高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案，共15页。


天车是大型生产车间或工地进行起重作业的重要设备．如图，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移，实际位移AB可以看作竖直方向的位移AD与水平方向的位移AC的合成．
知识点1 向量的加法
1．向量加法的定义
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．
2．向量求和的法则
3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立．
非零向量a，b处于什么位置时，
(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
[提示] (1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． ( )
(2)AB+BC>AC． ( )
(3)|AB|＋|BC|＝|AC|．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．如图，在▱ABCD中，DA+DC＝________．
DB [由平行四边形法则可知DA+DC＝DB．]
3．化简：CB+AD+BA＝________．
CD [CB+AD+BA＝CB+BA+AD＝CD．]
类型1 向量的加法法则
【例1】 如图，已知向量a，b．
(1)用三角形法则作出向量a＋b；
(2)用平行四边形法则作出向量a＋b．
[解] (1)如图①，在平面内任取一点O′，作O'D＝a，DE＝b，连接O′E，则O'E＝a＋b．
(2)如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA+OB＝a＋b．
三角形法则与平行四边形法则的适用条件
注意：(1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
[跟进训练]
1．(1)如图甲所示，求作向量和a＋b；
(2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．
[解] (1)首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b．如图所示．
(2)法一(三角形法则)：如图所示，
首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA+OB＝a＋b．
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，
连接OE，则OE＝OD+OC＝a＋b＋c即为所求．
类型2 向量加法的运算
【例2】 (源自人教B版教材)化简下列各式：
(1)AB+CD+BC；
(2)AB+FA+BD+DE+EF．
[解] (1)AB+CD+BC＝(AB+BC)＋CD＝AC+CD＝AD．
(2)AB+FA+BD+DE+EF＝AB+FA＋(BD+DE+EF)＝AB+FA+BF＝(AB+BF)＋FA＝AF+FA＝0．
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
[跟进训练]
2．已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①OA+OE；②AO+AB；③AE+AB．
[解] 如图所示，①易知四边形OAFE为平行四边形，连接OF，则OA+OE＝OF．
②连接OC，则四边形OABC为平行四边形，连接AC，则AO+AB＝AC．
③连接DB，则四边形AEDB为平行四边形，连接OD，则AE+AB＝AD．
类型3 向量加法的实际应用
【例3】 (源自苏教版教材)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
[思路导引] 位移问题 转化化归 向量问题 直观想象 结合图形求解．
[解] 如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船在静水中的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度．
因为AB+AD＝AC，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，因为∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°．
答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[跟进训练]
3．一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
[解] 如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB+BC．
在Rt△ABD中，|DB|＝20 km，|AD|＝203 km．
在Rt△ACD中，|AC|＝AD2+DC2＝403 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403 km处．
1．(多选)如图所示，在▱ABCD中，下列结论中正确的是( )
A．AB＝DC B．AD+AB＝AC
C．AB＝BD+ADD．AB+CB＝AC
[答案] AB
2．向量(AB+PB)＋(BO+BM)＋OP化简后等于( )
A．BC B．AB C．AC D．AM
D [原式＝(AB+BM)＋(PB+BO+OP)＝AM＋0＝AM．故选D．]
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________．
13 [因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]
4．小船以103 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度的大小为1032+102＝20(km/h)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？其运算法则有哪些？
[提示] 两个向量相加不是两个向量的模相加，向量相加要考虑大小及方向，其运算法则有三角形法则和平行四边形法则．
2．应用三角形法则应注意哪些问题？
[提示] 使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
3．应用平行四边形法则应注意哪些问题？
[提示] 平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．
4．对于任意的向量a，b ，|a＋b|与|a|，|b|之间存在怎样的大小关系？
[提示] |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立．
课时分层作业(二) 向量的加法运算
一、选择题
1．化简：AE+EB+BC等于( )
A．ABB．BA
C．0 D．AC
D [AE+EB+BC＝AB+BC＝AC．]
