1．直线l过点( eq \r(2)，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C 【解析】点( eq \r(2)，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样的直线只有3条．
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为( )
A． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,6)＝1 B． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1
C． eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,3)＝1 D． eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,4)＝1
【答案】B 【解析】由c＝3，设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,9－a2)＝1，kAB＝ eq \f(0＋15,3＋12)＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \f(x12,a2)－ eq \f(y12,9－a2)＝1①， eq \f(x22,a2)－ eq \f(y22,9－a2)＝1②，由①－②，得 eq \f((x1＋x2)(x1－x2),a2)－ eq \f((y1＋y2)(y1－y2),9－a2)＝0.又因为N(－12，－15)为AB中点，所以x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.所以 eq \f(－24(x1－x2),a2)＝ eq \f(－30(y1－y2),9－a2).所以 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(4(9－a2),5a2)＝1.所以a2＝4.所以双曲线方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1.
3．若直线y＝kx与双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1相交，则k的取值范围为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))B．(－1，1)
C．(－2，2) D．(－ eq \f(\r(2),3)， eq \f(\r(2),3))
【答案】A 【解析】双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(2,3)x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3))).
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为( )
A． eq \r(2)B． eq \r(3)C．2 D．3
【答案】B 【解析】由题意不妨设l：x＝－c，则|AB|＝ eq \f(2b2,a)，又因为|AB|＝2×2a，故b2＝2a2，所以e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(1＋2)＝ eq \r(3).
5．已知直线l：y＝ eq \f(\r(3),3)x与双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支交于点M，OM(O是坐标原点)的垂直平分线经过C的右焦点，则双曲线C的离心率为( )
A． eq \f(\r(7)＋1,2)B． eq \r(3)＋1
C． eq \f(\r(7)＋1,3)D． eq \f(\r(3)＋1,2)
【答案】C 【解析】如图，依题意可得∠MOF＝∠OMF＝30°，OF＝MF＝c，所以M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)c，\f(\r(3),2)c))，所以 eq \f(9c2,4a2)－ eq \f(3c2,4b2)＝1，结合c2＝a2＋b2，可得9c4－16a2c2＋4a4＝0，所以9e4－16e2＋4＝0，解得e2＝ eq \f(8＋2\r(7),9)，则e＝ eq \f(\r(7)＋1,3).
6．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为( )
A． eq \f(3,2)B． eq \f(4,3)C． eq \f(5,3)D．2
【答案】C 【解析】由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝ eq \f(8,3)a，|PF2|＝ eq \f(2,3)a，在△PF1F2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2＝ eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝ eq \f(17,8)－ eq \f(9,8)e2，要求e的最大值，即求cs ∠F1PF2的最小值，因为cs ∠F1PF2≥－1，所以cs ∠F1PF2＝ eq \f(17,8)－ eq \f(9,8)e2≥－1，解得e≤ eq \f(5,3)，即e的最大值为 eq \f(5,3).
7．(多选)已知椭圆C1： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且 eq \(MF1,\s\up6(→))· eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝ eq \f(π,3)，则下列结论正确的是( )
A． eq \f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝ eq \f(\r(3),2)
C．e12＋e22＝ eq \f(5,2)D．e22－e12＝1
【答案】BD 【解析】因为 eq \(MF1,\s\up6(→))· eq \(MF2,\s\up6(→))＝0且| eq \(MF1,\s\up6(→))|＝| eq \(MF2,\s\up6(→))|，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝ eq \f(\r(2),2)a，所以e1＝ eq \f(\r(2),2).在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝ eq \f(π,3)，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－xy＝4c2，,x＋y＝2\r(2)c，,|x－y|＝2a′，))故xy＝ eq \f(4,3)c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝ eq \f(8c2,3)，所以(a′)2＝ eq \f(2c2,3)，即e2＝ eq \f(\r(6),2)，故 eq \f(e2,e1)＝ eq \r(3)，e1e2＝ eq \f(\r(3),2)，e12＋e22＝2，e22－e12＝1.故选BD.
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－ eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
【答案】±1 【解析】由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m).又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.
