数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法第一课时教案

这是一份数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法第一课时教案，共9页。

课题：数学归纳法原理
课型：
课时教学目标
能通过具体实例，抽象出数学归纳法原理，并通过类比总结数学归纳法的两个基本步骤，发展数学抽象素养.
教学重点和难点
（1）教学重点：数学归纳法原理.
（2）教学难点：理解数学归纳法原理.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
创设情境，提出问题
在学习等差数列时，等差数列的通项公式是这样得到的：
设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据等差数列的定义，可得
an+1−an=d，
所以
a2−a1=d，a3−a2=d，a4−a3=d，⋯，
于是
a2=a1+d，
a3=a2+d=a1+2d，
a4=a3+d=a1+3d，
归纳可得
an=a1+n−1dn≥2.
当n=1时，上式也成立
因此，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+n−1d.
问题1 在上述归纳等差数列通项公式的过程中，你认为上述推导过程严谨吗？
师生活动 教师引导学生认识到，这是一个不完全归纳的过程，我们用这种方法得出了等差数列{an}的通项公式an=a1+n−1d，并指出用这种方法得到的结论不一定可靠！
追问 怎样证明等差数列{an}的通项公式an=a1+n−1d？
师生活动 学生回顾已经学过的证明方法，根据目前所学，没有严格的证明方法.教师及时指出要学习新的方法以解决问题的必要性.
从学生熟悉的知识出发，提出一个与正整数n有关的命题的证明问题，引发学生寻求证明方法，体会学习数学归纳法的必要性.
环节二
探究观察，发现规律
探究 已知数列{an}满足a1=1，an+1=12−ann∈N∗，计算a2，a3，a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
师生活动 学生根据递推关系，很快计算出a2，a3，a4的值，并根据a1，a2，a3，a4猜想数列{an}的通项公式为an=1.证明{an}的通项公式，学生先独立思考，再交流讨论，如果从n=5开始一个一个往后面验证，随着n的逐渐增大，永远也验证不完，达不到证明的目的，进而产生疑问：怎样才能证明猜想呢？
问题2 这里逐一验证不能达到证明的目的，那在什么情况下可以用逐一验证的方法呢？
师生活动 教师引导学生思考，逐一验证适用于有限个，因为n∈N∗，是无限个，达不到证明的目的.而我们要达到证明的目的，必须用有限的步骤完成.这就需要我们思考，怎样将“无限”转化为“有限”，通过有限步骤，证明n∈N∗时，命题成立.
追问 在你学过的知识里，有“无限”转化为“有限”的实例吗？你认为为什么能够实现这样的转化？
师生活动 学生回顾，教师适时引导，立体几何中，直线与平面垂直的定义为：如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.直线与平面垂直的判定定理为：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直.其定义是“无限”，判定则是“有限”.之所以能够实现转化，是因为一个平面可以由两条相交直线确定，这就相当于两条相交直线是确定一个平面的要素，所以一条直线与这两条相交直线垂直就能保证直线与平面垂直.
类比这种“无限”到“有限”的转化，教师介绍多米诺骨牌游戏，引导学生思考其中蕴含的原理.
情境1 多米诺骨牌游戏：码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下，这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……总之，无论有多少块骨牌，都能全部倒下.
问题3 在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
师生活动 学生分小组讨论，并用多米诺骨牌演示：
试验①如图4.4-1，第一块骨牌不倒，多米诺骨牌是否全部倒下？
试验②如图4.4-2，第一块骨牌倒下，但中间有的骨牌间的距离过大，超过一块骨牌倒下的距离，多米诺骨牌是否全部倒下？
试验③如图4.4 - 3，在第一块骨牌倒下的同时，保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下，多米诺骨牌是否全部倒下？
以直观得到，试验①和试验②中多米诺骨牌没有全部倒下，试验③中多米诺骨牌全部倒下.
学生归纳能使所有多米诺骨牌全部倒下的两个条件：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
追问1 这两个条件描述的骨牌之间的关系，与我们曾经学过的数列的哪一个知识点类似？
师生活动 教师引导学生，明确骨牌间关系的描述，类似于数列中项之间的关系的描述，即递推关系.
追问2 如何用数学语言描述条件（2）？
师生活动 师生共同归纳共性，精练语言：第k块骨牌倒下⟹第k+1块骨牌倒下.
观察多米诺骨牌游戏，通过对比的方式，分析、归纳其全部倒下的条件，揭示第2个条件中蕴含的递推关系，并能用数学语言描述，实现问题情境数学化，从而达到抽象出数学本质的目的.
环节三
迁移规律，形成结构
利用“探究中证明数列{an}的通项公式为an=1n∈N∗”与“多米诺骨牌游戏”之间的相似性，类比多米诺骨牌游戏寻求探究中的证明方法.
