数学九年级下册26.1.1 反比例函数优秀课时练习

这是一份数学九年级下册26.1.1 反比例函数优秀课时练习，文件包含专题262反比例函数的图象与性质二举一反三人教版原卷版docx、专题262反比例函数的图象与性质二举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11333" 【题型1 反比例函数图象的对称性】 PAGEREF _Tc11333 \h 1
\l "_Tc28605" 【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】 PAGEREF _Tc28605 \h 6
\l "_Tc1991" 【题型3 两种函数图象的共存问题】 PAGEREF _Tc1991 \h 8
\l "_Tc11269" 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 PAGEREF _Tc11269 \h 11
\l "_Tc32549" 【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】 PAGEREF _Tc32549 \h 18
\l "_Tc30566" 【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】 PAGEREF _Tc30566 \h 24
\l "_Tc26162" 【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】 PAGEREF _Tc26162 \h 32
\l "_Tc19921" 【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 PAGEREF _Tc19921 \h 42
\l "_Tc2780" 【题型9 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc2780 \h 50
\l "_Tc2103" 【题型10 反比例函数中的规律问题】 PAGEREF _Tc2103 \h 62
【知识点 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【题型1 反比例函数图象的对称性】
【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．

【答案】1
【分析】设反比例函数解析式y=kx，由题意可得：P点坐标为：(1,1)，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式y=kx，
由题意可得：P点坐标为：(1,1)，
故图中阴影部分的面积为：1×1=1．
故答案为：1．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．
【答案】y=−43x
【分析】首先根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，即可求得圆的半径，再根据两点间距离公式，可得a2=4，据此即可求解．
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，
解得：r=4．
∵点A3a,−a是反比例函y=kx的图象与⊙O的一个交点．
∴−3a2=k且−3a2+−a2=r，
∴a2=4．
∴k=−3×4=−43，
则反比例函数的解析式是：y=−43x．
故答案为：y=−43x．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，熟练掌握和运用反比例函数图象的性质是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk≠0经过点A1,2，B2,m．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析
【分析】将点A代入y=kxk≠0中求出k，再将点B代入y=2x中，求出点B坐标，求出OA，OB的长，根据对称性得到OA=OB=OC=OD，即可证明结论．
【详解】解：将A1,2代入y=kxk≠0中，得：
k=2，
∴y=2x，将B2,m代入y=2x中，
∴m=22=1，即B2,1，
∴OA=12+22=5，OB=12+22=5，
∴OA=OB，
由反比例函数对称性可得：OA=OC，OB=OD，
即OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出OA和OB的长，熟练运用矩形的判定定理．
【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．
【答案】 6 92
【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32，
由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S阴影=6．设点C（m，0）m＞0．则P（m，am），A（m，bm），B（bma,am），即可求得AP＝3m,BP=3ma，利用三角形面积公式得到12AP·BP=12×3m×3ma=3，，解得a＝1．5，进一步求得b=92．
【详解】
连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，
设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，am），B（m，bm）
∴OC=m，PC=am，BC=bm
∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b
∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32
∵P、Q关于原点成中心对称，
∴OP=OQ
∴S△BPO＝S△BQO
∴S△BPQ＝2S△BOP＝3
同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3
所以S阴影＝S△POP+S△POA=3+3=6
设点C（m，0）m＞0．
则P（m，am），A（m，bm），B（bma，am），
∴AP＝bm−am=3m，BP=bma−m=b−ama=3ma，
∵S△APB＝3，
∴12AP·BP=12×3m×3ma=3，
∴a＝32，
∵b−a＝3，∴b＝92，
故答案为：6，92．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】
【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1）xm2−5的图象在第一、三象限，求m的值．
【答案】2
【分析】根据反比例函数的定义可知m2﹣5＝﹣1，又根据图象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范围．
【详解】解：∵y=2m+1xm2−5是反比例函数
∴m2﹣5＝﹣1，
解得：m＝2 或m＝﹣2，
∵反比例函数y=2m+1xm2−5的图象在第一、三象限，
又 2m+1＞0，解得：m＞−12，
∴m＝2．
【点睛】本题考查反比例函数的定义与图象性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函数的定义以及图象的性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A−3,8．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x取何值时，y=23．
【答案】(1)y=−24x
(2)x=−36
【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：y=kxk≠0，将点A代入表达式即可求解；
（2）将y=23代入（1）所求表达式即可求解；
【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：y=kxk≠0；
将A−3,8代入y=kx得，
8=k−3，解得k=−24：
∴y=−24x．
（2）将y=23代入y=−24x中，
23=−24x，解得：x=−36．
【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图象在第二、四象限，则m的值是 ．
【答案】−1
【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可．
【详解】∵是反比例函数，
∴m2-2=-1，
解得m=1或-1，
∵图象在第二、四象限，
∴2m-1＜0，
解得m＜0.5，
∴m=-1，
故答案为-1．
【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝kx（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0．
【变式2-3】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1=(m+1)x3−m2的图象如图所示．
（1）求m的值；
（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是 ；
（3）当直线y2＝﹣x与双曲线y1=(m+1)x3−m2交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？
【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1
【分析】（1）根据反比例函数的定义以及性质，即可得到m的值；
（2）直接根据反比例函数的图象进行解答即可．
（3）解析式联立求得A、B的坐标，然后根据A、B的坐标，然后观察函数图象求解．
【详解】解：（1）反比函数y1=(m+1)x3−m2在二四象限，
∴m+10)图像向下运动而增大，
当S△MAE=S△ACE时，12m2m+8−116m+2=6，即m2−7m−8=0，根据十字相乘法对m2−7m−8因式分解得到m−8m+1=0，
∵m>0，1>0
∴m+1>0，
∴根据两个数（式）相乘结果为0，若其中一个不等于0，则另一个数（式）必定为0，则m−8=0，解得m=8；
∴M8,2，
∴若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为m>8；
②若点M在直线DE左侧，ℎ随着点M沿着y=16x(x>0)图像向上运动而增大，
当S△MAE=S△ACE时，121−m2m+816m+2=6，即m2+5m−8=0，配方得到m2+5m−8=m+522−574，则m+522=574，直接开平方得m=−52−572或m=−52+572，
∵m>0，
∴m=−52−572舍弃，取m=−52+572
∴若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为02）；②图见解析，y=4x；③AB；④是为定值，定值为−4
【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到2×4+b=4b，进行计算即可得到b的值；
（2）①根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点F的坐标，再用待定系数法求出直线EF的解析式，令直线EF与x轴交于点G，当y=0时，求出点G的坐标，最后根据S△EOF=S△FOG−S△EOG进行计算即可；
（3）①根据“美好点”的定义可得2x+y=xy，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由y=4x平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将y=4x−2+2代入2−x⋅y−2进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6，
∴点C2，3不是“美好点”，
∵点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，
∴2×4+b=4b，
解得：b=4，
故答案为：不是，4；
（2）①∵ Em，6m>0是“美好点”，
∴2×m+6=6m，
解得：m=3，
∴E3，6，
将E3，6代入双曲线y=kx，
得k=18，
故答案为：18；
②∵ F2，n在双曲线y=kx上，
∴n=182=9，
∴F2，9，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
∴2a+b=93a+b=6，
解得a=−3b=15，
∴直线EF的解析式为：y=−3x+15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y=0时，−3x+15=0，
解得：x=5，
∴G5，0，
画出图如图所示：

