高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精练，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知椭圆一个焦点(2，0)，离心率为 eq \f(1,2)，则椭圆的标准方程( )
A． eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1 B．x2＋ eq \f(y2,4)＝1
C． eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1
【答案】D 【解析】因为椭圆一个焦点(2，0)，所以椭圆的的焦点在横轴上，且c＝2，又因为该椭圆的离心率为 eq \f(1,2)，所以有 eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2)⇒a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，因此椭圆的方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1.故选D.
2．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2 eq \r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A． eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,15)＝1 B． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,16)＝1
C． eq \f(x2,30)＋ eq \f(y2,10)＝1 D． eq \f(x2,45)＋ eq \f(y2,25)＝1
【答案】B 【解析】由题意可得c＝2 eq \r(5)，设右焦点为F′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，由∠PFF′＋∠OF′P＋∠FPO＋∠OPF′＝180°知∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝ eq \r(FF′2－PF2)＝ eq \r((4\r(5))2－42)＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－20＝16，所以椭圆的方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,16)＝1.故选B.
3．已知方程 eq \f(x2,6＋m)＋ eq \f(y2,4－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－6，－1) B．(－6，－1)∪(－1，4)
C．(－1，4) D．(－∞，－6)∪(4，＋∞)
【答案】A 【解析】因为方程表示椭圆，且焦点在y轴上，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6＋m>0，,4－m>0，,6＋mb>0)的一条弦所在的直线方程是2x＋y－9＝0，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆C的离心率是( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(\r(2),2)C． eq \f(\r(3),3)D． eq \f(\r(3),2)
【答案】B 【解析】设交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x12,a2)＋\f(y12,b2)＝1，,\f(x22,a2)＋\f(y22,b2)＝1，))∴两式作差得 eq \f((x1＋x2)(x1－x2),a2)＋ eq \f((y1＋y2)(y1－y2),b2)＝0，而M(4，1)是交点的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，结合已知直线方程，有 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(4b2,a2)＝－2，又∵b2＝a2－c2，∴1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a))) eq \s\up12(2)＝1－e2＝ eq \f(1,2)，可得e＝ eq \f(\r(2),2).故选B.
7．已知| eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))，则动点P的轨迹方程是( )
A． eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋ eq \f(y2,4)＝1
C． eq \f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋ eq \f(y2,9)＝1
【答案】A 【解析】设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0，0)，由已知得(x，y)＝ eq \f(1,3)(0，y0)＋ eq \f(2,3)(x0，0)，即x＝ eq \f(2,3)x0，y＝ eq \f(1,3)y0，所以x0＝ eq \f(3,2)x，y0＝3y.因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，所以x02＋y02＝9，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x)) eq \s\up12(2)＋(3y)2＝9，整理得动点P的轨迹方程是 eq \f(x2,4)＋y2＝1.故选A.
8．已知点P在椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1上运动，点Q在圆(x－1)2＋y2＝ eq \f(5,8)上运动，则|PQ|的最小值为
( )
A．2 B． eq \f(\r(10),2)
C．2－ eq \f(\r(10),4)D． eq \f(\r(10),4)
【答案】D 【解析】设点P(x，y)，则 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1，得y2＝3－ eq \f(x2,3)，圆(x－1)2＋y2＝ eq \f(5,8)的圆心A(1，0)，半径为 eq \f(\r(10),4)，则|AP|2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋3－ eq \f(x2,3)＝ eq \f(2,3)x2－2x＋4，x∈[－3，3]，令h(x)＝ eq \f(2,3)x2－2x＋4，x∈[－3，3]，对称轴为x＝ eq \f(3,2)，所以当x＝ eq \f(3,2)时，h(x)取得最小值h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)－2× eq \f(3,2)＋4＝ eq \f(5,2)，所以|AP|的最小值为 eq \f(\r(10),2)，所以|PQ|的最小值为 eq \f(\r(10),2)－ eq \f(\r(10),4)＝ eq \f(\r(10),4).故选D.