情境2 回顾数列{an}通项公式为an=1n∈N∗的获得过程：
a1=1递推关系a2=1
a2=1递推关系a3=1
a3=1递推关系a4=1
⋯⋯
问题4 归纳上述过程的共性，你能得到推理的一般结构吗？
师生活动 教师引导学生发现验证的关键是依托递推关系ak+1=12−ak，归纳出推理的一般结构特征：
ak=1递推关系ak+1=1
追问1 你能类比多米诺骨牌游戏中的递推结构，得出证明数列{an}通项公式为an=1n∈N∗的递推结构吗？
师生活动 学生小组合作完成下表：
表4.4-1“多米诺骨牌原理”与“猜想的证明步骤”的类比分析
多米诺骨牌原理
猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌倒下
（1）n=1时，a1=1成立
（2）第k块骨牌倒下⟹第k+1块骨牌倒下
（2）ak=1⟹ak+1=1k∈N∗ 成立
根据（1）、（2），所有骨牌都能倒下
根据（1） 、（2），an=1n∈N∗ 成立
追问2 你能完成ak=1⟹ak+1=1k∈N∗的证明过程吗？
师生活动 学生独立完成证明.如果n=kk∈N∗时，ak=1成立，那么ak+1=12−ak=12−1=1，故n=k+1时，ak+1=1.
追问3 你能解释证明过程的合理性吗？
师生活动 由学生解释.由n=1时，a1=1成立，就可以得到n=2时，a2=1成立；由n=2时，a2=1成立，就可以得到n=3时，a3=1成立；……所以，对于任意的n∈N∗，an=1成立，故数列{an}的通项公式为an=1n∈N∗得到了证明.
追问4 在证明ak=1⟹ak+1=1时，为什么要加条件k∈N∗?
师生活动 学生独立思考并回答：确保通项公式对从n=1开始的所有正整数都成立，确保命题成立的递推性.
追问5 “ak=1⟹ak+1=1”与“ak=1成立且ak+1=1”相同吗？
师生活动 学生独立思考并回答：不相同，“ak=1⟹ak+1=1”即为命题“若ak=1则ak+1=1”, “ak=1”是“ak+1=1”成立的条件.“ak=1成立且ak+1=1”仅表示“ak=1”与“ak+1=1”分别成立，它们之间不存在逻辑关系.
将多米诺骨牌全部倒下的条件类比、迁移到对数学命题的证明过程中，得到证明方法，解决了探究中的证明问题，既体现了数学是不断发现问题、解决问题的一门学科，也把类比等数学思想方法融入到了数学教学过程中.设计的追问，为后面辨析原理作好铺垫.
环节四
抽象方法，获得原理
根据前面的学习，我们将多米诺骨牌原理迁移到递推数列通项公式的猜想证明，而数学方法是高度抽象的结果，因此我们需要进一步抽象数学归纳法的原理和步骤.
问题5 从问题4的解答过程中，你能归纳出证明一个与正整数n有关的命题的一般步骤吗？
师生活动 师生共同归纳共性，一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n=n0n0∈N∗时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n=kk∈N∗，k≥n0时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
追问 根据课前的自主学习，你能说说数学归纳法的发展历程吗？
师生活动 数学归纳法是人类在研究自然数集中找到的一种用有限问题解决无限问题的重要方法，数学归纳法从萌芽到应用，有着悠久的历史，凝聚了众多中外数学家的精力和智慧.师生共同回顾数学归纳法的悠久历史：一般认为归纳推理可以追溯到公元前6世纪毕达哥拉斯时代，完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得在《几何原本》中对素数无限的证明，直至19世纪意大利数学家皮亚诺建立自然数的序数理论，为数学归纳法提供了理论基础.在中国，李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》中，对数学归纳法就有明确的记载，方法的形成凝聚了许多中外数学名家的智慧.现在广为流传的多米诺骨牌游戏中的多米诺骨牌最早起源于我国北宋时期，再由意大利传教士等带到欧洲.在近代，我国著名数学家华罗庚著有《数学归纳法》一书，他在书中这样说道：“数学归纳法很重要，学好了、学透了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对数学的性质，也会有所裨益.”强调了数学归纳法的重要性.希望同学们在课后进一步查阅相关资料，更加全面地了解数学归纳法及其应用.
本环节是在前面探究、类比、迁移的基础上，抽象数学归纳法原理，这是数学归纳法凝练过程中最关键的环节，数学概念抽象程度很高，学生以经历这个过程为主，简要介绍数学归纳法的发展历史，结合中外数学家对数学归纳法发展做出的贡献，增强学生文化自信，把立德树人的根本任务落实到课堂.