9．已知F是双曲线C：x2－ eq \f(y2,8)＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6 eq \r(6))，当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
【答案】12 eq \r(6) 【解析】由已知a＝1，b＝2 eq \r(2)，c＝3，所以F(3，0)，F′(－3，0).又因为A(0，6 eq \r(6))，所以|AF|＝ eq \r(32＋(6\r(6))2)＝15，△APF周长l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.又因为|PF|－|PF′|＝2，所以|PF|＝|PF′|＋2，所以l＝|PA|＋|PF′|＋2＋15≥|AF′|＋17＝32，当且仅当A，P，F′三点共线时，△APF周长最小，如图所示．设P(x，y)，直线AF′的方程为 eq \f(x,－3)＋ eq \f(y,6\r(6))＝1，联立得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,－3)＋\f(y,6\r(6))＝1，,x2－\f(y2,8)＝1，))消去x得 eq \r(6)y2＋36y－96 eq \r(6)＝0，解得y＝－8 eq \r(6)(舍去)或y＝2 eq \r(6)，则P(x，2 eq \r(6))，所以S△APF＝S△AF′F－S△PF′F＝ eq \f(1,2)×6×6 eq \r(6)－ eq \f(1,2)×6×2 eq \r(6)＝12 eq \r(6).
10．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3，2 eq \r(6)).
(1)求双曲线方程与其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的取值．
解：(1)由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝4，,\f(9,a2)－\f(24,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3.))
∴双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1，其渐近线方程为y＝± eq \r(3)x.
(2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2－\f(y2,3)＝1，))得(3－k2)x2－4kx－7＝0，
若3－k2≠0，由题意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，
∴k2＝7，∴k＝± eq \r(7)；
若3－k2＝0，即k＝± eq \r(3)，
则直线l与双曲线C的渐近线y＝± eq \r(3)x平行，
此时直线l与双曲线C只有一个公共点．
∴k＝± eq \r(7)或k＝± eq \r(3).
B级——能力提升练
11．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若 eq \(BA,\s\up6(→))＝2 eq \(AF,\s\up6(→))，且| eq \(BF,\s\up6(→))|＝4，则双曲线C的方程为( )
A． eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,5)＝1 B． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,12)＝1
C． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,4)＝1 D． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,6)＝1
【答案】D 【解析】不妨设B(0，b)，由 eq \(BA,\s\up6(→))＝2 eq \(AF,\s\up6(→))，F(c，0)，可得A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，代入双曲线C的方程可得 eq \f(4,9)× eq \f(c2,a2)－ eq \f(1,9)＝1，所以 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(3,2)①.又因为| eq \(BF,\s\up6(→))|＝ eq \r(b2＋c2)＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16②.由①②可得a2＝4，b2＝6，所以双曲线C的方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,6)＝1.
12．(多选)若双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是( )
A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4
B．C的离心率为 eq \f(5,4)
C．C上的点到点F距离的最小值为2
D．过点F的最短的弦长为 eq \f(32,3)
【答案】AC 【解析】由题意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦点为F(5，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \f(4,3)x，对于A，由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(±\f(4,3)×5－0)),\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(4,3)))\s\up12(2)))＝4，故A正确；对于B，因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(5,3)，故B错误；对于C，当双曲线C上的点为其右顶点(3，0)时，此时双曲线C上的点到F的距离最小为2，故C正确；对于D，过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(－3，0)，B(3，0)，此时过点F的最短弦为AB＝6，故D错误．故选AC.
13．已知双曲线C的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,9)＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为________．
【答案】9 【解析】如图，设AF＝m，BF＝n，可得m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得m2＋n2－2mn＝4a2，可得 eq \f(1,2)mn＝c2－a2＝b2＝9.
14．已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的标准方程为________．
【答案】 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1 【解析】设双曲线E的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x12,a2)－\f(y12,b2)＝1，,\f(x22,a2)－\f(y22,b2)＝1，))两式作差得 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))＝ eq \f(－12b2,－15a2)＝ eq \f(4b2,5a2).又因为直线AB的斜率是 eq \f(－15－0,－12－3)＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1.
15．已知双曲线C： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值．
解：(1)由题可设所求双曲线的方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0).
①当λ＞0时，方程为 eq \f(x2,4λ)－ eq \f(y2,3λ)＝1，
令4λ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2))) eq \s\up12(2)得λ＝ eq \f(9,4)，即双曲线方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(4y2,27)＝1；
②当λ＜0时，方程为 eq \f(y2,－3λ)－ eq \f(x2,－4λ)＝1，
令－3λ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2))) eq \s\up12(2)得λ＝－3，
即双曲线方程为 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,12)＝1.
所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,\f(27,4))＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,12)＝1.
(2)设P(x0，y0)(x0≥2)，满足 eq \f(x02,4)－ eq \f(y02,3)＝1，
|PA|＝ eq \r((x0－4)2＋y02)＝ eq \r((x0－4)2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x02,4)－1)))＝ eq \r(\f(7,4)x02－8x0＋13)＝ eq \r(\f(7,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(16,7)))\s\up12(2)＋\f(27,7)).
则当x0＝ eq \f(16,7)时，|PA|有最小值，最小值为 eq \f(3\r(21),7).