高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品一课一练

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A．B．2C．或D．或2
【答案】D
【解析】由题意得：，因为，所以，
所以，解得或．
故选：D
2．（2023春·高二课时练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
3．（2023春·高二课时练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
4．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，
则是以2为公比的等比数列，
，，解得，
所以，
．
故选：C．
5．（2022秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．9B．10C．12D．17
【答案】B
【解析】 设等比数列的公比为q，
因为
.
所以，
则.
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
7．（2023秋·四川南充 ）已知等比数列中，，前n项和为，公比为q．若数列也是等比数列，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【解析】依题意，是等比数列，是等比数列，
所以成等比数列，
所以，
即，，
，解得或（舍去），所以.
此时，，是等比数列.
故选：D
8．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以；
由，得，即，所以，
解得，则.
故选：C.
法二：设等比数列的公比为，若，则，所以；
由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，，
所以，所以.
故选：C.
多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2023秋·云南昆明·高二校考期末）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多六里
B．此人第三天走了二十四里
C．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍
D．此人第二天走的路程占全程的
【答案】AC
【解析】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，
记该等比数列为，公比为，前 项和为，
则，解得，
此人第一天走的路程比后五天走的路程多（里），故 A正确；
此人第三天走的路程为（里），故 B错误；
此人前三天走的路程之和为（里），
后三天走的路程之和为（里），，
所以前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍，故C正确．
此人第二天走的路程为，故 D错误；
故选：AC.
10．（2023·江苏盐城 ）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．1
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【解析】若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A不正确．
因为，所以，
因此，故B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，故C错误．
因为当时，，当时，，所以的最大值为，
即D正确．故选：BD.
11．（2023春·河南南阳）设数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．的前项和为
【答案】AD
【解析】选项A，由已知①，当时，可得，
当时，②，
两式相减得，即，
可得数列是为公比的等比数列，故A正确；
选项B，由选项A可得，故，故B错误；
选项C，因为，故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以，故C错误；
选项D，因为，
所以，故D正确．
故选：AD
12．（2022秋·江苏南通·高二校考阶段练习）已知等比数列中，满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】等比数列中，满足，则，有，
由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A正确；
而，则数列是递减数列，故B不正确；
又，，，
故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C正确；
数列中，，，，，故D错误.
故选：AC．
填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2023秋·辽宁大连 ）记为等比数列的前n项和，已知，，则 ．
【答案】4
【解析】因为为等比数列的前n项和，，，
所以由等比数列的性质可得，，成等比数列，
所以．
故答案为：4
14．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，且，则 .
【答案】120
【解析】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
15．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）等比数列中，已知对任意自然数n，，则 .
【答案】
【解析】设等比数列首项为，公比为，则，
，即，
解得，则，
，则数列是首项为1，公比为4的等比数列.
.
故答案为：.
16．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为 .
【答案】24
【解析】正项等比数列的前n项和为，则，
由已知，可得，
由等比数列的性质可得成等比数列，则，
综上可得，
当且仅当时等号成立.
综上可得，的最小值为24.
故答案为：24
解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）
17．（2023·广西柳州）设等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题知，设等比数列的公比为，显然，
则有
由①÷②得，所以，代入①得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
18．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
(1)设n年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
（参考数据：，，）
【答案】(1)；
(2)至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入
【解析】（1）2018年投入为1000万元，第n年投入为万元，
根据题意可知，年投入是以1000万元为首项，公比为的等比数列；
由等比数列前项和可知n年内的总投入为
；
2018年收入为500万元，第n年收入为万元．
即年收入是以500万元为首项，公比为的等比数列
所以n年内的总收入为
（2）设经过n（）年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即
化简得，
设，代入上式得，
解此不等式可得或（舍去）．
即，即 ，所以，
又，得．
所以至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入．
19．（2023秋·贵州贵阳 ）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【解析】（1）两边取倒数得，，
即，
又，
故为首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）得，
故，
所以
，
故，则，
由于单调递增，且，
，
故满足条件的最大整数为9.
20．（2023秋·山东 ）在前项和为的等比数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求数列的前50项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列的公比为，
若，则，与题意不符；
若，则，解得，
所以；
（2）由（1）知：，
将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，
因为，
所以新的数列的前50项中数列有6项，数列有44项，
所以数列的前50项的和.
21．（2023秋·江苏无锡 ）已知数列的前n项和为，，，且，若对任意都成立，求
(1)数列的通项公式；
(2)求实数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）数列的前项和为，，，且，
所以，故，
因为，所以，
所以，，
则，
故．
（2）由（1）得，
所以=，
所以，
因为对任意都成立，所以，
设，则，
当时，当时，
因此，
则，故的最小值为．
22（2023·辽宁大连 ）数列的前项和为，前项的积为，，对所有正整数均成立.
(1)求；
(2)当成立时，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：数列的前项和为，前项的积为，且，
因为，可得，且，①
令，则有，解得，
又由①得：（）②，
①②可得，（），
又当时，也满足上式，
所以数列是以4为公比，8为首项的等比数列，
因此，所以.
（2）解：由（1）知，，
又由，可得，即，
所以，即，解得且，
所以的最大值为.