高中数学6.4 平面向量的应用练习

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用练习，共24页。

一、单选题
1．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法及其几何意义求解
【详解】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，
所以的大小为，
故选：B
2．（2021春·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【详解】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，
即
即,
解得
故选：D.
3．（2022·全国·高一假期作业）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.
【详解】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
4．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
【答案】A
【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】解：因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
5．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小，然后根据向量的加法可求得结果
【详解】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小，
因为，与水平夹角均为，
所以，的夹角为，
所以，
所以物体的重力大小为，
故选：A
6．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解.
【详解】解：由题可知，以木块运动的方向为正方向，
则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：，
则摩擦力为：，
则力做功为,摩擦力做功.
故选：A.
7．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）两个力作用于同一个质点，使该点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算两个力的和，与位移向量，做功就两个向量的数量积.
【详解】两个力作用于同一个质点，其合力大小为，
从点移到点，其位移,
则这两个力的合力对质点所做的功为.
故选：C.
8．（2022春·湖北·高一统考期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．6B．-6C．3D．-3
【答案】D
【分析】根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可.
【详解】，，
又，
.
故选：D.
9．（2022春·湖北黄冈·高一统考期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据功的意义，计算即可
【详解】由题意得，所以对物体做的功．
故选：D
二、多选题
10．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/hB．5km/hC．8km/hD．10km/h
【答案】BC
【分析】设该船实际航行的速度为，由向量模的关系可得，由此求解可得到答案．
【详解】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，
所以，
因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，
所以，
则，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．
故选：BC．
三、填空题
11．（2023·高一课时练习）一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60米，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为200N，则纤夫对船所做的功为________J．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积求解作答.
【详解】依题意，人的位移向量，拉力向量，则有，向量与的夹角为，
所以纤夫对船所做的功.
故答案为：
12．（2022春·贵州黔东南·高一统考期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.
【答案】1
【分析】根据力的平衡，可得向量的和为 ，由向量的模长即可求解力的大小.
【详解】，，三个力处于平衡状态，即
则
故答案为：1
13．（2022春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为___________.
【答案】
【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案.
【详解】设N，N，
则，
可得.
故答案为：
14．（2023·高一课时练习）已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是________．
【答案】2
【分析】利用平面向量的数量积坐标运算求解.
【详解】解：因为、，
所以，
又因为位移，
所以所做的功是，
故答案为：2
15．（2022·全国·高一假期作业）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
【答案】
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.
【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，
设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，
，在中，有，
所以，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为．
故答案为：
四、解答题
16．（2023·高一课时练习）在平面上三点，，外，分别放置质量为、、的质点，求它们的质量中心，并推广到一般结论，在平面上n个点，，…，处，分别放置质量，，…，的质点，它们的质量中心是什么？
【答案】；.
【分析】根据物理中力矩相等的原理可得，列出合力作用点与，的关系，即可求得三个点的质量中心点，进而推广到一般结论.
【详解】由物理学知识，两个质量为的质点分别放在与处时，受重力作用，其合力的作用点在连接的线段上，由力矩相等的原理得：
，即，设，则，化简得：
，所以两处的质量中心点为，
点的合力为，两处的质量中心为，所以三处的质量中心为，推广为一般结论，这个点的质量中心点为.
【选做题】
一、单选题
1．（2022春·福建福州·高一闽侯县第二中学校考阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
【答案】D
【分析】根据为定值，求出，再对选项进行分析、判断即可.
【详解】解：对A，为定值，
，
解得：；
由题意知：时，单调递减，
单调递增，
即越大越费力，越小越省力，故A错误；
对B，当时，不满足题意，故B错误；
对C，当时，，
，故C错误；
对D，当时，，
，故D正确.
故选：D.
2．（2022春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为360N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A．B．62C．D．
【答案】B
【分析】由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图，根据受力平衡知，两胳膊的受力的合力与学生所受的重力大小相等，解该等式即可.
【详解】由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图，
记为与的合力，则有，
其中，(单位kg)为学生的体重，
因为，与的夹角为，
所以.
又取，所以，.
把代入，可得.
故选：B.
3．（2022春·山西长治·高一校考期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当角越大时，用力越省D．当时，
【答案】B
【分析】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.
【详解】解：根据题意可得：，
则，
当时，，故A错误；
当时，，及，故B正确；
，因为在上递减，
又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；
当时，即，解得，
又因，所以，故D错误.
故选：B.
二、多选题
4．（2022·全国·高一专题练习）设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点M是边BC的中点
C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D．若，则点M在边BC的延长线上
【答案】AB
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.
【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，
由，得，
即，结合三角形性质易知，，
同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；
对于选项B，由，得，即，
因此点M是边BC的中点，故B正确；
对于选项C，如图当过点时，，

