新教材2023版高中数学第三章圆锥曲线的方程章末质量检测新人教A版选择性必修第一册

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章末质量检测(三)　圆锥曲线的方程考试时间：120分钟　满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)A．(1，0)B．(0，1)C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))2．过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1左焦点F1引直线l交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是(　　)A．20B．18C．10D．163．已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，则该双曲线的离心率为(　　)A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)C．2D．eq \f(2\r(3),3)4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且eq \o(PF,\s\up6(→))＝4eq \o(FQ,\s\up6(→))，则点P到准线l的距离为(　　)A．4B．5C．6D．75．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36cm，则|AD|＝(　　)　　A．12eq \r(10)cmB．6eq \r(38)cmC．38cmD．6eq \r(37)cm6．已知椭圆mx2＋5my2＝5的一个焦点坐标是(－2，0)，则m＝(　　)A．5B．2C．1D．eq \f(3,2)7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，以O为圆心的圆交抛物线于A、B两点，交准线于M、N两点，若|AB|＝4eq \r(2)，|MN|＝2eq \r(5)，则抛物线方程为(　　)A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝10x8．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上．当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2的内切圆半径为(　　)A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),3)C．1D．eq \f(2\r(3),3)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．关于双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1，下列说法正确的有(　　)A．虚轴长为8B．渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)xC．焦点坐标为(±5，0) D．离心率为eq \f(5,4)10．已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则下列选项正确的是(　　)A．当m＝n时，方程表示的曲线是圆B．当mnn>0时，方程表示的曲线是椭圆D．当m＝0且n>0时，方程表示的曲线是抛物线11．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，短轴长为2eq \r(3)，则(　　)A．椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1B．椭圆与双曲线2y2－2x2＝1的焦点相同C．椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))D．直线y＝k(x＋1)与椭圆恒有两个交点12．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为eq \r(3)的直线与抛物线交于两点A，B，与抛物线的准线交于点D，|BF|＝1，则(　　)A．|BD|＝2B．p＝eq \f(3,2)C．点A到准线的距离为2D．点F为线段AD的中点三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．双曲线mx2＋y2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝________．14．过抛物线x2＝2y焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为________．15．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足2eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \o(MB,\s\up6(→)).则点M的轨迹方程为________．16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F1的直线l与圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)c))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(c2,4)相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则直线l的斜率是________，双曲线的渐近线方程为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为eq \r(7)的弦AB.求：(1)弦AB的长；(2)△F1AB的周长．18．(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且eq \o(FA,\s\up6(→))·eq \o(OA,\s\up6(→))＝16.(1)求抛物线的方程；(2)过点M(8，0)作直线l交抛物线于B，C两点，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，判断eq \o(OB,\s\up6(→))·eq \o(OC,\s\up6(→))是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．(本小题满分12分)已知P是椭圆C1：eq \f(x2,2)＋y2＝1上的动点，F1，F2分别是C1的左、右焦点，点Q在F1P的延长线上，且∠PQF2＝∠PF2Q，记点Q的轨迹为C2.(1)求C2的方程；(2)直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若MN的中点为Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，求AB的中点坐标．