湘教版（2019）选择性必修 第一册3.2 双曲线课后测评

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.2 双曲线课后测评，共6页。
1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线B．双曲线的一支
C．直线D．一条射线
2．方程eq \f(x2,cs2)＋eq \f(y2,sin2)＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
3．[2022·湖北孝感高二期末]方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,1－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是 ( )
A．－2＜m＜1B．m＞1
C．m＜－2D．－1＜m＜2
4．已知A(0，－2)，B(0，2)，C(3，2)，动点P满足|PA|＋|AC|＝|PB|＋|BC|，则点P的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．射线D．双曲线的一支
5．已知双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，|PF1|＋|PF2|＝6eq \r(2)，O为坐标原点，M是PF1中点，则|OM|＝( )
A．eq \r(2)B．2eq \r(2)
C．3eq \r(2)D．4eq \r(2)
6．(多选)已知关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(其中m，n为参数)表示曲线C，下列说法正确的是( )
A．若m＝n＞0，则表示圆
B．若mn＞0，则表示椭圆
C．若mn＜0，则表示双曲线
D．若mn＝0，m＋n＞0，则表示两条直线
7．若双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1的一个焦点为F(2，0)，则实数m＝________．
8．以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3, eq \r(10))的双曲线的标准方程为________．
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A(1，－eq \f(4\r(10),3))；
(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2).
[提能力]
10．[2022·湖南雅礼中学高二月考](多选)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，则正确的是( )
A．当m＞0时，点C的轨迹是双曲线
B．当m＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C．当m＝－1时，点C在圆x2＋y2＝25上运动
D．当m＜－1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
11．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，|F1F2|＝10，点M是双曲线左支上的一点，若|OM|＝eq \r(a2＋b2)，4|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的标准方程是( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1B．eq \f(x2,21)－eq \f(y2,4)＝1
C．x2－eq \f(y2,24)＝1D．eq \f(x2,24)－y2＝1
12．F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2的大小为________．
13．已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2，∠F1AF2＝45°，则△F1AF2的面积为________；延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积为________．
14．根据k的变化，讨论方程eq \f(x2,4－k)＋(k－2)y2＝k＋1所表示的曲线的形状．
[培优生]
15．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1的一个焦点为F，双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点，分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则△PFF2周长的最小值为( )
A．5B．5＋eq \r(3)
C．10D．14
课时作业(二十七) 双曲线的标准方程
1．解析：由于|F1F2|＝2＋8＝10，即|PF1|－|PF2|＝|F1F2|，
所以P点轨迹是一条射线．
答案：D
2．解析：因为eq \f(π,2)＜2＜π，所以sin2＞0，cs2＜0.
所以方程eq \f(x2,cs2)＋eq \f(y2,sin2)＝1所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
3．解析：因为方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,1－m)＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(1－m)＞0，
即(m＋2)(m－1)＜0，
解得：－2＜m＜1.
答案：A
4．解析：|PA|＋|AC|＝|PB|＋|BC|，即|PB|－|PA|＝|AC|－|BC|，其中|AC|＝eq \r(32＋42)＝5，|BC|＝3，|AB|＝4，所以|PB|－|PA|＝5－3＝2＜|AB|，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支．
答案：D
5．解析：在双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1中，a＝eq \r(2)，b＝1，c＝eq \r(3)，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2eq \r(2)，又因为|PF1|＋|PF2|＝6eq \r(2)，则|PF2|＝2eq \r(2)，
因为O、M分别为F1F2、PF1的中点，故|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝eq \r(2).
答案：A
6．解析：若m＝n＞0，x2＋y2＝eq \f(1,m)＞0，表示圆，A正确；
若m＜0，n＜0时，mn＞0，不表示椭圆，B错误；
若mn＜0，则表示焦点在x轴或y轴的双曲线，C正确；
mn＝0，m＋n＞0，m＝0，n＞0，或m＞0，n＝0，则x＝±eq \r(\f(1,m))或y＝±eq \r(\f(1,n))，表示两条直线，D正确．
答案：ACD
7．解析：双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1的一个焦点为F(2，0)，
所以m＞0且m＋1＝4，
所以m＝3.
答案：3
8．解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2).
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
答案：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1
9．解析：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)，
把点A的坐标代入，可得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，可得b2＝9，故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
综上，所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
(2)设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16)，
因为双曲线过点(3eq \r(2)，2)，所以eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或－14(舍).