由，得，则直线经过的中点，
同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；
对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.
故选：AB.
5．（2022春·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．
【详解】解：因为，
同理，，故为的垂心，故A错误；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
故，同理，
延长交与点，则
，
同理可得，所以，故C正确；
，
同理可得，所以，
又，所以，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
6．（2021春·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知两个力，的夹角是直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为______
【答案】
【分析】利用向量加法的平行四边形法则做平行四边形，在直角三角形中即可求出的大小.
【详解】设，，则以为邻边作平行四边形，则，
因为合力与的夹角为，，即，，
又因为，的夹角是直角，所以，即，
所以在中，.
故答案为：.
7．（2021春·福建厦门·高一统考期末）若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，且与的夹角为，则与的夹角为______.
【答案】
【分析】以和的公共起点为原点，以的方向为轴建立平面直角坐标系，由已知条件即可得，的坐标，利用可得的坐标，利用夹角公式即可求夹角.
【详解】
如图：以和的公共起点为原点，以的方向为轴建立平面直角坐标系，
因为，且与的夹角为，
设，，，
可得，，所以，，
因为三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态
所以，所以，，
所以，
设与的夹角为，则，
因为，所以，所以与的夹角为，
故答案为：.
8．（2022·高一课前预习）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.
【答案】3
【分析】由题得v实际＝v1＋v2，求出|v实际|=16,即得解.
【详解】∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，
∴|v实际|＝＝＝16(km/h).
∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
故答案为：3
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于求出|v实际|.
四、解答题
9．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【答案】(1)120；-9
(2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
10．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
【答案】,合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.
【分析】根据题意建立坐标轴，用坐标表示每个力即可求解
【详解】以为原点，为轴正方向建立直角坐标系，如图
由题意得,，,，,，
所以，
所以三个力的合力坐标为，
所以三个力的合力大小为：，
设合力方向与轴正方向夹角为，所以，
因为合力坐标在第二象限，所以，
即合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.
11．（2023·高一课时练习）某人骑摩托车以20千米／小时的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40千米／小时，感到风从西南方向吹来，求实际风向和风速的大小.
【答案】东南风，千米／小时.
【分析】设实际风速为，表示此人向西行驶的速度，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解.
【详解】设实际风速为，表示此人向西行驶的速度，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，，
∵，
∴，这就是速度为时感到的由正南方向吹来的风速，
∵，
∴，这就是速度为时感到的由西南方向吹来的风速，
由题意知，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，即，
∴实际风速的大小是千米／小时，为东南风.
12．（2022·高一单元测试）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
【答案】(1)指令为
(2)机器人最快可在点处截住小球，指令为.
【分析】（1）根据已知条件利用平面直角坐标系以及向量的模长公式求解.
（2）建立平面直角坐标系、利用方程的方法以及向量的模长、夹角公式求解.
【详解】（1）如图，设点，所以，
因为与x轴正方向的夹角为45°，
所以，，故指令为.
（2）设，机器人最快在点处截住小球，
由题意知，即，
整理得，即，
所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球.
设与的夹角为，易知，，，
所以，所以.
因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为.
13．（2022·高一课时练习）某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
【答案】西北方向吹来；千米/小时.
【分析】由题意，确定分运动和合运动的关系，根据运动的合成与分解法则，由人的运动即可确定风的实际运动.
【详解】解：设表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为，设实际风速为，那么此时人感到风速为，
设，
因为，
所以，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为，所以，
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，
即，
所以实际风速为千米每小时，方向为西北方向吹来.
14．（2021春·高一课时练习）已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？
【答案】
【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知，
，
两式相减得，，
由，，，得，
因为，所以，解得.
故当时，所需的时间t为.
15．（2022·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)，分别对该质点做的功；
(2)，的合力对该质点做的功.
【答案】(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；
(2)（）.
【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
(1)
根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
(2)
根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.
16．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.
【答案】
【分析】如图建立平面直角坐标系，求出，，以及位移的坐标，进而可得合力的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算即可求解.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
由题意可得，，，位移，
所以，
所以合力所做的功为，
17．（2021·高一课时练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.
【答案】
【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解.
【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，
由已知得，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有.
又，，，
所以绳的拉力为.
18．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
【答案】(1)的左侧.
(2)，航行小时.
(3)
【分析】（1）只需确定在反方向上的分速度与的大小，即可判断游船航行到达的位置.
（2）要使游船能到达处则在反方向上的分速度与相等，列方程即可求，进而求垂直方向上的分速度，即可知航行时间.
（3）根据题设，求出水平方向上的位移大小，结合勾股定理即可求实际航程.
(1)
由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
(2)
要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，
∴.
(3)
由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.