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高中数学4.3 等比数列精品习题
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这是一份高中数学4.3 等比数列精品习题，文件包含432等比数列的前n项和精讲原卷版docx、432等比数列的前n项和精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
考点一 等比数列前n项和公式的基本运算
【例1】（2023秋·高二课时练习）在等比数列中，
(1)，，求；
(2)，，求；
(3)，，求；
(4)，，求．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【解析】（1），，故
（2），又，故，故，
（3）由，可得，即，解得或.
（4），故，即
【一隅三反】
1．（江西省名校2024届高三上学期9月联合测评数学试题）设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】设公比为，由题意可得，且，
∴，解得或，
∴，
故或.
故选：C.
4．（2023·甘肃临夏 ）在等比数列中，是其前n项和，若，，则（ ）
A．5B．51C．455D．-21
【答案】B
【解析】根据题意，设等比数列的公比为q，
由，，则，解可得，
则；
故选：B.
3．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等比数列.
(1)若，，求；
(2)若，，，求；
(3)若，，，求n.
(4)如果，，求；
(5)如果，，求q；
(6)如果，，求．
【答案】(1)(2)(3)5(4)(5)或(6)
【解析】（1）因为，，所以.
（2）由，，可得，即，
又由，得，所以.
（3）把，，代入，得．
整理得，解得.
（4）等比数列中，，，，解得．
（5）在等比数列中，，，显然公比，
，整理得，解得或．
（6）因为，，所以公比，
所以，，
所以，即，所以，
所以，则.
考点二 等比数列的片段和的性质
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（ ）
A．64B．66C．D．
【答案】C
【解析】由等比数列前项和的性质，可得构成等比数列，
即成等比数列，可得，解得.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023秋·辽宁 ）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等比数列的前项和为，则成等比数列，
设，则，，，，
所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 .
【答案】40
【解析】因为，，所以，，
则等比数列的公比，
所以，，也是等比数列，
所以，，也是等比数列，
所以，即，
解得或，
又，所以.
故答案为：40.
考点三 等比数列奇、偶项和的性质
【例3】（2022秋·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，
设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
【答案】D
【解析】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
2．（2023春·高二课时练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
3．（2023秋·高二课前预习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
考点四 等比数列前n项和其他性质
【例4-1】（2022春·四川遂宁 ）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
【例4-2】（2023·云南）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·广西）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时,,
当时，
所以，故选B.
2．（2023·江西宜春 ）等比数列的前项和为，则数列的前项和为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于数列是等比数列，，通过对比系数可知，且公比，故，首项.故是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，故选A.
3．（2023·北京）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ．
【答案】11
【解析】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．
故答案为：11
考点五 等比数列的最值
【例5】（2022秋·江西赣州 ）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】B
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023湖南）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，因为，所以，则与矛盾，
若，因为，所以，则，与矛盾，
所以，故B正确；
因为，则，所以，故A错误；
因为，，所以单调递增，故C错误；
因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；
故选：B.
2．（2023春·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】C
【解析】若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
3．（2023秋·江西宜春 ）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于178
【答案】AD
【解析】由，则，所以，
又，则，
又，则，且．
所以，故A正确；
又，则，故B错误；
由，而，则，故C错误；
又，
而，故D正确．故选：AD．
考点六 等比数列前n项和的实际应用
【例6】（2023秋·黑龙江哈尔滨 ）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是 （，）
【答案】
【解析】设对折次时，纸的厚度为毫米，每次对折厚度变为原来的倍，
由题意知是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
令，
即，所以，即，
解得：，
所以至少对折的次数是，
故答案为：42.
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（ ）
A．8hB．9hC．10hD．11h
【答案】C
【解析】根据题意，可设个小时后知道喜讯的总人数为，
则传递过程可看成一个等比数列，首项为1，公比为2，
则，化简可得，
由，可得，即，
解得；
故选：C
2．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，，解得，
所以，此人后三天所走的里程数为.
故选：D.
3．（2023秋·重庆沙坪坝 ）随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为 万吨，预计到 年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，）
【答案】 5.5 2035
【解析】设2023年为第一年，第n年该厂的金属产量为，截止第n年末这家冶金厂该金属的累计总产量为，，
，，故2024年产量为5.5万吨，
，
作差得，所以，
也成立，所以，
由得，
，则n取13，为2035年
故答案为：5.5；2035.
