人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时练习，共40页。

【必做题】
一．选择题
1．（2023•双滦区开学）在四棱锥中，底面是直角梯形，且，平面，，则与平面所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先求出直线与平面的夹角，进一步利用解三角形知识求出三角函数的值．
【解答】解：四棱锥中，底面是直角梯形，且，平面，，
故为与平面所成角，
如图所示：
所以，设与平面所成角为，
在中，，
故．
故选：．
2．（2022秋•河北月考）已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，根据圆锥的侧面积和体积公式结合基本不等式可求得最大时与的值，再根据线面角的定义可得结果．
【解答】解：设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
则，，
于是（当且仅当，即时取等号），
此时，
由线面角的定义得，所求的母线与底面所成角的正弦值为，
故选：．
3．（2022•秦皇岛二模）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用等体积法求点到平面的距离为，进而可求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：易知，到平面的距离为．
设点到平面的距离为，又，，则．
由，得，解得，故直线与平面所成角的正弦值为．
故选：．
4．（2022秋•桥西区月考）已知平面内的，射线与，所成的角均为，则与平面所成的角的余弦值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】作出图形，通过分析可得为与平面所成的角的补角，利用余弦定理计算即可得解．
【解答】解：作出图形，如图所示，
令，
则，
所以，
取的中点，连接，则即为与平面所成的角的补角，
在中，，
所以在中，，
因为，
所以，
所以与平面所成的角的余弦值是．
故选：．
5．（2022•邢台模拟）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是
A．，且B．，且C．，且D．，且
【答案】
【分析】根据，，，所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．
【解答】解：，且，或，或与相交，故不成立；
，且，故成立；
，且，或，或与相交，故不成立；
由，且，知不成立，故不正确．
故选：．
6．（2022秋•沧州月考）若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由已知条件知直线的方向向量与平面的法向量它们所在直线的夹角等于，由此即可求出答案．
【解答】解：因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以它们所在直线的夹角为，
则直线与平面所成的角等于．
故选：．
7．（2022•秦皇岛开学）如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接与交于点，先利用线面垂直的条件证得平面，可知即为直线与平面所成的角，从而得出答案．
【解答】解：连接与交于点，，所以即为直线与直线所成的角，即，
易知，所以，得，
连接，易得即为直线与平面所成的角，，所以．
故选：．
8．（2022秋•河北月考）在正四面体中，点为三角形的垂心，则直线与平面所成的角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意画出图形，找出与平面所成角，设出正四面体的棱长，求解三角形得答案．
【解答】解：如图，
为正四面体，为正三角形，
则的垂心即为的中心，连接并延长，交于，
，且为的中点，连接，则，
又，平面，
又平面，平面平面，则为直线与平面所成的角，
设正四面体的棱长为2，则，，
在中，可得．
即直线与平面所成的角的余弦值为．
故选：．
二．多选题
9．（2022春•保定月考）如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角的余弦值为
【答案】
【分析】对，根据线面垂直的性质可以判断；对，取的中点，通过证明平面和平面可得平面平面，即可证明；对，可得为直线与平面所成角；对，可得即为异面直线所与所成角．
【解答】解：对，由正方体得：平面，所以，
若，则平面，则有，又，所以不成立，所以不正确．
对，取的中点，连接，，易得，因为平面，平面，所以平面，
因为，为中点，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故正确；
对，由正方体得：平面，
连接，由平面得：为直线与平面所成角，
由已知得：，，，
所以中，，所以不正确．
对，由选项得，所以即为异面直线所与所成角，
在△中，，，
由余弦定理得：，
即直线与直线所成角的余弦值为，所以正确．
故选：．
10．（2022春•张家口月考）已知在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，且腰，，为平面内动点，为的中点，满足平面，下列说法中正确的是
A．与平面所成角正弦值的范围为
B．与平面所成角正弦值的范围为
C．在内的轨迹长度为1
D．在内的轨迹长度为2
【答案】
【分析】连接，推出，说明平面，求解，过作．连结，得到为与平面所成角的平面角，求解范围判断、的正误；取，分别为，的中点，得到平面平面，线段为在三角形内的轨迹，长度为1．判断、的正误．
【解答】解：连接，为等腰直角三角形，所以，又因为平面平面，
则平面，，所以，
因为，所以，所以，
过作．连结，易知为与平面所成角的平面角，，故正确，错误；
