人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀第3课时学案设计

第3课时　正弦定理习题课

知识点1　正弦定理及其变形

(1)定理内容：

＝＝＝2R(R为外接圆半径)．

(2)正弦定理的常见变形：

①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

②＝＝＝＝2R；

③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

④sin A＝，sin B＝，sin C＝．

在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?

[提示]　可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0．

1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)

A．直角三角形　　　　 B．等腰三角形

C．锐角三角形   D．钝角三角形

B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]

2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)

A．一解   B．两解

C．无解   D．无法确定

A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]

知识点2　三角形的面积公式

任意三角形的面积公式为：

(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．

(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．

(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．

3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为________．

3　[由S＝absin C＝×4×3×得S＝3．]

4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为________．

　[将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，则S△ABC＝absin C＝．]

类型1　三角形解的个数的判断

【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．

(1)a＝10，b＝20，A＝80°；

(2)a＝2，b＝6，A＝30°．

[解]　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，

讨论如下：

∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，

∴a<bsin A，∴本题无解．

(2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，

∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，

∴bsin A<a<b，∴三角形有两解．

由正弦定理得

sin B＝＝＝，

又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°．

当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；

当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2．

∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；

B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2．

已知三角形的两角和任意一边，求其它的边和角，此时有唯一解；若已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，你认为此时如何确定解的个数？

[提示]　1．从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

(1)若sin B＝＞1，则满足条件的三角形的个数为0；

(2)若sin B＝＝1，则满足条件的三角形的个数为1；

(3)若sin B＝＜1，则满足条件的三角形的个数为1或2．

显然由0＜sin B＝＜1可得B有两个值，一个大于90°，一个小于90°，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论．

2．从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：

1．在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)

A．有一解　　　　　 B．有两解

C．无解   D．解的个数不确定

C　[法一：由正弦定理和已知条件，得

＝，∴sin B＝．

∵＞1，∴此三角形无解．

法二：∵c＝2，bsin C＝2，∴c＜bsin C，

故此三角形无解．

法三：作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆(图略)，该圆与CD无交点，则此三角形无解．]

2．在△ABC中，B＝60°，c＝2，若满足条件的三角形有两个，则b的取值范围为________．

(，2)　[因为满足条件的三角形有两个，

所以csin B＜b＜c，

将B＝60°，c＝2代入，解得＜b＜2．]

类型2　三角形的面积

【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S．

[解]　∵cos ＝，

∴cos B＝2cos2 －1＝．

∴B∈，∴sin B＝．

∵C＝，∴sin A＝sin (B＋C)

＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝．

∵＝，

∴c＝＝×＝．

∴S＝acsin B＝×2××＝．

已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．

3．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________．

(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．

(1)2　(2)或　[(1)∵cos C＝，∴C∈(0°，90°)，

∴sin C＝＝，

又S△ABC＝absin C＝×3×b×＝4，

∴b＝2．

(2)由正弦定理得sin C＝＝＝，

又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，

∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或．]

类型3　正、余弦定理在几何图形中的应用

【例3】　如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD．

(1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；

(2)若AD＝3AC，求AC．

[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝．

(2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝．

在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos∠BAC＝＝．

又∠BAC＋∠CAD＝，

所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝，

整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3．

正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.

4．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．

(1)求cos∠CAD的值；

(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

[解]　(1)在△DAC中，由余弦定理的推论，得

cos∠CAD＝＝＝，

所以cos∠CAD＝．

(3)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD＞0，且sin∠CAD＞0，所以sin∠BAD＝＝，

sin∠CAD＝＝，

所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)

＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

＝×－×＝＋＝，

在△ABC中，由正弦定理得＝，代入数据得BC＝×＝3．

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．

B　[∵a＝1，b＝，B＝60°，

∴由正弦定理可得：sin A＝＝＝，

∵a＜b，∴A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，

∴S△ABC＝ab＝×1×＝．故选B．]

2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)

A．    B．5    C．6    D．7

B　[连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠C＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，∴BD＝2，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．]

3．不解三角形，则下列说法中正确的是(　　)

A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解

B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解

D．a＝9，b＝10，A＝60°，无解

B　[A中a＝bsin A，有一解；

B中A＞90°，a＞b，有一解；

C中a＜bsin A，无解；

D中b＞a＞bsin A，有两解．]

4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________．

　2　[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，

由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，

∵b＝5，B＝，

由正弦定理＝，

得a＝＝＝2．]

5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，则＝________．

－　[由条件得＝＝，

∴sin A＝sin C．

同理可得sin B＝sin C．

∴＝＝－．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)正弦定理有哪些常见变形？

(2)三角形的面积公式有哪些？

(3)如何判断三角形解的个数？