高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第四课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第四课时教学设计，共7页。

课题：等比数列的前n项和公式的应用
课型：
课时教学目标
（1）能灵活运用等比数列的前n项和公式进行求和，发展数学运算素养.
（2）能在实际的问题情境中，抽象出等比数列模型，并能运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式、性质解决一些综合问题，发展数学建模和逻辑推理素养。
教学重点和难点
（1）教学重点：等比数列的前n项和公式的应用.
（2）教学难点：等比数列与等差数列的前n项和公式的综合应用.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
问题1 上节课我们学习了等比数列前n项和公式，你能写出公式并说明运用公式时需要注意什么问题吗？
师生活动 教师引导学生复习回顾等比数列前n项和公式，并请同学作答，其他同学补充.
通过简单的复习回顾，为本课时的学习作好铺垫和引导.
环节二
例题练习，熟练应用
例10 如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
师生活动 学生独立思考后进行小组合作交流，小组代表展示，教师适时评价.对于第（1）小题，教师可引导学生类比用等差数列的前n项和公式解决问题的方法，发现等比关系，建立等比数列模型.
追问1 从第一个正方形开始，后面一个正方形的面积和前一个正方形的面积存在怎样的关系？如何用数学符号表示你发现的这个关系？
师生活动 学生讨论得出结果：后面一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半.教师可用信息技术工具展示学生写出的关系式，并及时评价，强调建立等比数列模型时数学表达的规范性.
设正方形ABCD的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，⋯，an，⋯，则a1=25.由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak+1=12ak.因此，an}是以25为首项，12为公比的等比数列.
追问2 第（1）小题求10个正方形面积之和，相当于是一个什么数学问题？
师生活动 学生思考后回答，并根据等比数列前n项和公式求出结果：
S10=25×[1−1210]1−12=23375512（cm2）
追问3 如何理解题中的“如果这个作图过程可以一直继续下去”？并请同学们给出第（2）问的解答.
师生活动 学生代表回答，教师适时评价.教师引导学生理解第（2）问就是在问当n无限增大时，前n项和的变化趋势是什么.教师适时启发同学们从多个角度对当n无限增大Sn=501−12n的变化趋势进行探究.
角度一：当n无限增大，指数函数y=12n的值趋近于0，Sn趋近于50.
角度二：可利用信息技术工具作出函数y=501−12x的图象，结合函数的单调性，通过观察得出判断.
角度三：可以让学生借助直观来理解取极限的结果，即后一个正方形的面积是前一个正方形面积的一半，每增加一个正方形，可以将它的面积等同于围绕这个正方形外部的四个三角形的面积和，当无限增大时，内部正方形的面积无限趋近于0，所以Sn无限趋近于原来正方形面积的两倍.
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
师生活动 学生独立思考后小组交流.教师适时引导学生思考：根据实际情境，可以构建出两个数列——等比数列{an}和等差数列{bn}，而每年以填埋方式处理的垃圾量可以用这两个数列的差构成的数列{an−bn}来表示，则求n年内通过填埋方式处理的垃圾总量，就转化为求数列{an−bn}的前n项和.
由an=201+5%n，bn=6+1.5n可知
Sn=a1−b1+a2−b2+⋯+an−bn
=a1+a2+⋯+an−b1+b2+⋯+bn
=20×1.05+20×1.052+⋯+20×1.05n−7.5+9+…+6+1.5n
=20×1.05×1−1.05n1−1.05−n27.5+6+1.5n
=420×1.05n−34n2−274n−420.
当n=5时，S5≈63.5.
变式 求下列数列的一个前n项和公式：
1，11，111，1111，11111，…
师生活动 学生独立思考后小组合作探究.教师引导学生对“陌生”数列的探究从通项公式入手.
追问1 这个数列是等差数列还是等比数列？你能写出通项公式吗？
师生活动 教师提出问题，学生根据定义判断出这个数列既不是等差数列也不是等比数列后，教师适时引导学生写出通项公式an=10n−1+10n−2+⋯+10+1=10n−19.
追问2 这个数列该如何求前n项和公式？
师生活动 学生独立完成解答.如有必要，可引导学生参考例11中的分组求和法进行求和：
设数列10n−19的前n项和为Sn，则Sn=1910+102+…+10n−n=10n+181−n9−1081.
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，⋯.
（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1一k=r（cn一k）的形式，其中k，r为常数；
（3）求S10=c1+c2+c3+⋯+c10的值（精确到1）.
师生活动 第（1）小题根据实际背景，学生不难写出cn+1与cn之间的递推关系式cn+1=1.08cn−100，并且很容易判断{cn}既不是等差数列，也不是等比数列.教师适时评价.
追问1 根据递推公式，能否直接算出（3）的结果？
师生活动 教师引导学生加深理解：数列的递推公式和通项公式一样，也是数列的一种表示方法，只是一般情况下没有通项公式简便易用.教师可利用电子表格求出（3）的结果.