取，分别为，的中点，，，即可推出平面平面，
则线段为在三角形内的轨迹，长度为1．故正确，错误．
故选：．
11．（2022秋•河北月考）如图，棱长为4的正方体中，点，分别为、的中点，下列结论正确的是
A．
B．直线与平面所成角的正切值为3
C．平面
D．平面截正方体的截面周长为
【答案】
【分析】取的中点，连接，，则，证得平面，可判断；
设与，分别交于点，，平面，即为与平面所成角，计算出来可判断；
平面即为平面，根据，得到平面，可判断；
取靠近点的四等分点，易证，则，，，四点共面，得到即为平面截正方体的截面，计算出来可判断．
【解答】解：取的中点，连接，，则，
，，平面，，
，，，平面，，所以正确；
设与，分别交于点，，平面，
即为与平面所成角，，
其中，，
，所以正确；
平面即为平面，，平面，所以错误；
取靠近点的四等分点，易证，，，，四点共面，即为平面截正方体的截面，
，
平面截正方体的截面周长为，所以错误，
故选：．
12．（2022春•邢台月考）如图，已知四棱锥中，平面，，，为中点，在上，，，则下列结论正确的是
A．B．与平面所成角为
C．四面体的体积为D．平面平面
【答案】
【分析】对于，先证明，结合，可判断；对于，易知与平面所成角即为，进而判断；对于，利用等体积法可知，进而可判断；对于，先证明平面，再利用面面垂直的判定可判断．
【解答】解：对于，连接，
，，
，，
，
同理可得，故，
为的中点，
又为的中点，
，
又，则与不可能平行，选项错误；
对于，由于平面，则与平面所成角即为，
又，则，
，又，则，选项错误；
对于，，
又平面，，
平面，
又，
，选项正确；
对于，平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
平面平面，选项正确．
故选：．
三．填空题
13．（2022春•滦南县期中）在直三棱柱中，，，，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 ．
【答案】．
【分析】连接，作于，连接，说明就是直线与平面所成的角，通过求解三角形求解即可．
【解答】解：连接，则，
直线与平面所成的角，就是直线与平面所成的角，与平面所成的角，
作于，连接，因为直三棱柱中，，
所以底面是等腰三角形，则平面，
可知就是直线与平面所成的角，，，，
可得，，
所以，
所以，
故答案为：．
14．（2022秋•卢龙县期中）已知正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为 ．
【分析】取的中点，连接，，证明面，可得就是与平面所成的角，解直角三角形即可．
【解答】解：取的中点，连接，，则，
正三棱柱中，面面，面面，
面，
就是与平面所成的角，
不妨设正三棱柱的所有棱长都为2，则，
在△中，
故答案为：
15．（2022秋•河北月考）将六根长为2米的硬钢丝与三根长为3米的硬钢丝焊接成一个三棱柱，假设钢丝是极细的（计算体积时可将每根钢丝当作线段），焊接过程中钢丝长度不改变．若所得三棱柱的体积为立方米，则该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为 ．
【分析】由题意知，该三棱柱的侧棱长为3米，底面是边长为2米的正三角形，设该三棱柱的高为米，由棱柱的体积公式可求得，再由侧棱长即可得解．
【解答】解：由于只有三根长为3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是3米，
所以这三根是棱柱的侧棱，且三棱柱的底面是边长为2米的正三角形，
设该三棱柱的高为米，
则体积，解得，
所以该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为．
故答案为：．
16．（2022•石家庄一模）如图，长方体中，，，是正方形的中心，则直线与平面所成的角的余弦值是 ．
【分析】取中点，连接，，显然为所求直线与平面所成的角，转化到中求解即可．
【解答】解：取中点，连接，，
因为为长方体，是正方形的中心，为中点，
所以显然为所求直线与平面所成的角，
且，
，即直线与平面所成的角的余弦值是．
故答案为：．
四．解答题
17．（2022春•张家口月考）如图，棱柱—中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与侧面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，．
（1）求证：；
（2）若为的中点，与平面所成的角为，求侧棱的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，然后由平行公理可得；
（2）由题意首先找到直线与平面所成的角，然后由几何关系求得的值，最后计算侧棱的长度即可．
【解答】（1）证明：由平行四边形的性质可得，
因为平面，平面，
由线面平行的判断定理可得平面，平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可得，
又因为棱柱中，，
所以．
（2）解：在底面中，，
，，，
又侧棱底面，则底面，
平面，，
又，，平面，
则平面，
连接，则为与平面所成的角，即，
设，，，
在中，，解得，
为的中点，
．
18．（2022春•深州市期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，．是棱上一点，且平面．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解．
【解答】证明：（1）在矩形中，所以，
平面，平面，平面，，，
，
在中，，，为中点，
．
，即，
又，，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
