人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案，共13页。

一只蚂蚁做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”，你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？
知识点1 向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|．
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同．
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
当λ＝0时，λa＝0．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a．
②(λ＋μ)a＝λa＋μa．
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb．
(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
1．实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？
[提示] 不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的．
2．若λa＝0，则一定有a＝0吗？
[提示] 不一定，还有可能λ＝0．
知识点2 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＝λb⇒a与b共线． ( )
(2)若a与b共线，一定有a＝λb．( )
(3)若a，b不共线，则a，b中任何一个均不为0． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．化简：2(3a＋4b)－8a＝________．
－2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．]
类型1 向量的线性运算
【例1】 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9a+13b；
(2)123a+2b-a+12b－212a+38b；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
(2)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0．
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
[跟进训练]
1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
[解] 3x-2y=a ①，-4x+3y=b ②，由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
所以y＝4a＋3b．
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
类型2 用已知向量表示相关向量
【例2】 如图，D是△ABC的边AB的中点，则CD＝( )
A．BC－12BAB．－BC＋12BA
C．－BC－12BAD．BC＋12BA
B [法一：∵D是AB的中点，∴BD＝12BA，∴CD＝CB+BD＝－BC＋12BA．
法二：CD＝12(CB+CA)＝12[CB＋(CB+BA)]＝CB＋12BA＝－BC＋12BA．]
用已知向量表示其他向量的方法
(1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量．
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
(3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则OM＝OA+OB2．
[跟进训练]
2．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE等于( )
A．12a－b B．12a＋b
C．a＋12b D．a－12b
D [因为E是BC的中点，
所以CE＝12CB＝－12AD＝－12b，
所以DE＝DC+CE＝AB+CE＝a－12b．]
类型3 向量共线定理
【例3】 设a，b是不共线的两个向量．
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，
求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
[思路导引] (1)OA，OB，OC→AB，BC→AB＝λBC．
(2)8a＋kb与ka＋2b共线→8a＋kb＝λ(ka＋2b)．
[解] (1)[证明] ∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB，∴AB与BC共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴8-λk=0，k-2λ=0，
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．
1．证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
2．利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．
[跟进训练]
3．设OA，OB不共线，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)．
(1)若a＝13，b＝23，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？说明理由．
[解] (1)证明：当a＝13，b＝23时，
OC＝13OA＋23OB，
所以23(OC-OB)＝13(OA-OC)，
即2BC＝CA，
所以BC与CA共线．又BC与CA有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，
不妨设AC＝λAB(λ∈R)，所以OC-OA＝λ(OB-OA)，
即OC＝(1－λ)OA＋λOB，
又OC＝aOA＋bOB，且OA，OB不共线，
则a=1-λ，b=λ，
所以a＋b＝1(定值)．
1．(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是( )
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
ABC [A正确，∵2＞0，
∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|．
B正确，∵5＞0，
∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2＜0，
∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，
∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25．
C正确，按照相反向量的定义可以判断．
D不正确，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，
∴a－b与－(b－a)为相等向量．
故选ABC．]
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于( )
A．12(a－b) B．－12(a－b)
C．12(a＋b) D．－12(a＋b)
C [因为M是BC的中点，所以AM＝12(a＋b)．]
