人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案及反思，共6页。教案主要包含了复习回顾，知识应用，总结回顾等内容，欢迎下载使用。


教学基本信息
课题
总体离散程度的估计（二）
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书 数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 8 月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要内容是在已经学习理解了“方差与标准差概念”的基础上，学习理解方差的性质。学会分层随机抽样样本的方差的计算.帮助学生逐步适应复杂的数学符号.体会利用样本估计总体的思想.在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活.提高数据分析能力.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
知识回顾
前言：同学们好！信息化时代，人们越来越意识到数据的重要性，越来越强调依托数据和数据分析结果做出决策.今天我们就来继续研究怎样应用方差和标准差对数据进行分析处理.
一、复习回顾
1.方差标准差知识回顾
（1）方差；；方差的算术平方根s就是标准差.
（2）方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.
方差、标准差越大，数据的离散程度越大.
方差、标准差越小，数据的离散程度越小.
（3）方差、标准差的取值范围0，+∞.方差、标准差为0时，样本各数据值全相等.
（4）方差与标准差测量样本数据离散程度的效果是一致的，在实际应用中一般采用标准差.标准差的单位与样本数据单位一致.
回顾方差与标准差的公式及统计含义.为本节课方差与标准差的应用做好铺垫.
知识应用
二、知识应用
同学们我们一起回顾了上节课方差与标准差的基础知识，本节课在理解了方差与标准差含义的基础上，我们共同研究方差的性质，以及分层随机抽样样本方差的计算.在学习过程中逐步学会使用复杂的数学符号.
知识应用1：（理解方差的性质）
某单位共有员工45人，上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，现抽取5名进行考核.考核分笔试和答辩两项，5名员工的笔试成绩分别为78,85,89,92,96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95,88,102,106,99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别为，比较的大小.
题目思考方向：若根据问题所问，可只需根据题目中所给数据使用公式计算的数值进行比较即可.计算如下：
解：设笔试成绩78,85,89,92,96分别为，考核成绩95,88,102,106,99分别为
即
思考：若把问题改为试比较的大小（只要求写出结论）.就本题而言同学们依然会按照上面步骤进行吗？还是可以通过观察本题给出的数据会有新的发现呢？
探索发现举例：仔细比对两组数据会发现，若对两组数据进行由小到大（由大到小）排序，会发现笔试成绩与考核成绩存在着关系即笔试成绩由小到大排序之后每个数据加10正好是第二组数据由小到大的排序.若从小到大设第一组数据分别为，第二组数据设为；那么

依次类推：
即
探究：若数据的方差和标准差分别为数据的方差 和标准差为若
成立，为常数，证明：
根据探索发现的思考过程，同学们试着给出证明过程
证明过程：
知识应用2：（分层随机抽样样本方差的计算）
在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
分析：把抽取的男生样本记为样本的平均数记为方差记为；把抽样的女生样本记为样本的平均数记为方差记为；
把总样本数据的平均数记为，方差记为.
根据方差的定义，总样本方差为，
已知考虑分别插入和，则
由可得
同理可得
因此
由根据按比例分配分层随机抽样中，总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为

把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入
可得
因此，总样本的方差约为51.49，据此估计高一年级学生身高的总方差约为51.49.
追问：比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么？你能解释在估计全校学生平均身高时，按性别分层随机抽样的理由吗？
师生活动：学生可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差.教师解释相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好.
追问：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？
师生活动：教师引导学生由具体例子进行一般化归纳
一般地，如果已知第一组数据的个数是m,平均数和方差分别为和，第二组数据的个数是n,平均数和方差分别为，那么，总样本平均数

总样本方差为
如果两组数据的平均数相等，那么总样本均值与两组数据的均值相同，总样本方差计算公式中的都等于0，总样本方差是两组方差的加权平均，不会同时大于每组方差.
追问：三组数据汇总后的数据方差如何计算呢？ 更多组呢？
由学生课下思考得出结论.

通过具体情境考查学生对方差公式的熟练程度和学生对数据的分析能力，为下面引出性质做铺垫.
在数据的整理中提高学生认真观察、分析数据的能力.
让学生体会由特殊到一般的思想，在探究中提高归纳总结的能力.理解方差的性质.帮助学生逐步适应复杂的数学符号.
引导学生去思考，去归纳.，锻炼学生逻辑思维能力.
教会学生学会使用数学符号
引导学生明确题目的条件和结论，引导学生独立计算多组数据汇总后的方差.
引导学生要计算方差依然从概念和方差公式入手.
引导学生从总体公式形式出发，联系已知条件，为什么想到插入是本题难点.
引导学生理解复杂数学符号，注意完全平方式的使用.
逐步理解运算过程循序渐进.培养学生细心、耐心的良好习惯.
提出问题，使学生更加深刻理解用样本方差来估计总体方差的思想.
知识升华，体会由特殊到一般的探究过程，提升归纳总结能力.
引导学生学会使用分层随机抽样样本均值和样本方差的计算.以及对用样本估计总体均值和方差的思想的领悟.
总结
三、总结回顾、反思升华
知识内容:
1．对方差和标准差公式的深刻理解.
2．方差的性质
3．分层随机抽样样本方差的计算.
思想方法：统计、转化、化归的思想、类比归纳的方法、
本节课除了对上节课的简单回顾，重点理解用分层随机抽样各层样本均值估计总体均值的思想.以及运用样本估计总体的思想进行数据分析的能力.

明确本节重点内容、以及思想方法
作业
1. 数据的方差，证明：所有的都相同.
2.某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用比例分配的分层抽样的方法抽取样本量为50的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.计算总样本的均值和方差，并对这个学校高中学生身高的均值和方差进行估计.
巩固强化本节课学习的知识方法.为后面熟练应用做好铺垫.