广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性课件新人教版选择性必修第二册

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5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系,提升直观想象和逻辑推理核心素养.2.会求函数的单调区间,提升数学运算核心素养.3.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性求参数的取值范围,提升逻辑推理核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.函数的单调性与导数的关系一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内　单调递增　; 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内　单调递减　. 微思考 如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么在此区间内,函数f(x)有什么特性?提示:f(x)是常数函数.微训练1 函数f(x)=x+ln x(　　)A.在区间(0,6)内单调递增B.在区间(0,6)内单调递减答案:A 2.利用导数判断函数的单调性的步骤一般情况下,我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性:第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.答案:C解析:由已知得f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较　大　,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“　陡峭　”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较　慢　,函数的图象就比较“　平缓　”. 课堂·重难突破一 求函数的单调区间典例剖析1.求下列函数的单调区间:(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2e-x.(2)函数的定义域为R.∵f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f'(x)=0,由于e-x>0,∴x1=0,x2=2.f'(x)在各区间上的正负,以及f(x)的单调性如表所示.∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). 规律总结 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.答案:C (2)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.①求a,b的值;②求函数f(x)的单调区间.解:①∵函数f(x)的图象过点P(1,2),∴f(1)=2.∴a+b=1.又函数f(x)的图象在点P处的切线斜率为8,∴f'(1)=8.又f'(x)=3x2+2ax+b,∴2a+b=5.∴a=4,b=-3.二 讨论含有参数的函数的单调性典例剖析2.设g(x)=ln x-ax2+(a-2)x,a<0,试讨论函数g(x)的单调性.规律总结 讨论含有参数的函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域,求出导数f'(x);(2)根据题意,将参数分类讨论;(3)在每个分类下,判断f'(x)是否存在零点,若存在,求出f'(x)的零点;(4)用f'(x)的零点将定义域划分为若干个区间,判断f'(x)在各区间内的正负,得出f(x)在各区间内的单调性.学以致用2.讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.三 求参数的取值范围典例剖析3.已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.解:由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在R内是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在R内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R内是增函数,所以a≤0.互动探究1.(变条件)若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的值.解:f'(x)=3x2-a,①当a≤0时,f'(x)≥0,∴f(x)在R内为增函数.2.(变条件)若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求a的取值范围.解:由题意可知f'(x)=3x2-a≤0在区间(-1,1)内恒成立,3.(变条件)若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求a的取值范围.解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.由题意可知a>0.规律总结 已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,利用导数解决参数取值范围问题的两个基本思路:(1)将问题转化为不等式恒成立问题,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数取值范围,注意验证等号是否成立.(2)先求出f(x)的单调区间,再根据f(x)在区间(a,b)内单调递增(或单调递减),得区间(a,b)是相应单调区间的子区间,列出关于参数的不等式(组),求出参数的取值范围.学以致用3.已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x,a≠0.(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.四 导函数与原函数的图象4.(1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)D(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是(　　)B解析:(1)由f(x)的图象可知,y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,因此在x<0时,有f'(x)>0(即其图象全部在x轴上方),故排除A,C.从原函数图象上可以看出,在区间(0,x1)内原函数单调递增,f'(x)>0;在区间(x1,x2)内原函数单调递减,f'(x)<0;在区间(x2,+∞)内原函数单调递增,f'(x)>0,故排除B.故选D.(2)(方法一)由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象自左到右先增后减,可知函数y=f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小.故选B.(方法二)由于f'(x)>0恒成立,则根据导数符号和函数单调性的关系可知,f(x)单调递增,即图象从左至右上升,四个图象都满足.由于当x>0时,f'(x)>0且越来越小,则函数值增加得越来越慢,图象呈现上凸状;当x<0时,f'(x)>0且越来越大,则函数值增加得越来越快,图象呈现下凸状,可以判断B正确.故选B.规律总结 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点:研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.学以致用4.已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(　　)C解析:当01时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.故选C.随堂训练1.已知函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　) C解析:∵f(x)在区间(-∞,1),(4,+∞)内单调递减,在区间(1,4)内单调递增,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当10.故选C.2.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时, f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时,(　　)A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0 D.f'(x)<0,g'(x)<0答案:B解析:由题意知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,即f(x),g(x)都单调递增,则当x<0时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即f'(x)>0,g'(x)<0.3.已知函数f(x)=x3-12x,若f(x)在区间(2m,m+1)内单调递减,则实数m的取值范围是　　　　　. 答案:[-1,1)解析:由已知得f'(x)=3x2-12,令f'(x)<0,即3x2-12<0,解得-2