环节五
辨析步骤，理解原理
概念的辨析，是学生认识概念、理解概念的必经之路，凸显了数学教学应遵循的“两个自然过程”中的认知过程.
问题6 数学归纳法的第一步、第二步的作用分别是什么？你认为数学归纳法中的两个步骤有什么关系？
师生活动 学生独立思考，教师适时引导.数学归纳法中，第一步称为归纳奠基，是命题递推的基础，缺少这个基础，第二步就没有意义了.第二步称为归纳递推，假设Pk为真，证明Pk+1为真，是命题递推的依据，缺少这个依据，递推也无法进行下去.两步缺一不可，交替使用，就有若Pn0为真，则Pn0+1为真，则Pn0+2为真，……，若Pk为真，则Pk+1为真，……从而完成证明.
追问 记Pn是一个关于正整数n的命题，你能把用数学归纳法证明的形式改写成条件和结论的推理过程吗？
师生活动 在学生独立思考、小组交流后展示，教师帮助总结：数学归纳法本质上属于演绎推理，用数学归纳法证明一个关于正整数n的命题Pn，大前提是皮亚诺公理中的数学归纳法原理（学生可以在前期预习中查阅相关资料），需要证明的是小前提，即满足两个条件：①“Pn0为真”；②“若Pk为真，则Pk+1也为真”.因此得出结论Pn为真.
故对一个关于正整数n的命题Pn，把用数学归纳法证明的形式改写成条件和结论的推理过程即为：
条件：①“Pn0为真”；②“若Pk为真，则Pk+1也为真“”.
结论：Pn为真.
剖析数学归纳法原理，重在认清数学归纳法的本质，突破数学归纳法原理的难点：第二个步骤中的证明命题“若Pk为真，则Pk+1也为真”.数学归纳法证明是演绎推理，教科书并未向学生介绍皮亚诺公理的内容，需要学生在课外查阅相关资料，以此培养学生独立自主学习的能力.
环节六
简单应用，巩固新知
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么
an=a1+n−1d ①
对任何n∈N∗都成立.
师生活动 教师引导学生分析，等差数列的通项公式是关于正整数n的命题，并且涉及全体正整数，用数学归纳法证明的第一步应证明当n=1时命题成立.第二步就是要证明一个新命题：如果n=k时，ak=a1+k−1d成立，那么当n=k+1时，ak+1=a1+k+1−1d也成立.教师展示学生成果，让学生相互评价，特别关注学生对数学归纳法步骤二的证明过程.
最后，教师展示证明过程如下：
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，①式成立.
（2）假设当n=kk∈N∗时，①式成立，即
ak=a1+k−1d，
根据等差数列的定义，有
ak+1−ak=d，
于是
ak+1=ak+d，
=a1+k−1d+d
=a1+k−1+1d
=a1+k+1−1d，
即当n=k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何n∈N∗都成立.
问题7 根据数学归纳法原理的内容，结合数学归纳法的证明实践，你认为用数学归纳法证明问题的关键步骤是什么？
师生活动 学生独立思考，教师适时引导.数学归纳法的第一步“Pn0为真”一般只需验证即可，较为简单；而第二步“若Pk为真，则Pk+1也为真”需要进行严格的证明，以“Pk为真”为前提条件，推证“Pk+1为真”这一结论，其本质是证明一个“递推关系”的新命题.
追问 你能自己画结构框图来认识数学归纳法吗？
师生活动 学生小组合作完成，教师选择部分具有代表性的成果作展示（如图4.4-4所示）.
本例旨在呼应问题1，待证命题是学生非常熟悉的等差数列的通项公式，目的是让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范，同时让学生进一步体会数学归纳法的作用.
引导学生结合数学归纳法原理内容和在证明中的应用，进一步认识数学归纳法的两个步骤及步骤之间的关系，其第二步实际上是要证明一个数学新命题.
环节七
课堂小结，形成网络
问题8 你能从数学知识、思想方法、应用等方面构建本节课的知识结构图吗？
师生活动 让学生先独立思考、总结，然后全班交流，教师适时与学生互动，把本节课所学内容串知成链、编知成网，形成知识结构图（如图4.4-5所示）.
梳理本节课学习的数学知识、思想与方法，并以画结构图的形式，促进学生的反思建构.
环节八
分层作业，迁移应用
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第47页练习第2题.
（2）选做题：在探究数学归纳法时，一种很重要的思想是把“无限验证”转化为“有限步证明”，想一想，在数学学习中，还有哪些知识的学习也用到了类似的转化思想？请举例说明.
2.拓展性作业
课后请查阅资料，了解数学归纳法的发展历程，形成研究报告或数学小论文.
作业设计
板书设计
教学反思