二、多选题(共2小题)
9．已知椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1，1)，则下列结论正确的有( )
A．△PF1F2的周长为8
B．△PF1F2的最大面积为2 eq \r(2)
C．存在点P使得 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0
D．|PM|＋|PF1|的最大值为5
【答案】AB 【解析】对于A，由椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1，可得△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×3＋2 eq \r(9－8)＝8，故A正确；对于B，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，且最大面积为S＝ eq \f(1,2)×2×2 eq \r(2)＝2 eq \r(2)，故B正确；对于C，当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2为最大，此时cs ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝ eq \f(9＋9－4,2×3×3)＝ eq \f(7,9)>0，即∠F1PF2为锐角，所以不存在点P使得 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，故C错误；对于D，由椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1，所以F2(1，0)，又因为M(1，1)，所以|MF2|＝ eq \r((1－1)2＋(0－1)2)＝1，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋6－|PF2|＝6＋|PM|－|PF2|≤6＋|MF2|＝7，故D错误．故选AB.
10．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是( )
A． eq \f(1,5)B． eq \f(1,4)C． eq \f(1,3)D． eq \f(2,3)
【答案】CD 【解析】由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.又因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝ eq \f(4,3)a，|PF2|＝ eq \f(2,3)a.①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，点P在过点A且垂直于x轴的直线l上，当△F1F2P的外接圆面积达最小时，PA长等于半焦距，则该椭圆的离心率为________．
【答案】 eq \f(\r(2),2) 【解析】如图，设△F1F2P的外接圆的圆心为O′，则O′在F1F2的垂直平分线上，又∵点P在x＝a上，O′在y轴上，∴|O′P|≥a，即当△F1F2P的外接圆的半径为|O′P|＝a时，面积最小，由题意可知|PA|＝|O′O|＝c，|O′P|＝|O′F2|＝a，在Rt△O′OF2中，c2＋c2＝a2，即e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),2).
14．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝81和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是________．
【答案】 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,32)＝1 【解析】由题可得圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1＝9，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2＝3，设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1内切，则由题可知圆M在圆C1内部，所以|MC1|＝9－r.因为动圆M与圆C2外切，所以|MC2|＝3＋r，则|MC1|＋|MC2|＝12>|C1C2|，所以圆心M点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，即a＝6，c＝2，则b2＝a2－c2＝32，所以圆心M点的轨迹方程是 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,32)＝1.
四、解答题(共2小题)
15．已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(\r(3),3)，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为 eq \r(5).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆的左焦点且斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|.
解：(1)由题意得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),3)，即a＝ eq \r(3)c，
短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为 eq \r(5)，
即b2＋a2＝( eq \r(5))2＝5，而a2＝b2＋c2，
所以a2＝3，b2＝2.所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1.
(2)由(1)得左焦点(－1，0)，直线l的方程：y＝2(x＋1)，
联立直线l与椭圆的方程，消去y整理得7x2＋12x＋3＝0，
设A(x，y)，B(x′，y′)，所以x＋x′＝－ eq \f(12,7)，xx′＝ eq \f(3,7).
所以|AB|＝ eq \r(1＋k2) eq \r((x＋x′)2－4xx′)＝ eq \r(1＋4)× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,7)))\s\up12(2)－4×\f(3,7))＝ eq \f(10\r(3),7).
16．椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点．
(1)当P为椭圆C的上顶点时，求∠F1PF2；
(2)若F1P⊥F2P，求满足条件的点P的个数(直接写答案)；
(3)直线y＝k(x－1)与椭圆C交于点A，B，若|AB|＝ eq \f(16,5)，求k.
解：(1)因为椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(3))).
所以|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2，所以∠F1PF2＝60°.
(2)若F1P⊥F2P，满足条件的点P的个数为0.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝k(x－1)))可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
所以x1＋x2＝ eq \f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝ eq \f(4k2－12,4k2＋3).
所以|AB|＝ eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝ eq \r((1＋k2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2,4k2＋3)))\s\up12(2)－\f(16k2－48,4k2＋3))))＝ eq \f(12(k2＋1),4k2＋3)＝ eq \f(16,5)，
解得k＝± eq \r(3).