数学人教A版 (2019)3.2 双曲线同步测试题

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线同步测试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．圆
【答案】C 【解析】设炮弹爆炸点为点P，则|PA|－|PB|＝2×340＝6800)上一点P到左焦点F1的距离为6，点O为坐标原点，点M为PF1的中点，若|OM|＝5，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±4xB．y＝±2x
C．y＝± eq \f(4,3)xD．y＝± eq \f(4,5)x
【答案】B 【解析】如图，若点P在双曲线左支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10，∵2a＝|PF2|－|PF1|＝10－6＝4，∴a＝2，则双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(4,a)x＝±2x；若点P在双曲线右支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10，2a＝|PF1|－|PF2|＝6－10＝－4不成立．故选B.
二、多选题(共2小题)
9．已知双曲线C： eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,4)＝1，则下列说法正确的是( )
A．渐近线方程为y＝± eq \r(2)xB．焦点坐标为(±2 eq \r(3)，0)
C．顶点坐标为(±2 eq \r(2)，0)D．实轴长为2 eq \r(2)
【答案】BC 【解析】对于双曲线C： eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,4)＝1，可知a＝2 eq \r(2)，b＝2，所以c＝2 eq \r(3)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(\r(2),2)x，焦点坐标为(±2 eq \r(3)，0)，顶点坐标为(±2 eq \r(2)，0)，实轴长为4 eq \r(2)，因此A，D错误，B，C正确．故选BC.
10．已知F1，F2分别是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线左支上存在一点P，使PF22＝8a·PF1成立，则此双曲线的离心率e的取值可能是( )
A． eq \r(2)B．2C． eq \r(5)D．5
【答案】ABC 【解析】∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝－2a，∴|PF2|＝|PF1|＋2a①，又∵|PF22|＝8a·|PF1|②，∴由①②可得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，∴e＝ eq \f(c,a)≤3③，又∵e>1④，由③④可得10)的离心率为2，则m＝________．
【答案】3 【解析】双曲线x2－ eq \f(y2,m)＝1(m>0)的离心率为2，则a2＝1，b2＝m，所以可得c2＝a2＋b2＝1＋m，所以可得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(1＋m),1)＝2，解得m＝3.
13．设双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.
【答案】±1 【解析】不妨设点B在第一象限，则A1(－a，0)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，A2(a，0)，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，所以 eq \(A1B,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋a，\f(b2,a)))， eq \(A2C,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a，－\f(b2,a))).因为A1B⊥A2C，所以 eq \(A1B,\s\up6(→))· eq \(A2C,\s\up6(→))＝0，所以c2－a2－ eq \f(b4,a2)＝0，又因为c2＝a2＋b2，所以整理得 eq \f(b2,a2)＝1，所以该双曲线渐近线的斜率k＝± eq \f(b,a)＝±1.
14．设直线y＝x与双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·k2＝________．
【答案】3 【解析】∵C的离心率为2＝ eq \f(c,a)，且c2＝a2＋b2，∴c＝2a，b＝ eq \r(3)a，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(6),2)a，,y＝\f(\r(6),2)a))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(6),2)a，,y＝－\f(\r(6),2)a，))不妨取A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a，\f(\r(6),2)a))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),2)a，－\f(\r(6),2)a))，设P(m，n)，则 eq \f(m2,a2)－ eq \f(n2,b2)＝1，即3m2－n2＝3a2，∴k1·k2＝ eq \f(n－\f(\r(6),2)a,m－\f(\r(6),2)a)· eq \f(n＋\f(\r(6),2)a,m＋\f(\r(6),2)a)＝ eq \f(n2－\f(3,2)a2,m2－\f(3,2)a2)＝ eq \f(2n2－3a2,2m2－3a2)＝ eq \f(2n2－(3m2－n2),2m2－(3m2－n2))＝ eq \f(3(n2－m2),n2－m2)＝3.
四、解答题(共2小题)
15．已知点(3，1)在双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上．
(1)求实数a的值；
(2)求双曲线C上的动点P到定点A(8，0)的距离的最小值．
解：(1)把点(3，1)代入双曲线C：x2－y2＝a2中，有9－1＝a2，解得a＝±2 eq \r(2)，
∵a>0，∴a＝2 eq \r(2).
(2)设点P的坐标为(m，n)，则m2－n2＝8，且m≤－2 eq \r(2)或m≥2 eq \r(2)，
|PA|2＝(m－8)2＋n2＝(m－8)2＋m2－8＝2m2－16m＋56＝2(m－4)2＋24，
当m＝4时，|PA|2取得最小值为24，
∴|PA|的最小值为2 eq \r(6).
16．若直线l：y＝ eq \f(\r(3)x,3)－ eq \f(2\r(3),3)过双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的M，N两点，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．
解：(1)直线l：y＝ eq \f(\r(3)x,3)－ eq \f(2\r(3),3)过x轴上一点(2，0)，
由题意可得c＝2，即a2＋b2＝4.
双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x，
由两直线平行的条件可得 eq \f(b,a)＝ eq \f(\r(3),3)，
解得a＝ eq \r(3)，b＝1，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)设直线y＝kx＋1(k≠0)，
代入 eq \f(x2,3)－y2＝1可得(1－3k2)x2－6kx－6＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x1＋x2＝ eq \f(6k,1－3k2)，x1x2＝ eq \f(6,3k2－1)，
MN中点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k,1－3k2)，\f(1,1－3k2)))，
可得MN的垂直平分线方程为
y－ eq \f(1,1－3k2)＝－ eq \f(1,k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3k,1－3k2))).
令x＝0，可得y＝ eq \f(4,1－3k2).
由Δ＝36k2＋24(1－3k2)>0，得3k2