高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列精品同步测试题

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考点一 等差数列前n项和基本量的计算
【例1-1】（2023·北京）已知数列是等差数列．
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
(4)若，，求；
(5)若，，求；
(6)若，，，求n．
【答案】(1)2700(2)(3)．(4)2(5)1596(6)11
【解析】（1）因为，，根据公式，可得．
（2）因为，，所以．根据公式，可得．
（3）把，，代入，得．
整理，得．解得，或（舍去）．所以．
（4）由题意知数列为等差数列，，，
设公差为d，故，解得；
（5）数列为等差数列，，，
设公差为d，故，解得，
则；
（6）由题意知数列为等差数列，，，
设公差为d，则，解得，
由，得，解得或（舍去），故.
【例1-2】（2023春·湖南衡阳·高二校考阶段练习）数列中，，，
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，即，所以数列是等差数列，
所以，.
（2）令得，；
当时，；
当时，
.
综上可得，
【一隅三反】
1．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔）已知等差数列的前n项和，且则（ ）
A．10B．15C．30D．3
【答案】B
【解析】因为是等差数列，，
所以，则，
所以.
故选：B.
2．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差（ ）
A．3B．2C．D．4
【答案】B
【解析】等差数列的前项和为，，，
于是，解得，
所以等差数列的公差.
故选：B
3．（2023·全国·高二随堂练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和．
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）由题意，，，
所以
（2）由题意，，，
所以.
（3）由题意，，，，
所以
（4）由题意，，，
由，得 ，解得，
所以.
4．（2023春·广西桂林·高二统考期末）在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求n．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，
则，解得，
∴．
（2）由以及，，，
得方程，整理得，
解得或（舍去），
故．
5．（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，
所以.
（2）因为，所以当时，；当时，，
当时，，
当时，
，
所以.
考点二 等差数列片段和的性质
【例2-1】（2023春·江西吉安·高二统考期末）记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】（法一）数列为等差数列，有，，成等差数列，，
解得，故选：C.
（法二）由题意知，，，解得，，，
故选：C.
【例2-2】（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知等差数列，若，，则（ ）
A．30B．36C．24D．48
【答案】A
【解析】已知等差数列，①，②，
设数列的公差为d，
②－①得，
则．
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等差数列中，已知，，则（ ）
A．90B．40C．50D．60
【答案】D
【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，
，，故，
.
故选：D
2．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6B．12C．15D．21
【答案】C
【解析】设，则，，
因为为等差数列，所以，，也成等差数列，
则，解得．
故选：C
3．（2023·陕西榆林 ）已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．3B．5C．7D．8
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，
成等差数列，
而，，
，
故选：B.
4．（2022春·高二单元测试）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，
∵，即，，
∴，，∴，，
∴.故选：A.
考点三 两个等差数列前n项和的比值
【例3-1】（2023春·河南驻马店·高二校考阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得
.
故选：B
【例3-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由等差数列性质知：，，
.
故选：D.
【例3-3】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得，可设，，
则，，即，故选：.
【一隅三反】
1．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）两个等差数列，它们的前n项和之比为，则这两个数列的第9项之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设两个等差数列的前项和分别为，则由题意可知，
所以，故选：C
2．（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．
【答案】
【解析】，
由于，
故答案为：
3．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ．
【答案】
【解析】两个等差数列和的前项和分别为和，且，
故设，
则，
,
所以，
故答案为：
4．（2023·全国·高二专题练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； .
【答案】 / /
【解析】空1：由等差数列的前项和公式，可得，
又由等差数列的性质，可得，
因为，可得.
空2：设，
所以，
，所以.
故答案为：；.
考点四 等差数列前n项和最值
【例4-1】（2023·广东清远·高二校考期中）若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】B
【解析】，，且，故，，
，.
故使前项和成立的最大自然数是.
故选：B
【例4-2】（2023春·上海·高二期中）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10B．11C．20D．21
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知，，
又，和异号，
数列的前项和有最大值，数列是递减的等差数列，即，，
，，当时，的最大值为20．
故选：C．
【例4-3】（2023秋·黑龙江牡丹江 ）（多选）数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列
B．
C．当时，
D．当或4时，取得最大值
【答案】BCD
【解析】A选项，当时，，
又，所以，
因为，
则是递减数列，故A错误；
B选项，由可得，故B正确；
C选项，令，解得，故C正确；
D选项，因为的对称轴为，开口向下，
又，所以当或4时，取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）（多选）数列的通项公式为，其前项和为，则使最大的的取值可以是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】BC
【解析】令，则，且，故时恒成立，
所以使最大的的取值为10或11.
故选：BC
2．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）（多选）已知等差数列的公差，当且仅当时，的前n项和最小，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】等差数列的公差，则数列是递增等差数列，
又当且仅当时，最小，因此当时，；当时，，
于是，解得，而，
从而，，
，，即与0的关系不确定，ABD正确，C错误.
故选：ABD
3．（2023春·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知为等差数列前项和，若，且，则当最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，易知 ；
所以，即，
所以数列为递减数列，且前9项和最大，当最大时，的值为.
故选：C
4．（2023秋·福建宁德）（多选）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最大值B．是最大值
C．D．是最小值
【答案】BC
【解析】由得，
而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.
，C选项正确.
由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.
故选：BC
考点五 等差数列前n项和的其他性质
【例5-1】（2023春·河南周口·高二统考期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知：
数列的奇数项之和为，①
偶数项之和为，②
由②-①，得，所以，即该数列的公差为.
故选：D.
【例5-2】（2023春·高二课时练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023春·广西桂林·高二校考阶段练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A﹒
2．（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.
故选：B.
3．（2022秋·高二单元测试）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项，
奇数项之和为，
偶数项之和为，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为，
故选：D
4．（2022·高二单元测试）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（ ）
A．10B．13C．11D．22
【答案】A
【解析】等差数列 共2n+1个项，
其中奇数项有个，偶数项有个，
设等差数列的公差为，
奇数项和
①，
偶数项和
②，
①-②得，
则.
故选：A
考点六 等差数列求和的实际应用
【例6】（2023秋·云南昆明·高二校考期末）《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺
A．1B．1.25C．1.5D．2
【答案】C
【解析】由题意可知：十二个节气的日影子长为等差数列，
设为，公差为d，其前n项和为，
则，代入得：，解得：.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前7天共分发多少升大米？（ ）
A．1170B．1440C．1785D．1772
【答案】C
【解析】由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列，设公差为，则，
记第一天共分发大米为(升)，
则前7天共分发大米（升）.
故选：C.
2．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（ ）
A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺
【答案】B
【解析】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，
且等差数列中，首项与第三十项分别为，
（尺），
故选：B.
3．（2023秋·高二课时练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（ ）
A．B．此人第三天行走了一百三十里
C．此人前七天共行走了九百一十里D．此人前八天共行走了一千零八十里
【答案】B
【解析】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，
由题意可得，解得，A结论正确；
，B结论错误；
，C结论正确；
，D结论正确.
故选：B.
4．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．20B．25C．D．40
【答案】B
【解析】被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则
∴
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.