所以双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
10．解析：设C(x，y)(y≠0)，所以eq \f(y,x＋5)·eq \f(y,x－5)＝m⇒eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25m)＝1(y≠0)，
若m＞0，则B正确，A错误；
若m＝－1，轨迹方程为：x2＋y2＝25(y≠0)，C正确；
若m＜－1，轨迹方程为：eq \f(y2,－25m)＋eq \f(x2,25)＝1(y≠0)，表示焦点在y轴上的椭圆(不含左右顶点)，e＝eq \r(1－\f(25,－25m))＝eq \r(1＋\f(1,m))，随着m的增大而减小，D错误．
答案：BC
11．解析：由题意知：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为2c＝10，∴a2＋b2＝c2＝25，
∵|OM|＝eq \r(a2＋b2)＝5＝|OF1|＝|OF2|，∴MF1⊥MF2.
∵4|MF1|＝3|MF2|，不妨设|MF1|＝3k，|MF2|＝4k，
由双曲线的定义可得：|MF2|－|MF1|＝k＝2a，∴|MF1|＝6a，|MF2|＝8a，
由勾股定理可得：|MF1|2＋|MF2|2＝(6a)2＋(8a)2＝100a2＝|F1F2|2＝100，解得：a2＝1，∴b2＝24，双曲线方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
答案：C
12．解析：由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1得：c2＝9＋16＝25，所以4c2＝100.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则有|m－n|＝6，mn＝32，解得：m2＋n2＝100.
在△F1PF2中，因为m2＋n2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△F1PF2为∠F1PF2＝90°的直角三角形，即∠F1PF2＝90°.
答案：90°
13．解析：由双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1可得a＝1，
由双曲线的定义可得：|AF1|－|AF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝4，
所以△F1AF2的面积为eq \f(1,2)·|AF1|·|AF2|·sin45°＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
因为|BF1|＝|BF2|＋2a＝2＋|BF2|，|AB|＝|AF2|＋|BF2|，
所以|BF1|＝|AB|，所以△ABF1是等腰直角三角形，所以|BF1|＝|AB|＝eq \f(\r(2),2)|AF1|＝2eq \r(2)，
所以△F1AB的面积为eq \f(1,2)|BF1|·|AB|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
答案：2eq \r(2) 4
14．解析：由方程k∈R且k≠4，从k的特殊值入手讨论：
(1)当k＝2时，方程化为x＝±eq \r(6)，表示两条平行于y轴的直线；
(2)当k＝－1时，方程化为y＝±eq \f(\r(15),15)x，表示两条相交于原点的直线；
(3)当k≠2且k≠－1时，方程化为eq \f(x2,（4－k）（k＋1）)＋eq \f(y2,\f(k＋1,k－2))＝1.
对两分母的符号再分三小类讨论：
①当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－k）（k＋1）＞0,\f(k＋1,k－2)＜0))，即－1＜k＜2时，方程表示焦点在x轴上且中心在原点的双曲线；
②当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－k）（k＋1）＜0,\f(k＋1,k－2)＞0))，即k＜－1或k＞4时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的双曲线；
③当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－k）（k＋1）＞0,\f(k＋1,k－2)＞0))，即2＜k＜4时，由于eq \f(k＋1,k－2)－(4－k)(k＋1)＝eq \f(（k＋1）（k－3）2,k－2)≥0，
∴当k＝3时，方程表示圆x2＋y2＝4.
而当2＜k＜3或3＜k＜4时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆．
综上，当k＝2时，表示两条平行于y轴的直线；
当k＝－1时，表示两条相交于原点的直线；
当－1＜k＜2时，方程表示焦点在x轴上且中心在原点的双曲线；
当k＜－1或k＞4时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的双曲线；
当k＝3时，方程表示圆x2＋y2＝4；
当2＜k＜3或3＜k＜4时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆．
15．解析：根据椭圆方程，不妨设F(0，4)，根据双曲线方程，可知F1(－3，0)，F2(3，0)，从而可知|FF2|＝5，
由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝4，即|PF2|＝|PF1|＋4，
所以△PFF2周长＝|PF2|＋|PF|＋|FF2|＝|PF1|＋4＋|PF|＋5＝|PF1|＋|PF|＋9，
要使其周长最小，即求|PF1|＋|PF|的最小值，显然当P，F，F1三点共线时，|PF1|＋|PF|有最小值，且最小值是5，
因此，△PFF2周长为5＋9＝14.
答案：D