2．正方形ABCD的边长为1，则|AB+AD|为( )
A．1 B．2
C．3 D．22
B [在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝2，所以|AB+AD|＝|AC|＝2．]
3．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，则AC+BA＝( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
B [AC+BA＝BA+AC＝BC＝AD＝b，即AC+BA＝b．故选B．]
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋3)km
B [AB＝a表示“向东航行1 km”，BC＝b表示“向北航行3 km”，根据三角形法则，
∴AC＝a＋b，∵tan A＝3，
∴A＝60°，且AC＝32+12＝2(km)，
∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km．故选B．]
5．(多选)下列各式中，结果为0的是( )
A．AB+BC+CA
B．(AB+MB)＋BO+OM
C．OA+OC+BO+CO
D．AB+CA+BD+DC
AD [由向量加法的运算法则知A、D的结果为0．]
二、填空题
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC+CD|＝________．
1 [|BC+CD|＝|BD|，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，且|AB|＝1，
∴△ABD为等边三角形，故|BD|＝1，
因此|BC+CD|＝1．]
7．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列各式，则：
(1)OA+OC＝________；
(2)BC+FE＝________．
(1)OB (2)AD [(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得OA+OC＝OB．
(2)由题图可知，BC＝FE＝OD＝AO，
∴BC+FE＝AO+OD＝AD．]
8．在平行四边形ABCD中，若|BC+BA|＝|BC+AB|，则四边形ABCD是________．
矩形 [如图，|BC+BA|＝|BD|，|BC+AB|＝|AD+AB|＝|AC|，∴|BD|＝|AC|．
∴四边形ABCD为矩形．]
三、解答题
9．是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|？请画出图形说明．
[解] 存在，如图，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC．
由题意知OA＝OB＝OC＝AC，则∠AOC＝∠COB＝60°．
10．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA+PB＝PC，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
D [PA+PB＝PC，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D．]
11．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP+OQ＝( )
A．OHB．OG
C．FOD．EO
C [以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则OP+OQ＝OM，由OM和FO的模相等，方向相同，得OM＝FO，即OP+OQ＝FO．]
12．(多选)若a＝(AB+CD)＋(BC+DA)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
AC [∵a＝AB+BC+CD+DA＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A正确；0＋b＝b，即B错误，C正确；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错误．故选AC．]
13．已知OA＝a，|a|＝3，OB＝b，|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________．
33 [如图，因为|OA|＝|OB|＝3，
所以四边形OACB为菱形．
连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D．
因为∠AOB＝60°，
所以AB＝|OA|＝3．
所以在Rt△BDC中，CD＝332．
所以|OC|＝|a＋b|＝332×2＝33．]
14．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP+CQ＝0．求证：AP+AQ＝AB+AC．
[证明] ∵AP＝AB+BP，
AQ＝AC+CQ，
∴AP+AQ＝AB+AC+BP+CQ．
又∵BP+CQ＝0，∴AP+AQ＝AB+AC．
15．如图，小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处，此时水流的速度为6 km/h，测得小船正以6 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向．
[解] 设AB表示小船垂直于河岸行驶的速度，AC表示水流的速度，如图，
连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，
则四边形ACBD为平行四边形，
∴AD就是小船在静水中的速度．
在Rt△BAC中，|AB|＝6，|AC|＝6，
∴|AD|＝|BC|＝AB2+AC2＝62，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴tan ∠DAB＝tan ∠ABC＝1，
∴∠DAB＝45°，∠DAC＝135°，
∴小船在静水中的速度为62 km/h，方向与水流方向的夹角为135°．
学习任务
1．能从实例中抽象出向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义．(数学抽象)
2．掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则．(直观想象)
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．(数学抽象、逻辑推理)
三角
形法
则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB+BC＝AC
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量AC＝a＋b
法则
三角形法则
平行四边形法则
两向量位置关系
两向量共线或不共线均可
只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点
一个向量的终点为另一个向量的起点
两向量起点相同