选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题

这是一份选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题，共7页。

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))－－＝( )
A．B．
C．D．
2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋＝( )
A．B．
C．D．
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各组向量与eq \(AC,\s\up6(→))共面的有( )
A．，B．，
C．，D．，
4.
在四面体OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝0，用向量a，b，c表示eq \(MN,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)cB．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)cD．eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,2)c
5．(多选)下列说法错误的是( )
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线
B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线
D．在空间共线的向量在平面内一定共线
6．化简：eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝________．
7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，表示，则＝________．
8．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于M.
(1)化简AA1＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))；
(2)若eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋z，求实数x，y，z的值．
[提能力]
9．在三棱锥S­ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足eq \f(EG,EF)＝eq \f(1,3)，若eq \(SA,\s\up6(→))＝a，eq \(SB,\s\up6(→))＝b，eq \(SC,\s\up6(→))＝c，则eq \(AG,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,6)cB．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,6)c
C．eq \f(1,6)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,2)cD．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,6)b＋eq \f(1,2)c
10．(多选)下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是( )
A．eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PB,\s\up6(→))
B．eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
C．eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
D．eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
11．在三棱锥O­ABC中，E为OA中点，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(EF,\s\up6(→))＝pa＋qb＋rc，则p＋q＋r＝________．
12．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))).
[培优生]
13．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足eq \(DP,\s\up6(→))＝meq \(DA,\s\up6(→))＋neq \(DM,\s\up6(→))＋keq \(DN,\s\up6(→))，其中m、n、k∈R，且m＋n＋k＝1，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是________．
课时作业(一)
1.
解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，－＝＝，－＝＝，
所以，eq \(AB,\s\up6(→))－－＝eq \(AB,\s\up6(→))＋＋＝eq \(AB,\s\up6(→))＋＋＝．
答案：B
2.
解析：连接AC，可得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，又＝，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋＝eq \(AC,\s\up6(→))＋＝．
答案：A
3．解析：
如图，BA1∥CD1，
因为eq \(AC,\s\up6(→))，，共面，所以eq \(AC,\s\up6(→))，，共面，其它几组都不共面．
答案：C
4.
解析：∵eq \(BN,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝0，
∴N为BC中点，连接AN，如图，
∴eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c－2a)，而eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c－eq \f(2,3)a.
答案：B
5．解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
B．在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；
C．在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
D．在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确．
答案：ABC
6．解析：eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).
答案：eq \(AB,\s\up6(→))
7．解析：
如图，连接A1C1.
由题得＝＋＝＋eq \(AC,\s\up6(→))＝＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋．
答案：eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋
8．解析：(1)在底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心；
∴＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝＋eq \f(1,2)(＋)
＝＋eq \f(1,2)
＝＋
＝eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)∵eq \(BM,\s\up6(→))＝＋
＝＋eq \f(1,2)
＝＋eq \f(1,2)(＋)
＝＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝＋eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋，
且eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋z，
∴x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝1.
9．解析：
由题意可得eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(SF,\s\up6(→))－eq \(SE,\s\up6(→)))＝－eq \f(4,3)eq \(SE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(SF,\s\up6(→))＝－eq \f(4,3)eq \(SE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)·eq \f(1,2)(eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→)))＝－eq \f(4,3)·eq \f(1,2)eq \(SA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)(eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,6)c.
答案：B
10．解析：对于A：∵eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OP,\s\up6(→))，
∴eq \f(2,3)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
故eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，故A、B、C共线，故P、A、B、C共面；
或由eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PB,\s\up6(→))得：eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))为共面向量，故P、A、B、C共面；
对于B：eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，故P、A、B、C共面；
对于C：由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，1＋1＋1＝3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面．
对于D：由eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，而－1－1－1＝－3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面．
答案：AB
11.
解析：如图，在三棱锥O­ABC中，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b－a＋eq \f(2,3)(c－b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c，
∴p＋q＋r＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
12．解析：(1)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
eq \(EH,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))，所以E，F，G，H四点共面．
(2)证明：eq \f(1,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)(2eq \(OE,\s\up6(→))＋2eq \(OG,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OG,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)×2×eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→)).
13．解析：
因为点P满足eq \(DP,\s\up6(→))＝meq \(DA,\s\up6(→))＋neq \(DM,\s\up6(→))＋keq \(DN,\s\up6(→))，其中m、n、k∈R，且m＋n＋k＝1，
所以点P，A，M，N四点共面，
又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，
连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，
故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点．
所以所有点P构成的图形的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×sin60°＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)