新教材2024版高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册

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第五章　三角函数5.1　任意角和弧度制5.1.1　任意角| 自 学 导 引 | 　　　　任意角的概念1．角的概念角可以看成平面内____________绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形．一条射线　旋转　2．角的表示符号：∠AOB．图形：顶点：用O表示．始边：用OA表示，用语言可表示为__________．终边：用OB表示，用语言可表示为__________．起始位置　终止位置　3．角的分类逆时针　顺时针　没有　【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)经过1小时，时针转过30°． (　　)(2)终边与始边重合的角是零角． (　　)(3)小于90°的角是锐角． (　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)×【解析】(1)因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．(2)终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．(3)锐角是指大于0°且小于90°的角．　　　　象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个________．第几象限角　象限　锐角是属于第几象限角？钝角又是属于第几象限角？【提示】锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．【预习自测】　　　　终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_____________，k∈Z}，即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．α＋k·360°　【预习自测】与－457°角的终边相同的角的集合是 (　　)A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．| 课 堂 互 动 | 题型1　与任意角有关的概念辨析　　　　下列命题正确的是 (　　)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角【答案】C【解析】终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，故C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．故选C．关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．1．(1)(多选)下列说法，不正确的是 (　　)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 (　　)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】(1)ACD　(2)B题型2　终边相同的角的表示及应用　　　　写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．所以S中适合－360°≤β＜720°的元素是45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°．写出终边相同的角的集合的关键是找到0°～360°范围内，终边落在已知直线的角，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．2．写出终边落在x轴上的角的集合S．解：终边落在x轴上的角α的集合S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．题型3　象限角和区域角的表示　　　　(1)－2 023°是第________象限角．(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)二【解析】－2 023°＝－6×360°＋137°，137°是第二象限角，所以－2 023°为第二象限角．(2)解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°．第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．3．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围是150° ≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．③由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．【答案】B| 素 养 达 成 | 1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角(体现了逻辑推理核心素养)．2．“锐角”“0°～90°的角”“小于90°的角”“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°＜α＜90°；0°～90°的角是0°≤α≤90°；小于90°的角为α＜90°；第一象限的角是{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．3．关于终边相同角的认识(体现了数学运算核心素养)．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．1．(题型1，4)下列说法正确的是 (　　)A．三角形的内角一定是第一或第二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．两个相差180°的整数倍的角是终边相同的角D．钟表的时针旋转而成的角是负角【答案】D【解析】A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．2．(题型2)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是 (　　)A．α＋β＝90°B．α＋β＝180°C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)D．α＋β＝k·360°(k∈Z)【答案】B3．(题型2)角－870°的终边所在的象限是 (　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限．故选C．4．(题型2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．【答案】{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}【解析】由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．5．(题型3)已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤ k·360°＋300°，k∈Z}．