∴S△EOF=S△FOG−S△EOG=12×5×9−12×5×6=152；
（3）①∵点Px，y是第一象限内的“美好点”，
∴2x+y=xy，
化简得：y=2xx−2=4x−2+2，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴x>02xx−2>0x−2≠0，
解得：x>2，
∴ y关于x的函数表达式为：y=4x−2+2（x>2）；
②画出草图如图所示：

该图像可由y=4x向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：y=4x；
③由图象可得：
A.图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意；
B.由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意；
C.y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意；
D.当x=10时，y=52，所以图像经过点10，52，故该选项说法错误，不符合题意
故选：AB；
④∵ y=4x−2+2，
∴2−xy−2=2−x4x−2+2−2=−4，
∴对于图像上任意一点x，y，代数式2−x⋅y−2是为定值，定值为−4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·湖北荆州·九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2−xx的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；
①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）
②函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向________平移________个单位长度而得到；
③函数y=2−xx的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）
(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=2−xx的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值
【答案】(1)0，图见解析
(2)①减小；②下；1；③0,−1
(3)1
【分析】（1）将x=2代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可；
（2）根据图象进行解答即可；
（3）将点代入解析式，结合x1+x2=0进行计算即可．
【详解】（1）解：当x=2时：y=2−22=0，
∴m=0；
如图：
（2）解：如图
①当x＜0时，y随x增大而减小；
②y=2−xx=2x−1，
∴函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向下平移1个单位长度而得到；
③∵y=2x的图象关于原点对称，
∴y=2−xx的图象关于0,−1对称；
（3）把A（x1,y1）,B（x2,y2）代入函数y=2−xx得：
y1=2−x1x1=2x1−1， y2=2−x2x2=2x2−1
∵x1+x2=0，
∴y1+y2+3=2x1−1+2x2−1+3=2(x1+x2)x1x2+1=1．
【点睛】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，将函数y=kxx>0的图像T1向左平移4个单位得到函数y=kx+4x>−4的图像T2，T2与y轴交于点A0,a．
(1)若a=3，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
【答案】(1)k＝12
(2)①正方形ABCD的面积为8；②E−1+17，17−3
【分析】（1）先计算点A平移前的坐标为（4，3），这点在图象T1上，代入函数y＝kx(x＞0)中可得k的值；
（2）①先根据点A（0，a）可得k＝4a，如图2，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，证明△DMA≌△AOB（AAS），表示点D和C的坐标，可解答；
②利用待定系数法可得BC的解析式，与平移后的函数关系式联立方程，解方程可得点E的坐标．
【详解】（1）解：当a＝3时，A（0，3）
∴点A平移前的点的坐标是（4，3）
∴k＝4×3＝12．
（2）解：①把点A（0，a）代入y＝kx＋4中得：a＝k4，
∴k＝4a，
过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示：
∴∠DMA＝90°，
∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAM＋∠BAO＝90°，
∴∠MDA＝∠BAO，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM＝OA＝a，
当x＝a时，y=4aa=4，
∴AM＝4−a，
同理得：△AMD≌△DFC（AAS），
∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a，
∴C（4，4−a），
∴4（4−a）＝4a，
∴a＝2，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8；
②由①得：B（2，0），C（4，2），
设BC的解析式为：y＝mx＋b，
则2m＋b＝04m＋b＝2，解得：m＝1b＝−2，
∴BC的解析式为：y＝x−2，
∴x−2＝8x＋4，
解得：x=−1±17，
∵点E在第一象限，
∴x=−1+17，
∴E−1+17，17−3．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点，平移的性质，三角形全等的性质和判定，正方形的性质等知识，作辅助线，构建全等三角形是解本题的关键，还体现了方程思想，难度适中．
【变式7-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa