2020-2021学年3.2 双曲线练习

这是一份2020-2021学年3.2 双曲线练习，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.2.4　双曲线专项训练一、单选题(共8小题)1．已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是(　　)A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．圆【答案】C【解析】设炮弹爆炸点为点P，则|PA|－|PB|＝2×340＝680＜800，∴点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．2．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3)C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3)【答案】D【解析】由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线右支，得c＝5,2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，故动点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．故选D．3．“m＜2”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当＋＝1为双曲线时，(m＋1)(m－2)＜0，∴－1＜m＜2，由(－1,2)(－∞，2)，可知选B．4．已知P是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左支上的一点，C的左、右焦点分别为F1，F2，且|PF2|＝18，C的实轴长为12，则|PF1|＝(　　)A．6 B．8C．10 D．12【答案】A【解析】因为P在双曲线C：－＝1的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝12，又因为|PF2|＝18，所以|PF1|＝18－12＝6．故选A．5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x垂直，则双曲线C的离心率为(　　)A． B．2C． D．或【答案】C【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x垂直，所以－＝－，可得＝，所以＝，解得e＝＝．故选C．6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20米，上底直径CD＝20米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　)A．10米 B．20米C．10米 D．10米【答案】B【解析】建立如图的坐标系，由题意可知D(10，20)，B(10，－60)，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴解得a2＝100，b2＝400，|EF|＝2a＝20．故选B．7．如果双曲线－＝1的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线C：－＝1(b＞0)，则该黄金双曲线C的虚轴长为(　　)A．2 B．4C． D．2【答案】D【解析】由题意可得＝＝1＋＝2，解得b2＝2，即b＝，故黄金双曲线C的虚轴长为2b＝2．故选D．8．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a＞0)上一点P到左焦点F1的距离为6，点O为坐标原点，点M为PF1的中点，若|OM|＝5，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．y＝±4x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x【答案】B【解析】如图，若点P在双曲线左支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10，∵2a＝|PF2|－|PF1|＝10－6＝4，∴a＝2，则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x；若点P在双曲线右支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10,2a＝|PF1|－|PF2|＝6－10＝－4不成立．故选B．二、多选题(共2小题)9．已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是(　　)A．渐近线方程为y＝±x B．焦点坐标为(±2，0)C．顶点坐标为(±2，0) D．实轴长为2【答案】BC【解析】对于双曲线C：－＝1，可知a＝2，b＝2，所以c＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，焦点坐标为(±2，0)，顶点坐标为(±2，0)，实轴长为4，因此A，D错误，B，C正确．故选BC．10．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线左支上存在一点P，使PF＝8a·PF1成立，则此双曲线的离心率e的取值可能是(　　)A． B．2C． D．5【答案】ABC【解析】∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝－2a，∴|PF2|＝|PF1|＋2a①，又∵|PF|＝8a·|PF1|②，∴由①②可得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，∴e＝≤3③，又∵e＞1④，由③④可得1＜e≤3．故选ABC．三、填空题(共4小题)11．若焦点在x轴上的双曲线C：－＝1的焦距为4，则m的值为________．【答案】12【解析】由题意可得c2＝(2)2＝16＋m，∴m＝12．12．双曲线x2－＝1(m＞0)的离心率为2，则m＝________．【答案】3【解析】双曲线x2－＝1(m＞0)的离心率为2，则a2＝1，b2＝m，所以可得c2＝a2＋b2＝1＋m，所以可得e＝＝＝2，解得m＝3．13．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．【答案】±1【解析】不妨设点B在第一象限，则A1(－a,0)，B，A2(a,0)，C，所以＝，＝．因为A1B⊥A2C，所以·＝0，所以c2－a2－＝0，又因为c2＝a2＋b2，所以整理得＝1，所以该双曲线渐近线的斜率k＝±＝±1．14．设直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·k2＝________．【答案】3【解析】∵C的离心率为2＝，且c2＝a2＋b2，∴c＝2a，b＝a，联立解得或不妨取A，B，设P(m，n)，则－＝1，即3m2－n2＝3a2，∴k1·k2＝·＝＝＝＝＝3．四、解答题(共2小题)15．已知点(3,1)在双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上．(1)求实数a的值；(2)求双曲线C上的动点P到定点A(8,0)的距离的最小值．解：(1)把点(3,1)代入双曲线C：x2－y2＝a2中，有9－1＝a2，解得a＝±2，∵a＞0，∴a＝2．(2)设点P的坐标为(m，n)，则m2－n2＝8，且m≤－2或m≥2，|PA|2＝(m－8)2＋n2＝(m－8)2＋m2－8＝2m2－16m＋56＝2(m－4)2＋24，当m＝4时，|PA|2取得最小值为24，∴|PA|的最小值为2．16．若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．解：(1)直线l：y＝－过x轴上一点(2,0)，由题意可得c＝2，即a2＋b2＝4．双曲线的渐近线方程为y＝±x，由两直线平行的条件可得＝，解得a＝，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．(2)设直线y＝kx＋1(k≠0)，代入－y2＝1可得(1－3k2)x2－6kx－6＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝，MN中点为，可得MN的垂直平分线方程为y－＝－．令x＝0，可得y＝．由Δ＝36k2＋24(1－3k2)＞0，得3k2＜2．又因为＜0，得3k2＜1．综上可得0＜3k2＜1，即有的范围是(4，＋∞)，可得直线m与y轴上的截距的取值范围为(4，＋∞)．