3．13122a+8b-4a-2b＝________．
2b－a [原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝－a＋2b．]
4．已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若OP＝3OA＋xOB，则x＝________．
－2 [因为点P在直线AB上，
所以AP＝λAB，λ∈R，OP-OA＝λ(OB-OA)，
即OP＝λOB＋(1－λ)OA，
所以1-λ=3，λ=x，所以x＝－2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量λa的几何意义是什么？
[提示] λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．
2．向量共线定理的内容是什么？
[提示] 若向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0)．
3．如何利用向量共线定理证明A，B，C三点共线？
[提示] 要证三点A，B，C共线，只需证明AB与BC或AB与AC共线即可．
课时分层作业(四) 向量的数乘运算
一、选择题
1．平面向量a，b共线的充要条件是( )
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．存在λ∈R，使得b＝λa
D．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0
D [注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在实数λ，使得b＝λa，即λa－b＝0．故选D．]
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
AB [A正确；B正确；C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n．故选AB．]
3．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是( )
A．a＝2e，b＝－2e
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
ABC [对于A，b＝－a，有a∥b；
对于B，b＝－2a，有a∥b；
对于C，a＝4b，有a∥b；
对于D，a与b不共线．故选ABC．]
4．在四边形ABCD中，若AB＝3a，CD＝－5a，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C [由条件可知AB＝－35CD，所以AB∥CD，又因为|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．]
5．(2022·江苏南通期末)在△ABC中，已知D是AB边上一点，且3CD＝CA＋2CB，则( )
A．AD＝2BD B．AD＝12DB
C．AD＝2DB D．AD＝13AB
C [3CD＝CA＋2CB，则有CD-CA＝2(CB-CD)，可得AD＝2DB．故选C．]
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD＝λAO，则λ＝________．
2 [∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD＝AC＝2AO，∴λ＝2．]
7．设点C在线段AB上，且2AC＝3CB，则AC＝________AB，BC＝________AB．
35 －25 [因为2AC＝3CB，所以ACCB＝32，AC＝35AB，CB＝25AB，所以AC＝35AB，BC＝－25AB．]
8．已知向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋2e2，BC＝－5e1＋6e2，CD＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
A，B，D [∵AB＝e1＋2e2, BD＝BC+CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2AB，
∴AB，BD共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．]
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a，b，c表示BC，MN．
[解] BC＝BA+AD+DC＝－AB+AD+DC＝－a＋b＋c．
MN＝MD+DA+AN＝－12DC-AD＋12AB＝－12c－b＋12a＝12a－b－12c．
10．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB+FC等于( )
A．BC B．12AD
C．AD D．12BC
C [如图，EB+FC＝EC+CB+FB+BC＝EC+FB＝12(AC+AB)＝12×2AD＝AD．
]
11．已知在△ABC中，向量AP＝λ(AB+AC)(λ∈R)，则点P的轨迹经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
D [设D为BC中点，则AB+AC＝2AD，所以AP＝2λAD，即点P在中线AD所在直线上，可知点P的轨迹必过△ABC的重心．]
12．点P在△ABC所在平面上，且满足PA+PB+PC＝2AB，则S△PABS△ABC＝( )
A．12B．13
C．14D．23
B [因为PA+PB+PC＝2AB＝2(PB-PA)，所以3PA＝PB-PC＝CB，所以PA，CB共线，且3|PA|＝|CB|，所以S△PABS△ABC＝13．]
13．已知在△ABC中，点M满足MA+MB+MC＝0，若存在实数m使得AB+AC＝mAM成立，则m＝________．
3 [∵MA+MB+MC＝0，
∴MB+MC＝－MA，
又由AB+AC＝mAM得(MB+MC)－2MA＝mAM，
即－3MA＝mAM＝－mMA，所以m＝3．]
14．已知两个非零向量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b．
(1)若2OA-OB+OC＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
[解] (1)因为2OA-OB+OC＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3．
(2)AB＝OB-OA＝－a＋4b，AC＝OC-OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使AC＝λAB，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以k-2=-λ，6=4λ，解得k＝12．
15．设O为△ABC内任一点，且满足OA＋2OB＋3OC＝0．
(1)若D，E分别是边BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
[解] (1)证明：如图，
OB+OC＝2OD，OA+OC＝2OE．
因为OA＋2OB＋3OC＝(OA+OC)＋2(OB+OC)＝2(OE＋2OD)＝0，即2OD+OE＝0，所以OD与OE共线．又OD与OE有公共点O，所以D，E，O三点共线．
(2)由(1)知2|OD|＝|OE|，
所以S△AOC＝2S△COE＝2×23S△CDE
＝2×23×14S△ABC＝13S△ABC，所以S△ABCS△AOC＝3．学习任务
1．了解向量数乘的概念．(数学抽象)
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．(数学运算)
3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法．(逻辑推理)