考点一 等比数列前n项和公式的基本运算
【例1】（2023秋·高二课时练习）在等比数列中，
(1)，，求；
(2)，，求；
(3)，，求；
(4)，，求．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【解析】（1），，故
（2），又，故，故，
（3）由，可得，即，解得或.
（4），故，即
【一隅三反】
1．（江西省名校2024届高三上学期9月联合测评数学试题）设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】设公比为，由题意可得，且，
∴，解得或，
∴，
故或.
故选：C.
4．（2023·甘肃临夏 ）在等比数列中，是其前n项和，若，，则（ ）
A．5B．51C．455D．-21
【答案】B
【解析】根据题意，设等比数列的公比为q，
由，，则，解可得，
则；
故选：B.
3．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等比数列.
(1)若，，求；
(2)若，，，求；
(3)若，，，求n.
(4)如果，，求；
(5)如果，，求q；
(6)如果，，求．
【答案】(1)(2)(3)5(4)(5)或(6)
【解析】（1）因为，，所以.
（2）由，，可得，即，
又由，得，所以.
（3）把，，代入，得．
整理得，解得.
（4）等比数列中，，，，解得．
（5）在等比数列中，，，显然公比，
，整理得，解得或．
（6）因为，，所以公比，
所以，，
所以，即，所以，
所以，则.
考点二 等比数列的片段和的性质
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（ ）
A．64B．66C．D．
【答案】C
【解析】由等比数列前项和的性质，可得构成等比数列，
即成等比数列，可得，解得.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023秋·辽宁 ）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等比数列的前项和为，则成等比数列，
设，则，，，，
所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 .
【答案】40
【解析】因为，，所以，，
则等比数列的公比，
所以，，也是等比数列，
所以，，也是等比数列，
所以，即，
解得或，
又，所以.
故答案为：40.
考点三 等比数列奇、偶项和的性质
【例3】（2022秋·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，
设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
【答案】D
【解析】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
2．（2023春·高二课时练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
3．（2023秋·高二课前预习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
考点四 等比数列前n项和其他性质
【例4-1】（2022春·四川遂宁 ）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
【例4-2】（2023·云南）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·广西）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时,,
当时，
所以，故选B.
2．（2023·江西宜春 ）等比数列的前项和为，则数列的前项和为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于数列是等比数列，，通过对比系数可知，且公比，故，首项.故是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，故选A.
3．（2023·北京）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ．
【答案】11
【解析】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．
故答案为：11
考点五 等比数列的最值
【例5】（2022秋·江西赣州 ）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】B
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023湖南）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，因为，所以，则与矛盾，
若，因为，所以，则，与矛盾，
所以，故B正确；
因为，则，所以，故A错误；
因为，，所以单调递增，故C错误；
因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；
故选：B.
2．（2023春·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】C
【解析】若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
3．（2023秋·江西宜春 ）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于178
【答案】AD
【解析】由，则，所以，
又，则，
又，则，且．
所以，故A正确；
又，则，故B错误；
由，而，则，故C错误；
又，
而，故D正确．故选：AD．
考点六 等比数列前n项和的实际应用
【例6】（2023秋·黑龙江哈尔滨 ）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是 （，）
【答案】
【解析】设对折次时，纸的厚度为毫米，每次对折厚度变为原来的倍，
由题意知是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
令，
即，所以，即，
解得：，
所以至少对折的次数是，
故答案为：42.
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（ ）
A．8hB．9hC．10hD．11h
【答案】C
【解析】根据题意，可设个小时后知道喜讯的总人数为，
则传递过程可看成一个等比数列，首项为1，公比为2，
则，化简可得，
由，可得，即，
解得；
故选：C
2．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，，解得，
所以，此人后三天所走的里程数为.
故选：D.
3．（2023秋·重庆沙坪坝 ）随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为 万吨，预计到 年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，）
【答案】 5.5 2035
【解析】设2023年为第一年，第n年该厂的金属产量为，截止第n年末这家冶金厂该金属的累计总产量为，，
，，故2024年产量为5.5万吨，
，
作差得，所以，
也成立，所以，
由得，
，则n取13，为2035年
故答案为：5.5；2035.
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