20．(本小题满分12分)已知直线l：ax－y－1＝0与双曲线C：x2－2y2＝1相交于P、Q两点．(1)当a＝1时，求|PQ|；(2)是否存在实数a，使以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)设P(2，2)，若直线PA，PB的倾斜角互补，求k的值．22．(本小题满分12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(2),2)，且过点(0，1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点(A、B非椭圆顶点)，求·的最大值．章末质量检测(三)　圆锥曲线的方程1．解析：抛物线y＝4x2的方程化为标准方程为：x2＝eq \f(1,4)y，故p＝eq \f(1,8)，则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).答案：D2．解析：依题意a＝5，根据椭圆的定义可知，三角形ABF2的周长为4a＝20.答案：A3．解析：由题意eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴a2＝3b2，∴a2＝3(c2－a2)，∴4a2＝3c2，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(4,3)，∴e2＝eq \f(4,3)，∴e＝eq \f(2\r(3),3).答案：D4．解析：由题意得：F(0，1)，准线方程为y＝－1，因为eq \o(PF,\s\up6(→))＝4eq \o(FQ,\s\up6(→))，所以yP＝5yF＝5，故点P到准线l的距离为yP＋1＝6.答案：C5．解析：以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1(a>0)，依题意可得2a＝30，则a＝15，即双曲线的方程为eq \f(x2,152)－eq \f(y2,3×152)＝1.因为|AB|＝36cm，所以A的纵坐标为18.由eq \f(x2,152)－eq \f(182,3×152)＝1，得|x|＝3eq \r(37)，故|AD|＝6eq \r(37)cm.答案：D6．解析：由焦点坐标是(－2，0)，则椭圆焦点在x轴上，且c＝2，将椭圆mx2＋5my2＝5化为eq \f(x2,\f(5,m))＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，则m>0，由eq \f(5,m)>eq \f(1,m)，焦点坐标是(－2，0)，则eq \f(5,m)－eq \f(1,m)＝4，解得m＝1.答案：C7．解析：设圆O的半径为r，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，由勾股定理可得r＝eq \r(\f(p2,4)＋5)，因为|AB|＝4eq \r(2)，将y＝±2eq \r(2)代入抛物线方程得2px＝8，可得x＝eq \f(4,p)，不妨设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，则r＝|OA|＝eq \r(\f(16,p2)＋8)，所以，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(p2,4)＋5＝\f(16,p2)＋8,p>0))，解得p＝4，因此，抛物线的方程为y2＝8x.答案：C8．解析：由已知得a2＝4，b2＝3，∴a＝2，c＝1，∴F1(－1，0)，F2(1，0)，∵点P在椭圆C上，当△PF1F2的面积最大时，∴点P到x轴距离最大，即P为椭圆的短轴的端点，不妨设P(0，eq \r(3)), △PF1F2周长为l＝2c＋2a＝2＋2×2＝6，面积为S＝eq \r(3)，设内切圆半径为r，则S＝eq \f(1,2)rl，∴r＝eq \f(2S,l)＝eq \f(\r(3),3).答案：B9．解析：双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1，则a2＝9，b2＝16，则a＝3，b＝4，则c2＝a2＋b2＝25，则c＝5，所以双曲线的虚轴长2b＝8，渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(3,4)x，焦点坐标为(0，±5)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3).答案：AB10．解析：对于A，当m＝n0，nn>0时，eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程eq \f(y2,\f(1,n))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；对于D，当m＝0且n>0时，方程y＝eq \f(\r(n),n)或y＝－eq \f(\r(n),n)表示垂直于y轴的两条直线，故D错误．答案：BC11．解析：因为椭圆的短轴长为2eq \r(3)，所以有2b＝2eq \r(3)⇒b＝eq \r(3)⇒a2－c2＝3，而椭圆的离心率为eq \f(1,2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)⇒a＝2c⇒a2＝4c2，所以可得：c2＝1，a2＝4，b2＝3.A：因为a2＝4，b2＝3，所以该椭圆的标准方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，因此本选项正确；B：由2y2－2x2＝1⇒eq \f(y2,\f(1,2))－eq \f(x2,\f(1,2))＝1，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点在横轴上，所以本选项说法不正确；C：因为eq \f(12,4)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2),3)＝1，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))在该椭圆上，因此本选项说法正确；D：直线y＝k(x＋1)恒过点(－1，0)，而eq \f(（－1）2,4)＋eq \f(02,3)0，由韦达定理可得x1＋x2＝4，x1x2＝3，所以，|PQ|＝eq \r(1＋12)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2eq \r(2).(2)假设存在实数a，使以PQ为直径的圆经过坐标原点，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－y－1＝0,x2－2y2＝1))，得(2a2－1)x2－4ax＋3＝0，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a2－1≠0,Δ＝16a2－12（2a2－1）>0))，解得－eq \f(\r(6),2)