高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念学案，共16页。

高尔夫球是一项非常有趣的运动，擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要．”方向走对了，哪怕走得慢也能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．
知识点1 向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？
[提示] 海拔不是向量，它只有大小没有方向．海拔的正负，只是相对规定的标准来说的，不是指方向，不是向量．
知识点2 向量的几何表示
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)
2．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？
[提示] 有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．
知识点3 向量的有关概念
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量的大小为0，没有方向．( )
(2)若a，b都是单位向量，则a＝b．( )
(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．如图，B是线段AC的中点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．
6 [由向量的几何表示，知可以写出6个向量，它们分别是AB，AC，BC，BA，CA，CB．]
类型1 向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
辨析向量概念的方法
(1)理解向量概念的关键是突出向量的两个要素——大小和方向，只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
(2)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
[跟进训练]
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
③ [①错误．若b＝0，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上．]
类型2 向量的表示及应用
【例2】 (源自北师大版教材)小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后又从图书馆向南偏东60°走了1 000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动．请选择适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位移．
[解] 设比例尺为1∶50 000，如图．
小明的位移表示如下：
向量OA表示从教学楼到图书馆的距离与方向；
向量AB表示从图书馆到食堂的距离与方向；
向量BC表示从食堂到操场的距离与方向．
用有向线段表示向量的方法
第一步：确定起点；
第二步：确定方向；
第三步：依据向量模的大小确定有向线段的终点．
[跟进训练]
2．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)|OA|＝3，点A在点O北偏西45°方向；
(2)|OB|＝22，点B在点O正南方向．
[解] (1)∵|OA|＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点．
(2)∵|OB|＝22＝22+22，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点．
类型3 相等向量和共线向量
【例3】 在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)写出与向量FC共线的向量；
(2)求证：BE＝FD．
[思路导引] (1)与FC共线的向量与FC的方向相同或相反．
(2)BE＝FD必须具备|BE|＝|FD|，且二者方向相同．
[解] (1)由满足共线向量的条件得与向量FC共线的向量有：CF，BC，CB，BF，FB，ED，DE，AE，EA，AD，DA．
(2)证明：在▱ABCD中，AD綉BC．
又E，F分别为AD，BC的中点，
∴ED綉BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE綉FD，∴BE＝FD．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
[跟进训练]
3．如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与EF共线的向量；
(2)写出与EF长度相等的向量；
(3)写出与EF相等的向量．
[解] (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
∴与EF共线的向量为FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB．
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC，∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，
∴与EF长度相等的向量为FE，BD，DB，DC，CD．
(3)与EF相等的向量为DB，CD．
1．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
C [质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．]
2．如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C [由题图可知，三个向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]
3．(多选)下列说法错误的是( )
A．相等向量的起点相同
B．零向量与单位向量是平行向量
C．有向线段AB与BA表示同一个向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
ACD [对于A，相等向量的起点未必相同，所以A错误；对于B，零向量与单位向量是平行向量，正确；对于C，有向线段AB与BA方向不同，不表示同一个向量，故C错误；对于D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选ACD．]
4．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量ED相等的向量为________；
(2)若|AB|＝3，则|EC|＝________．
(1)AB DC (2)6 [(1)在▱ABCD和▱ABDE中，
∵AB＝ED，AB＝DC，
∴ED＝DC．
(2)由(1)知，ED＝DC，
∴E，D，C三点共线，|EC|＝|ED|＋|DC|＝2|AB|＝6．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量与数量有什么区别？向量能比较大小吗？
[提示] 数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、 零来表示，可以比较大小，如长度、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．
2．零向量与任意向量存在什么关系？
[提示] 平行．
3．向量中的“平行”“共线”与几何中的“平行”“共线”是否一致？
[提示] 向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同．
课时分层作业(一) 平面向量的概念
一、选择题
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．故选C．]
2．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不可能都是单位向量
D．不可能都是零向量
D [因为所有的零向量都是相等的向量，故选D．]
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是( )
A．AB＝DC B．|AB|＝|DC|
C．AB＞DC D．AB＜DC
B [|AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．]
4．(多选)下列条件，能使a∥b成立的有( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
ACD [若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b．故选ACD．]
5．(多选)如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是( )
A．AO＝OC B．AO∥AC
C．AB与CD共线 D．AO＝BO
ABC [根据正方形的特征，结合相等向量、平行向量作出判断，只有D是错误的，AO与BO只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．]
二、填空题
6．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．
[答案] 单位圆
7．在四边形ABCD中，若AB＝DC且|AB|＝|AD|，则四边形的形状为________．
菱形 [∵AB＝DC，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵|AB|＝|AD|，∴四边形ABCD是菱形．]
8．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进1003 m，则此人位移的方向是________．
南偏东30° [如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，
则tan ∠BAC＝BCBA＝1003100＝3，∴∠BAC＝60°，即南偏东30°．]
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与AO，BO相等的向量；
(2)找出与AO共线的向量；
(3)找出与AO模相等的向量；
(4)向量AO与CO是否相等？
[解] (1)AO＝BF，BO＝AE．
(2)与AO共线的向量有：BF，CO，DE．
(3)与AO模相等的向量有：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE．
(4)向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同．
10．(多选)在下列结论中，正确的结论为( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
ACD [若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以ACD正确，B错误．]
11．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与AB相等的向量只有1个(不含AB)
B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)
C．BD的模恰为DA的模的3倍
D．CB与DA不共线
ABC [由于AB＝DC，因此与AB相等的向量只有DC，而与AB的模相等的向量有DA，DC，AC，CB，AD，CD，CA，BC，BA，因此选项A，B正确；
而在Rt△AOD中，
因为∠ADO＝30°，所以|DO|＝32|DA|，
故|DB|＝3|DA|，因此选项C正确；由于CB＝DA，因此CB与DA是共线的，故选项D不正确．故选ABC．]
12．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________．
0 [AB与BC不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行．]
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若AC的模为2，BC的模为3，AD的模为1，则DB的模为________．
32 [如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E．
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以|AC|＝|AE|．
因为△ADE∽△BDC，
所以ADDB＝AEBC＝ACBC，
故|DB|＝32．]
14．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，N，M分别是AD，BC上的点，且CN＝MA，求证：DN＝MB．
[证明] ∵AB＝DC，∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CB＝DA，即CB＝DA．
又CN＝MA，∴CN＝MA，CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴CM＝NA，∴CM＝NA，CM∥NA．
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN．
又DN∥MB，∴DN与MB的模相等且方向相同，
∴DN＝MB．
15．如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝5．
(1)画出所有的向量AC；
(2)求|BC|的最大值与最小值．
[解] (1)画出所有的向量AC，
如图中AC1，AC2，AC3，AC4，AC5，AC6，AC7，AC8所示．
(2)由图知，
①当点C位于点C1或C2时，
|BC|取得最小值，为12+22＝5；
②当点C位于点C5或C6时，
|BC|取得最大值，为42+52＝41．
故|BC|的最大值为41，最小值为5．学习
任务
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景．(数学抽象)
2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(直观想象、数学抽象)
零向量
长度为0的向量，记做0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量．
向量a与b平行，记作a∥b．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量．
向量a与b相等，记作a＝b