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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时导学案及答案
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6.4.3 余弦定理、正弦定理第3课时 余弦定理、正弦定理的应用举例【学习目标】【自主学习】实际测量中的有关名称、术语【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．( )(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．( )2. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°【经典例题】题型一 不能到达两点间的距离问题点拨：求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中． 例1 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【跟踪训练】1 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离． 题型二 测量高度问题点拨：高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。【跟踪训练】2 如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.题型三 测量角度问题点拨：(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30° ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？【跟踪训练】3 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40eq \r(3) m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．【当堂达标】1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上2.某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为( )A．500米 B．600米C．700米 D．800米3.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8eq \r(2)海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )A．8(eq \r(6)＋eq \r(2))海里/时 B．8(eq \r(6)－eq \r(2))海里/时C．16(eq \r(6)＋eq \r(2))海里/时 D．16(eq \r(6)－eq \r(2))海里/时4.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.5.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2eq \r(2) mm，AB＝eq \r(29) mm，则∠ACB＝________．6.某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12eq \r(3)海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．【参考答案】【小试牛刀】1. (1)× (2)× (3)×2.B 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β.【经典例题】例1 解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。【跟踪训练】1 解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.因为AB∥CD，所以∠C＝180°－150°＝30°.在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，所以AD＝eq \f(AB·sin∠ABD,sin∠ADB)＝eq \f(6×sin 60°,sin 45°)＝3eq \r(6)，所以BD＝eq \f(AD·sin∠DAB,sin∠ABD)＝eq \f(3\r(6)×sin 75°,sin 60°)＝3＋3eq \r(3).在Rt△DBC中，CD＝eq \f(BD,sin∠C)＝eq \f(3＋3\r(3),sin 30°)＝6＋6eq \r(3).所以C，D之间的距离为(6＋6eq \r(3))m.例2 解 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC=asinβsinα−β所以，这座建筑物的高度为 AB=AE+ℎ=ACsinα+ℎ=asinαsinβsinα−β+ℎ【跟踪训练】2 eq \f(40\r(3),3)解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，在△ACD中，由正弦定理得，eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，即eq \f(40,\f(\r(3),2))＝eq \f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq \f(40\r(3),3).例3 解：根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB∙AC∙cos120°=202+72−2×20×7×−12=589.BC≈24n mile由正弦定理，得sinC20=sin120°24于是 sinC=20×3224=5312由于0°
6.4.3 余弦定理、正弦定理第3课时 余弦定理、正弦定理的应用举例【学习目标】【自主学习】实际测量中的有关名称、术语【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．( )(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．( )2. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°【经典例题】题型一 不能到达两点间的距离问题点拨：求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中． 例1 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【跟踪训练】1 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离． 题型二 测量高度问题点拨：高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。【跟踪训练】2 如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.题型三 测量角度问题点拨：(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30° ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？【跟踪训练】3 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40eq \r(3) m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．【当堂达标】1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上2.某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为( )A．500米 B．600米C．700米 D．800米3.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8eq \r(2)海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )A．8(eq \r(6)＋eq \r(2))海里/时 B．8(eq \r(6)－eq \r(2))海里/时C．16(eq \r(6)＋eq \r(2))海里/时 D．16(eq \r(6)－eq \r(2))海里/时4.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.5.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2eq \r(2) mm，AB＝eq \r(29) mm，则∠ACB＝________．6.某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12eq \r(3)海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．【参考答案】【小试牛刀】1. (1)× (2)× (3)×2.B 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β.【经典例题】例1 解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。【跟踪训练】1 解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.因为AB∥CD，所以∠C＝180°－150°＝30°.在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，所以AD＝eq \f(AB·sin∠ABD,sin∠ADB)＝eq \f(6×sin 60°,sin 45°)＝3eq \r(6)，所以BD＝eq \f(AD·sin∠DAB,sin∠ABD)＝eq \f(3\r(6)×sin 75°,sin 60°)＝3＋3eq \r(3).在Rt△DBC中，CD＝eq \f(BD,sin∠C)＝eq \f(3＋3\r(3),sin 30°)＝6＋6eq \r(3).所以C，D之间的距离为(6＋6eq \r(3))m.例2 解 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC=asinβsinα−β所以，这座建筑物的高度为 AB=AE+ℎ=ACsinα+ℎ=asinαsinβsinα−β+ℎ【跟踪训练】2 eq \f(40\r(3),3)解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，在△ACD中，由正弦定理得，eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，即eq \f(40,\f(\r(3),2))＝eq \f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq \f(40\r(3),3).例3 解：根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB∙AC∙cos120°=202+72−2×20×7×−12=589.BC≈24n mile由正弦定理，得sinC20=sin120°24于是 sinC=20×3224=5312由于0°
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