人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第一课时教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第一课时教案，共3页。

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理（第一课时）余弦定理
教学设计
一、 教学目标
1. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。
2. 掌握余弦定理。
3. 能用余弦定理解决简单的实际问题。
二、 教学重难点
1. 教学重点
余弦定理及其应用。
2. 教学难点
余弦定理的应用。
三、 教学过程
1. 新课导入
我们知道，两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？
2. 探索新知
在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，根据课本P42的推理证明过程，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2－2bccosA，
b2=c2+a2－2accosB，
c2=a2+b2－2abcosC。
利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边。由余弦定理，可以得到如下推论：
cosA=b2+c2-a22bc
cosB=c2+a2-b22ca
cosC=a2+b2-c22ab
利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式。
如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cosC=0。由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理。由此可见，余弦定理就是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
3. 课堂练习
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
答案：B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.]
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
答案：C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A． B．8－4
C．1 D．
答案：A　[由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.]
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1 C． 答案：C　[若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
答案：0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°
＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________．
答案：1　[∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]
4. 小结作业
小结：本节课学习了余弦定理及其推论。
作业：完成本节课课后习题。
四、 板书设计
6.4.3 余弦定理、正弦定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即 a2=b2+c2－2bccosA，
b2=c2+a2－2accosB，
c2=a2+b2－2abcosC。
推论：
cosA=b2+c2-a22bc
cosB=c2+a2-b22ca
cosC=a2+b2-c22ab