人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理当堂检测题，共7页。
1．下列说法正确的是( )
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是( )
A．aB．b
C．cD．a或b
3．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，＝c，则eq \(BM,\s\up6(→))可表示为( )
A．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋cB．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cD．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
4.
如图，在四面体OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))可用向量a，b，c表示为( )
A．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)cB．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
C．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)cD．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,2)c
5．(多选)若向量{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．a＋b，a－b，a＋2b
B．a－b，a＋c，b＋c
C．a－b，c，a＋b＋c
D．a－2b，b＋c，a＋c－b
6．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，用a、b、c作为基底向量表示＝________．
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n平行，则x＝______，y＝________．
8.
如图，在单位正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1C1，CC1的中点．设eq \(AB,\s\up6(→))＝i，eq \(AD,\s\up6(→))＝j，＝k，试用向量i，j，k表示eq \(AE,\s\up6(→))和eq \(AF,\s\up6(→)).
[提能力]
9．如图，平行六面体ABCD­A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A．eq \r(55)B．eq \r(65)
C．eq \r(85)D．eq \r(95)
10．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．AC1＝6eq \r(6)
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)
11．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N.设eq \(MN,\s\up6(→))＝xAA1＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(AC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则x＋y＋z的值为________．
12．如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[培优生]
13．在四面体O­ABC中，G是底面△ABC的重心，且eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则lg3|xyz|等于( )
A．－3B．－1
C．1D．3
课时作业(三)
1．解析：对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误．
答案：C
2．解析：由题意和空间向量的共面定理，结合p＋q＝(a＋b)＋(a－b)＝2a，得a与p、q是共面向量，同理b与p、q是共面向量，所以a与b不能与p、q构成空间的一个基底；又c与a和b不共面，所以c与p、q构成空间的一个基底．
答案：C
3．解析：eq \(BM,\s\up6(→))＝＋＋＝c＋b＋eq \f(1,2)(－b－a)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
答案：C
4．解析：因为D是BC的中点，E是AD的中点，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
答案：B
5．解析：对于A选项，若a＋2b＝λ(a＋b)＋μ(a－b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝1,λ－μ＝2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,2),μ＝－\f(1,2)))，故共面；
对于B选项，若b＋c＝λ(a－b)＋μ(a＋c)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝0,－λ＝1,μ＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－1,μ＝1))，故共面；
对于C选项，若a＋b＋c＝λ(a－b)＋μc，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝1,－λ＝1,μ＝1))，
无解，故不共面；
对于D选项，若a＋c－b＝λ(a－2b)＋μ(b＋c)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝1,－2λ＋μ＝－1,μ＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝1,μ＝1))，故共面．
答案：ABD
6.
解析：由图形可知＝eq \(AB,\s\up6(→))－＝eq \(AB,\s\up6(→))－(eq \(AD,\s\up6(→))＋)＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－＝a－b－c.
答案：a－b－c
7．解析：因为m与n平行，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
答案：1 －1
8．解析：因为点E，F分别是棱B1C1，CC1的中点．且eq \(AB,\s\up6(→))＝i，eq \(AD,\s\up6(→))＝j，＝k，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝＋＝＋＋，
＝＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝i＋eq \f(1,2)j＋k；
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)＝i＋j＋eq \f(1,2)k.
9．解析：eq \(AB,\s\up6(→))2＝16，eq \(AD,\s\up6(→))2＝9，eq \(AA′,\s\up6(→))2＝9，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×3×cs90°＝0，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(→))＝4×3×cs60°＝6，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(→))＝3×3×cs60°＝eq \f(9,2).
∵AC′＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))，
∴eq \(AC′,\s\up6(→))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA′,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(→))
＝16＋9＋9＋2×0＋2×6＋2×eq \f(9,2)＝55，
∴|eq \(AC′,\s\up6(→))|＝eq \r(55)，
即AC′的长为eq \r(55).
答案：A
10．解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·eq \(AB,\s\up6(→))＝·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝6×6×cs60°＝18，
(＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2·eq \(AD,\s\up6(→))
＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，
则||＝|＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝6eq \r(6)，所以A正确；
·eq \(DB,\s\up6(→))＝(＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝·eq \(AB,\s\up6(→))－·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＝0，所以B正确；
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.
因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为＝eq \(AD,\s\up6(→))＋－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以||＝eq \r(（\(AD,\s\up6(→))＋AA1－\(AB,\s\up6(→))）2)＝6eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))）2)＝6eq \r(3)，
·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝36，
所以cs〈，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝＝eq \f(36,6\r(2)×6\r(3))＝eq \f(\r(6),6)，所以D不正确．
答案：AB
11．解析：由题意三棱柱ABC­A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，
且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，
＝eq \f(5,12)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∵eq \(MN,\s\up6(→))＝x＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(AC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，
∴x＋y＋z＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＝1.
答案：1
12．解析：(1)证明：设eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC′,\s\up6(→))＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝a·c＝0，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a.
∴eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(A′D,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c＋\f(1,2)b－\f(1,2)a))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0，
∴eq \(CE,\s\up6(→))⊥eq \(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D.
(2)∵eq \(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，∴|eq \(AC′,\s\up6(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|，
∴eq \(AC′,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，
∴cs〈eq \(AC′,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10).
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
13．解析：如图所示：
连接AG，
则eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，
所以x＝y＝z＝eq \f(1,3)，
所以lg3|xyz|＝lg3eq \f(1,27)＝－3.
答案：A