|=1，得x=1；
当t=3k+2时，|2x−1|=3k+2，则此方程有两个不同的实数解，
则0<3k+2<1，解之得−23则实数k的取值范围为(−23,−13).
【解析】(1)依据题给条件列出关于实数a的方程，解之即可求得实数a的值；
(2)先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数k的不等式，解之即可求得实数k的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．