重难点1 递推公式求通项公式（导与练）-2024-2025学年高二数学同步精品导与练（人教A版选择性必修第二册）

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重难点1 递推公式求通项公式（精讲）考点一 公式法【例1-1】（2023秋·广东深圳）已知数列的前项和（），则 ．【答案】【解析】当时，，当时，.当时上式也符合，所以.所以.故答案为：.【例1-2】（2023春·广东佛山 ）已知数列的前n项和为，且，则 .【答案】【解析】当时，，则.经检验，时，，不符合上式，故.故答案为：.【例1-3】（2023·广东汕头）已知各项都是正数的数列的前项和为，，.求数列的通项公式 ；【答案】；【解析】依题意，，当时，，解得；当时，，，两式相减并化简得，其中，所以，即.所以数列的通项是首项为，公差为的等差数列，所以.【例1-4】（2023秋·广东·高二校联考期末）对任意正整数，数列满足：，则 .【答案】【解析】根据题意有：当，得：2；当时，，即，即，又不满足上式，所以的通项公式为.故答案为：.【一隅三反】1．（2023春·广东广州）已知数列的前项和满足，则 .【答案】【解析】当时，，当时，，不符合故答案为：2（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】当时，；当时，，所以，又，所以两式作差得，所以，即，所以数列是从第二项起公比为的等比数列，所以.故答案为：.3.（2023广东）已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】当时，.当时，，①.②①②，得.因为不满足上式，所以故答案为：4．（2023·江苏）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)3(2)an＝2n＋1【解析】(1)由所给条件知，当n＝1时 ，整理得 ，由于 ，得 ；(2)由条件得 ，   ，①- ②得 ，整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，因为：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2）， 是首项为3，公差为2的等差数列，   ，故 .考点二 累乘法【例2-1】（2022春·广东佛山）已知数列满足，且，则 .【答案】【解析】因为，所以，数列是常数数列，所以，．故答案为：．【例2-2】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式 .【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即 所以故答案为：【一隅三反】1．（2022·广东深圳）已知数列的前项和为，，，则数列 ．【答案】【解析】由题意可得，所以，所以，所以，又因为，所以，故答案为：2．（2023·广东深圳）数列满足：，，则数列的通项公式 .【答案】【解析】因为①；当时，②；①减②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：3（2023春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；【答案】【解析】因为，显然，所以，当时，由累乘法得，则，又，所以，所以当时，，时，也符合，所以.考点三 累加法【例3】（2023春·广东佛山）已知数列首项为2，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，，则当时，有 ，经检验当时也符合该式．∴. 故选：D【一隅三反】1．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知数列中，，则 ．【答案】【解析】当时，，所以，又，符合，所以．2．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】根据题意得，解得，故，故时，，故，显然n=1时也满足上式.故答案为：3．（2023春·广东珠海·高二校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为 【答案】【解析】因为，所以，则当时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.4．（2022春·广东珠海）（1）已知数列是正项数列，，且．求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，．求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，对任意的，，则，则，所以，数列是公比为的等比数列，，；（2）由，得：，又，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，得，当时，，，，，累加得，，则，也满足，故对任意的，.考点四 构造等差数列【例4-1】（2023·四川 ）已知数列满足，，，则an= 【答案】【解析】因为，所以，所以，又，数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以【例4-2】（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.【答案】【解析】由题设，，即，而，∴是首项、公差均为的等差数列，即，∴.故答案为：【例4-3】（2023广东）已知数列满足，求出数列的通项公式；【答案】【解析】因为，所以等式两边同除以得所以数列是以为首项，2 为公差的等差数列，所以所以【例4-4】（2023·广东佛山 ）已知数列满足，则= .【答案】【解析】对递推关系取倒数，得.即，分别用替换，有，，，…，以上个式子相加，得，所以，，n=1成立∴.故答案为：..【一隅三反】1．（2023安徽）已知数列满足，且，则数列__________【答案】13n−1【解析】由可得，所以数列是等差数列，且首项为2，公差为3，则，13n−12．（2023福建）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式；【答案】【解析】因为，所以令，则，解得，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；4.（2023·广东肇庆 ）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．【答案】2【解析】由，得，当时，得，，…，，则，即，则，当n=1时符合上式，则，所以k最小为2．故答案为：.考点五 构造等比数列【例5-1】（2023春·广东佛山 ）数列中，，，则此数列的通项公式 .【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故答案为：【例5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则 【答案】【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．【一隅三反】1．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式 .【答案】【解析】设，即，故，解得：，故变形为，，故是首项为4的等比数列，公比为3，则，所以，故答案为：2．（2023福建省 ）已知数列满足，，则的前n项和为_____.【答案】【解析】数列满足，整理得：，所以，又，故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以的前项和故答案为：3（2023安徽）已知在数列中，，，则 【答案】【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A4、（2022·全国·课时练习）已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．【答案】【解析】∵，∴，即,∴,且，，则,又，∴数列是首项为，公比为3的等比数列．∴．故答案为：.