解：（2）由（1）知，，
平面，平面，，
又，，，平面，
平面，又，平面，
又平面，，
，平面平面，平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．（2022春•河北期中）如图，在平面四边形中，，，将沿着翻折，使得点翻折到点，且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析，（2）．
【分析】（1）设的中点为，连接，，通过证明平面得线线垂直；
（2）计算出为钝角，过作，交的延长线于点，证得平面，计算出图形中各线段长，相应三角形面积，设到平面的距离为，由求得，从而可得线面角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设的中点为，连接，．
，，
，．
，，平面，
平面，
平面，，
（2）解：如图，由题意得，．
，
为钝角，
过作，交的延长线于点．
平面，平面，
，
，，平面，
平面，
解得
，
，，
设到平面的距离为，
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20．（2022春•唐县期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解答；
（Ⅱ）直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）证明两异面直线垂直，需先证明一条直线与另一直线所在平面垂直，则该直线垂直于面内的任一直线；
（Ⅱ）首先利用垂直找直线与平面所成角为，再将其构造在直角三角形中进行求解正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在菱形中，有，由平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
平面，
解：（Ⅱ）作交于点，连接，，
设，，
，为的中点，
，且为的中点．
又，，则，
由（Ⅰ）可知：平面，而
平面，
直线与平面所成角为
又，
故直线与平面所成角的正弦值．【删除】
【选做题】
一．选择题
1．（2022秋•张家口月考）在三棱柱，底面为等边三角形，侧面是菱形，且，侧面底面，点是的中点，则直线与平面所成的角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】取的中点，连接，，易知，并结合面面，推出面，于是或其补角即为所求，然后在△中，由，得解．
【解答】解：取的中点，连接，，
四边形是菱形，且，
，
又面面，面面，
面，
或其补角为直线与平面所成的角，
设正的边长为，
在△中，，，
，即，
直线与平面所成的角为．
故选：．
2．（2022•唐山一模）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则直线与底面所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】画出图形，判断直线与底面所成角，求出，，然后求解即可．
【解答】解：四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，
可得，四棱锥中，经过外接球的球心，
若球的表面积为，所以，可得，所以，
底面，直线与底面所成角就是，
所以．
故选：．
3．（2022秋•邢台期末）如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，，分别为侧棱，的中点，为棱上一点，且，．若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，，由，分别为侧棱，的中点，得，根据直线与平面平行的判定，可得平面，再由直线与平面平行的性质，得到，可得，根据线段的比例关系确定，取的中点，连接，再由面面垂直和线面垂直的定义找出为与底面所成角，解三角形得答案．
【解答】解：连接，，，分别为侧棱，的中点，，
又平面，平面，平面，
又平面平面，，则，
，
，，取的中点，连接，则，
，，又侧面底面，底面，
则为与底面所成角，
，
．
故选：．
4．（2022秋•唐山期末）如图，三棱柱中，底面，，，则直线与平面所成角的正弦值是
A．B．C．D．
【分析】由底面，得平面平面，取 的中点，连接，，可得为直线与平面所成角．，求解三角形得答案．
【解答】解：底面，平面平面，
取 的中点，连接，，
由△为等腰直角三角形，可得，
平面，则为直线与平面所成角．
设，则，
，
．
直线与平面所成角的正弦值是．
故选：．
5．（2022春•桃城区月考）在边长为8的等边中，，分别为，的中点，现将沿折起到△的位置，使得，则直线与底面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】取的中点，可通过勾股定理证明，进而得出平面，在△中，计算即可．
【解答】解：分别取，的中点，，连接，，，
则，，故，
，，
又，，故平面，
为直线与平面所成的角，
．
故选：．
6．（2022秋•桥西区月考）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，，与底面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【分析】根据棱锥的条件公式求出到平面的距离，从而得出与平面的夹角．
【解答】解：设中点为，连接，，则，
是边长为2的等边三角形，，平面，
，，
，
设到平面的距离为，则．
又，
，
设与底面所成角为，则．
故选：．
7．（2022秋•衡水月考）在长方体中，，与平面所成的角为，则的取值区间为
A．B．C．D．
【分析】设，连结，推导出为直线与平面所成的角，由此能求出的取值区间．
【解答】解：设，连结，
在长方体中，
，平面，
为直线与平面所成的角，