追问2 参考例11及其变式探究中处理“陌生”数列的一般思路，数列{cn}该如何转化为我们熟悉的数列进而继续研究呢？
师生活动 教师引导学生：形如数列{cn}这样的一阶线性递推式，可以构造出等比数列，但需要一定的技巧.第（2）小题通过问题的形式给出了这种技巧的关键步骤，即先通过引入参数，建立一个含cn+1与cn的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法.
追问3 根据（2）的结果，你该如何求出数列{cn}的前n项和？
师生活动 学生独立思考后小组交流，学生代表展示，师生共同评价.由（2）的结果，学生发现数列{cn−1250}为等比数列后，教师引导学生独立探究求Sn的思路：可以按照教科书上的方法，先求等比数列{cn−1250}的前n项和后再求Sn,也可以先求出cn=−50×1.08n−1+1250，再转化为一个等比数列和一个常数列分别求和再相加.
本题是利用等比数列的求和公式解决一个几何中的求面积和的问题.本题中渗透了极限思想，尽管学生还没有极限的概念，但借助数值计算应该可以理解：随着n的无限增大，12n将趋近于0.从多个角度尤其是借助直观理解极限的结果，能让学生体会数形结合的思想和数学知识之间的关联.
本题需要学生根据实际情境，建立两个数列模型，最终所求量为两个数列通过线性运算得到的新数列的前n项和，经历本题的探究可以让学生感悟转化与化归的思想，发展数学建模和数学运算素养.
设置此环节主要是为了加深学生对处理“陌生”数列的一般思路的理解：通过对通项公式的探究，转化为特殊（已知）数列的某种运算组合，再根据已知的数列求和公式或方法求解.通过这个变式探究的学习，能让学生更加深入地体会转化与化归思想在解决数学问题中的重要作用.
解决实际问题时，有时不容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，但可以发现某些量的递推关系.这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的运算组合，本题的设计意图就是说明如何处理这样的递推关系.本题的学习过程，着重渗透转化与化归的数学思想，发展逻辑推理和数学运算素养.
环节三
课堂小结，反思升华
问题2 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）用等比数列前n项和公式解决实际问题时，基本方法是什么？
（2）在探究既不是等差数列又不是等比数列的数列求和问题过程中，蕴含着什么数学思想方法？
师生活动 学生先独立思考，然后在小组内交流，小组派代表发言，师生共同完善。
通过问题引导学生对本课时的重点内容进行归纳梳理，自主完成知识建构，加深学生对解决实际问题时建立数列模型的基本方法的理解，强调在探究“陌生”数列时的转化与化归思想的运用.
环节四
目标检测，检验效果
1.某教育网站本月的用户为500人.网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1）？
检测目标 本题主要检测学生对利用等比数列前n项和公式解决简单实际问题的掌握情况，测评学生运用函数与方程的思想进行数学建模和运算求解的能力.
2.某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？
检测目标 本题主要检测学生对等比数列前n项和公式应用问题的掌握情况，测评学生运用数学模型的思想进行数学建模和运算求解的能力.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+1，求Sn.
检测目标 本题主要检测学生对数列前n项和与通项公式的关系及等比数列定义综合应用的掌握情况，测评学生运用转化与化归的思想进行逻辑推理的能力.
师生活动 学生独立思考完成后，教师应用信息技术展示3名学生代表的解答，师生共同评价，教师适时强调建立数学模型时符号表达的规范性.教师对学生解答中存在的共性问题予以讲解，其中第3题可启发学生进行一题多解的尝试.
本环节的3道检测题均来自教科书课后练习，主要检测学生对本课时重难点内容的掌握情况.3道题具有层次性，第1题比较基础，建模要求不高，学生能够顺利完成；第2题对数学建模能力的要求相对较高，学生不易准确列出符合题意的代数式，需要教师重点关注；第3题需要学生将题中数列转化为等比数列，对转化与化归的思想和代数变形能力的要求较高，这组检测题的评价方式主要采用师生共评和教师讲评相结合.
环节五
布置作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第40页练习第1题，第41页习题4.3第8、10题.
（2）选做题：教科书第56页复习参考题4第12题.
2.拓展性作业
请同学们归纳梳理本单元学习中涉及的数列求和的方法，并举例说明方法适用的条件和需要注意的问题.
练习第1题主要检测学生对运用等比数列前n项和公式解决应用问题的掌握情况，测评学生运用特殊与一般和函数与方程的思想进行数学建模和运算求解的能力.习题4.3第8题和第10题主要检测学生对数列求和综合应用的掌握情况，测评学生运用转化与化归和函数与方程的思想进行逻辑推理的能力，复习参考题4第12题主要检测学生对等差、等比数列综合应用的掌握情况，测评学生运用转化与化归的思想进行逻辑推理和运算求解的能力，拓展性作业主要检测学生对数列求和的掌握情况，测评学生运用特殊与一般的思想对知识进行归纳概括和自我建构的能力.
作业设计
板书设计
教学反思