人教A版（2019）必修第二册 第七章 7.2.2 复数的乘、除运算（教学课件）

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第七章　§7.2　复数的四则运算7.2.2　复数的乘、除运算学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一　复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .(ac－bd)＋(ad＋bc)i2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有思考　|z|2＝z2，正确吗？答案　不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点二　复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的 .共轭复数预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.(1＋i)(2＋i)＝_______.1＋3i解析　依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.2－i3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第____象限.四解析　因为z＝i(－2－i)＝1－2i，所以复数z对应的点在第四象限.2题型探究PART TWO例1　计算下列各题.(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；一、复数代数形式的乘法运算解　(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤①首先按多项式的乘法展开.②再将i2换成－1.③然后再进行复数的加、减运算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于A.2i－13 B.13＋2iC.13－2i D.－13－2i√解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)√解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，二、复数代数形式的除法运算例2　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为A.3＋5i B.3－5iC.－3＋5i D.－3－5i√解析　∵z(2－i)＝11＋7i，－2＋i＝－2＋i.复数的除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.√三、在复数范围内解方程例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，所以(x＋3)2＝－1，又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法(1)求根公式法(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.(1)求b，c的值；解　∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，(2)试判断1－i是不是方程的根.解　由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程式成立.∴1－i是方程的根.核心素养之数学运算与逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN YU LUO JI TUI LIi的运算性质典例　(1)复数z＝ ，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为A.1 B.－1 C.i D.－i√所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.1(1)①i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)；②记住以下结果，可提高运算速度.(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；(2)通过i的运算性质进行复数运算，提升逻辑推理和数学运算素养.3随堂演练PART THREE123451.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1√解析　∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.123452.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为A.6－4i B.－6－4iC.6＋4i D.－6＋4i√解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.12345A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√故复数对应的点在第二象限.123454.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝_______.－2＋4i0∴原式＝－i＋i－i＋i＝0.12345课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)复数的乘法及运算律.(2)复数的除法运算.(3)在复数范围内解方程.(4)i的运算性质.2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.4课时对点练PART FOUR基础巩固123456789101112131415161.在复平面内，复数z＝i(－2＋i)对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析　z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内复数z＝i(－2＋i)对应的点位于第三象限.√123456789101112131415163.(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是12345678910111213141516√√解析　计算得AD为实数，BC为纯虚数.123456789101112131415164.(1＋i)20－(1－i)20的值是A.－1 024 B.1 024C.0 D.512√解析　∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0.12345678910111213141516A.1±3i B.3±i C.3＋i D.3－i√∴z＝3±i.6.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.52解析　由已知(a＋bi)2＝3＋4i，得a2－b2＋2abi＝3＋4i.123456789101112131415167.在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为___________.12345678910111213141516解析　因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，0123456789101112131415169.计算：1234567891011121314151612345678910111213141516＝i6＋i＝－1＋i.(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.解　把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，12345678910111213141516综合运用11.若复数 的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上A.y＝2x B.y＝C.y＝|x| D.y＝－2x2－1√把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.1234567891011121314151612345678910111213141516√√故z的虚部为2，12345678910111213141516√1234567891011121314151614.已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0(a，c∈R)的一个根是2＋3i，则a－c＝______.3解析　由题意，得a(2＋3i)2＋(2＋3i)＋c＝0，即－5a＋2＋c＋(12a＋3)i＝0.12345678910111213141516拓广探究15.据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 等于√1234567891011121314151612345678910111213141516解析　欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)，16.已知复数z满足z＋2i， 均为实数，复数(z＋xi)2(x∈R)在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位.(1)求复数z；解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，∴z＝4－2i.12345678910111213141516(2)求实数x的取值范围.解　∵复数(z＋xi)2＝[4＋(x－2)i]2＝16－(x－2)2＋8(x－2)i＝(12＋4x－x2)＋(8x－16)i，且复数(z＋xi)2在复平面内对应的点在第一象限，即实数x的取值范围是(2,6).12345678910111213141516本课结束