数学必修 第二册6.4 平面向量的应用优质第1课时学案

6.4.3　余弦定理、正弦定理

第1课时　余弦定理

如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．

问题：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？

知识点1　余弦定理

在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？

[提示]　不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例． (　　)

(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况． (　　)

(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角． (　　)

(4)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

知识点2　解三角形

(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　)

A．　　　B．8　　　C．10　　　D．7

D　[由余弦定理得

c＝＝＝7．]

3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　)

A．60°    B．45°    C．120°    D．30°

C　[由cos A＝＝－，∴A＝120°．]

4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________．

　[∵a2－c2＋b2＝ab，

∴c2＝a2＋b2－ab．

又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴2cos C＝1．∴cos C＝．]

类型1　已知两边与一角解三角形

【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；

(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．

(1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理得：

a＝

＝60(cm)．

(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，

所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]

已知三角形的两边及一角解三角形的方法

先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．

1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．

[解]　根据余弦定理得，

b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2，

又∵cos A＝

＝＝，

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．

类型2　已知三边解三角形

【例2】　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．

[解]　根据余弦定理，cos A＝

＝＝．

∵A∈(0，π)，∴A＝．

cos C＝＝＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝．

∴B＝π－A－C＝π－－＝π，

∴A＝，B＝π，C＝．

1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．

2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．

2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．

[解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，

由余弦定理的推论，得cos A＝

＝＝，

∵0°<A<180°，∴A＝45°．

cos B＝

＝＝，

∵0°<B<180°，∴B＝60°．

∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．

类型3　余弦定理的综合应用

【例3】　在△ABC中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC的形状．

在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？

[提示]　成立.因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝；反之若C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.

[解]　∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，

∴由余弦定理可得：

·b＝·a，

整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，

即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2．

∴a2＋b2＝c2或a＝b．

故△ABC为直角三角形或等腰三角形．

如何利用余弦定理判断三角形的形状？

[提示]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．5

A　[由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2 cos 60°＝3，所以c＝．]

2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

B　[由题意知，(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝＝，∴A＝60°．]

3．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________．

等腰三角形　[∵a＝2bcos C＝2b·＝，

∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，

∴△ABC为等腰三角形．]

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝________．

　[由B＝C,2b＝a，

可得b＝c＝a，

所以cos A＝

＝＝．]

5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．

4　[5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，

∴x1＝，x2＝－2(舍去)，

∴cos C＝．

根据余弦定理，

c2＝a2＋b2－2abcos C

＝52＋32－2×5×3×＝16，

∴c＝4，即第三边长为4．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)余弦定理的内容是什么？其适用于什么形状的三角形？

(2)解三角形的概念是什么？

(3)如何利用余弦定理判断三角形的形状？