，
的取值区间为．
故选：．
8．（2022春•唐山期中）已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．，，B．，
C．，D．，
【答案】
【分析】由面面平行的性质，可以判断的对错，由线面平行的定义及判定方法可判断，的真假，由线面垂直的定义及判定方法，可以判断的正误．
【解答】解：若，，，则与可能平行与可能异面，故错误；
若，，则或，故错误；
若，，则或，故错误；
若，根据线面垂直的判定方法，易得，故正确；
故选：．
9．（2022春•长安区月考）已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得的截面面积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方体所得截面面积的最大值．
【解答】解：根据题意，作出图象：
因为正方体中，三棱锥是正三棱锥，
所以从出发的三条棱所在直线与面所成的角相等，
又因为与其中每条棱平行的棱都有3条，即面与正方体的每一条棱所成角相等，
如图所示由各棱的中点构成的正六边形所在的平面，此时截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，
截此正方体所得截面最大值为：，
故选：．
10．（2022秋•沧州月考）如图，已知，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的倍，则与平面所成的角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设出圆柱的底面半径，利用侧面积与底面积关系，求解圆柱的高，然后转化求解与平面所成的角．
【解答】解：设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、、，
因为，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，
所以在时底面上的射影为，同时在平面上的射影为，
所以为与平面所成的角，
设底面半径为，高为，
该圆柱的侧面积是其上底面面积的倍，
可得，，
，所以．
故选：．
二．多选题
11．（2022秋•定州市期末）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．三棱柱外接球半径为
【答案】
【分析】对于：根据条件，可得异面直线和所成的角为，然后求出即可；对于：可证平面，则直线与平面所成的角为；对于：根据等体积转换，求点到面的距离；对于：三棱柱的外接球即为正方体的外接球，直接求正方体外接球的半径即可．
【解答】解：连接、，
且，则四边形为平行四边形，
异面直线和所成的角为，
，则为正三角形，即，不正确；
连接，在正方形中，，
平面，平面，
，又，则平面，
直线与平面所成的角为，正确；
根据等体积转换可知，
即，则，正确；
三棱柱的外接球即为正方体的外接球，
则外接球的半径即为正方体体对角线的一半，
即，正确．
故选：．
12．（2022秋•桥西区期中）下列说法不正确的是
A．若直线的方向向量与平面法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是，
D．两个平面夹角的大小等于这两个平面的法向量的夹角的大小
【答案】
【分析】根据法向量与平面的关系判断，由空间角的定义与向量夹角的关系判断，由二面角的定义判断．
【解答】解：当直线的方向向量与平面的法向量的夹角为时，直线与平面所成的角为，不正确；
向量夹角的范围是，，而异面直线夹角为，，不正确；
二面角的范围是，，正确；
二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，不正确．
故选：．
13．（2022•秦皇岛三模）如图，在长方形中，，，为的中点，将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中，以下结论正确的是
A．四棱锥体积的最大值为
B．的中点的轨迹长度为
C．，与平面所成的角相等
D．三棱锥外接球的表面积有最小值
【答案】
【分析】对于，当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值，再计算可判断；对于，通过的中点的轨迹来判断的中点的轨迹的情况；对于，利用线面角的知识可判断；对于，分别从外接球的半径及球心可求解．
【解答】解：对于，易知梯形的面积为，直角斜边上的高为，
当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值，正确；
对于，取的中点，连接，，，则，平行且相等，四边形是平行四边形，所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，
过作的垂线，垂足为，的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，错误；
对于，由四边形是平行四边形，知，则平面，则，到平面的距离相等，
故，与平面所成角的正弦值之比为，正确；
对于，外接圆的半径为为的中点，直角外接圆的半径为2，为的中点，是圆与圆的公共弦，，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，
因为，，所以，所以球表面积的最小值为，正确．
故选：．
14．（2022春•长安区月考）已知是各条棱长均等于1的正三棱柱，是侧棱的中点，下列结论正确的是
A．与平面所成的角的正弦值为
B．平面与平面所成的角是
C．
D．平面平面
【答案】
【分析】利用等体积法判断；延长，交于点，连接，为中点，由为等边三角形，是二面角的平面角，求出，判断；由，根据正三棱锥的性质得平面，平面，，判断；平面，平面，从而平面平面，判断．
【解答】解：对于，设点到平面的距离为，
由题意知到平面的距离为，
由，得，
由，得，
由，解得，
与平面所成角的正弦值为，故正确；
如图，延长，交于点，连接，
由，知为中点，由为等边三角形，
，是二面角的平面角，由题意知，故错误；
对于，由，根据正三棱锥的性质得平面，
，又，平面，，故正确；
对于，由知，平面，平面，
平面，平面平面，故正确．
故选：．
三．填空题
15．（2022•桥西区开学）如图，为圆的直径，点在圆周上（异于点，，直线垂直于圆所在的平面，点是线段的中点．有以下四个命题：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面平面．
其中正确的命题的序号是 ．
【分析】①先证明，即可判定平面；
②在平面内，可得②错误；
③可证，平面．即可证明平面不成立；
④由③知平面，即可证明平面平面．
【解答】解：①因为，平面，平面，所以平面；
②因为在平面内，所以②错误；
③因为垂直于圆所在的平面，所以．
又，，所以平面．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以平面不成立，③错误；
④由③知平面，且平面，所以平面平面．
正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
16．（2022春•邢台月考）在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，，则直线与平面所成的角为 ．
【分析】由题意画出图形，证明平面平面，又底面为菱形，且，得为等边三角形，取中点，连接，，可得为直线与平面所成的角，设，则，然后求解三角形得答案．
【解答】解：如图，
平面，平面，则平面平面，
又底面为菱形，且，为等边三角形，
取中点，连接，，则，有平面，
为直线与平面所成的角．
设，则，，．
在中，有．
．
即直线与平面所成的角为．
故答案为：．
17．（2022春•新华区月考）如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，则与平面所成角的余弦值为 ．
【分析】，过作于，则即为与平面所成的角，在△利用余弦定理求出．
【解答】解：连结，，则平面即为平面，
过作于，则平面，
即为与平面所成的角，
设正方体棱长为2，则，，，
．
故答案为．
18．（2022春•保定期中）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
【分析】由题意连接，则为所求的角，在△计算出此角的正弦值即可．
【解答】解：连接，在长方体中，
平面，则为与平面所成角．
在△中，．
故答案为：．
四．解答题
19．（2022春•滦南县期中）如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成的角的大小；
（2）与平面所成的角的正切值；
（3）二面角的大小．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【分析】（1）根据，可得与所成角就是，解，求出的大小．
（2）如图，作于，连接，由平面平面，得平面，为与平面所成角，解在，求出的大小．
（3）由，，可知平面，又平面，故平面平面，从而得到平面与平面所成角为．
【解答】解：（1），与所成角就是．，平面，，
在中，，，．
（2）如图，作于，连接，平面平面，平面，为与平面所成角．
在中，，，．
（3），，，，平面，
平面．又平面，平面平面，
即平面与平面所成角为．
20．（2022春•承德月考）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；
（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决．
【解答】证明：（1）如图，取的中点，连接，．
为的中点，，且．
，且，，且，
四边形是平行四边形，．
平面，平面，平面．
（2）取的中点，的中点，连接，，，．
平面平面，平面平面，，平面．
，平面，
直线与平面所成的角为．
，
．
21．（2022秋•古冶区月考）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．
（1）求证：平面平面；
（2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．
【分析】（Ⅰ）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，而根据题意可得平面；
（Ⅱ）设，连接，根据线面所成角的定义可知为与平面所的角，在中求出此角即可．
【解答】（Ⅰ）证明：四边形是正方形，，
底面，
，平面，
平面平面．
（Ⅱ）解：设，连接，
由（Ⅰ）知平面于，
为与平面所的角，
，分别为、的中点，
，，
又底面，
底面，，
在中，，
，即与平面所成的角的大小为．
22．（2022秋•秦皇岛月考）如图，在三棱锥中，是等边三角形，．
（1）证明：；
（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．
【答案】
【分析】（1）利用是等边三角形，证明．取中点，连接、，通过证明平面，然后证明．
（2）作，垂足为，连接．通过，，说明，，都是等腰直角三角形．然后求出三棱锥的体积
【解答】解：（1）证明：因为是等边三角形，
，
所以，
可得．
如图，取中点，连接
、，
则，，
所以平面，
所以．
（2）作，垂足为，连接．
因为，
所以，．
由已知，平面平面，
故．
因为，
所以，，都是等腰直角三角形．
设，，，
，，
解得
的面积．
因为平面，
所以三棱锥的体积
．
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