初中数学北师大版七年级上册2.2 数轴练习

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知识清单
知识点01 相遇问题

A的路程+B的路程=总路程.
知识点02 追及问题

A的路程=B的路程+L.
考点精析
1.如图，数轴上有，两点，，点所表示的数为20，．
（1）求点所表示的数．
（2）动点，分别自，两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，求出线段的长．

【分析】（1）根据线段的和差得到，得到，于是得到点所表示的数为；
（2）分三种情况：设运动时间为，则，当时，求得，，根据线段中点的定义得到，，于是得到结论；同理可得其他两种情况．
【解答】解：（1），点所表示的数为20，
，
，
，
，
点所表示的数为；
（2）设运动时间为，
当时，点，在点的右侧，则，
，，
，，
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
；
当时，点，在点的左右，，，
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
，
当时，点，在点的左侧，，，
，，
，
综上所述，．
2.已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为．

（1）若点为的中点，则点对应的数是 1 ．
（2）数轴的原点右侧有点，使点到点，点的距离之和为8．请你求出的值．
（3）现在点，点分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，直接写出点对应的数．
【分析】（1）根据点为的中点列方程即可解得答案；
（2）分两种情况，当在线段上时，由，知这种情况不存在；当在右侧时，，解得；
（3）设运动的时间是秒，表示出运动后表示的数是，表示的数是，表示的数是，根据点与点之间的距离为3个单位长度得：，解出的值，即可得到答案．
【解答】解：（1），对应的数分别为，3，点为的中点，
，
解得，
点对应的数是1，
故答案为：1；
（2）当在线段上时，，
这种情况不存在；
当在右侧时，，
解得，
答：的值是5；
（3）设运动的时间是秒，则运动后表示的数是，表示的数是，表示的数是，
根据题意得：，
解得或，
当时，表示的数是，
当时，表示的数是，
答：点对应的数是或．
3.如图，数轴上，点与点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上在的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合．
（1）直尺的长为 个单位长度；
（2）若直尺在数轴上、间，且满足，求此时点对应的数；
（3）设直尺以（2）中的位置为起点，以2个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点从点出发，以个单位秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为秒．
①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值；
②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的的值．
【分析】（1）根据题意可得，即得；
（2）根据，，，即得；
（3）①、重合时，即得，故；
②时，运动后表示的数是，表示的数是，表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当是、中点时，（Ⅱ）当与重合时，（Ⅲ）当是、中点时，（Ⅳ）当与重合时，（Ⅴ）当是、中点时，分别列出方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）当点移动到点的位置时，点与点重合，
，
当点移动到点的位置时，点与点重合．
，
，
，
，
故答案为：20；
（2），，
，
，
，
点对应的数是10；
（3）①由（2）知，运动前表示的数是30，
直尺以（2）中的位置为起点，以2个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，
、重合时（秒，
根据题意得：，
，
答：的值是；
②时，运动后表示的数是，表示的数是，表示的数是60，
（Ⅰ）当是、中点时，
依题意有，
解得；
（Ⅱ）当与重合时，
依题意有，
解得；
（Ⅲ）当是、中点时，
依题意有，
解得；
（Ⅳ）当与重合时，；
解得，
（Ⅴ）当是、中点时，
依题意有，
解得．
综上所述，的值是3或4或4.5或5或6．
4.数轴上两点、，在左边，原点是线段上的一点，已知，且．对应的数分别是、，点为数轴上的一动点，其对应的数为．
（1） ， ，并在数轴上面标出、两点；
（2）若，求的值；
（3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据，且．就可以确定和的值；
（2）分别用含的代数式表示出和长度，再根据建立等式，就可以求出的值；
（3）分别表示出秒后、、的值，再代入，并化简就可以确定这是一个定值．
【解答】解：（1）因为，且．，对应的数分别是、，
所以，．
故答案为：，3．
（2）①当点在点左侧时，，不合题意，舍去．
②当点位于、两点之间时，
因为，
所以，
所以．
②当点位于点右侧时，
因为，
所以，
所以．
故的值为或7．
（3）秒后，点的值为，点的值为，点的值为，
所以
．
所以的值为定值，不随时间变化而变化．
5.已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．

（1）的长为 ；
（2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是 ；
（3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值．
【分析】（1）的长为，即可解答；
（2）根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值；
（3）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况计算；
（4）分别根据①当点和点在点同侧时；②当点和点在点异侧时，进行解答即可．
【解答】解：（1）的长为；
（2）根据题意得：，
解得：；
（3）①当点在点的左侧时．
根据题意得：．
解得：．
②在点和点之间时，则，方程无解，即点不可能在点和点之间．
③点在点的右侧时，．
解得：．
的值是或5；
（4）设运动分钟时，点到点，点的距离相等，即．
点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是．
①当点和点在点同侧时，点和点重合，
所以，解得，符合题意．
②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点在点左侧，且点运动的速度大于点的速度，所以点永远位于点的左侧），
故．．
所以，解得，符合题意．
综上所述，的值为或4．
6.已知数轴上三点，，表示的数分别为6，0，，动点从出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．

（1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 ；
（2）另一动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少时间追上点？
（3）若为的中点，为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度．
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）设点运动秒时，在点处追上点，于是得到，，根据，列方程即可得到结论；
（3）线段的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点在、之间运动时②当点运动到点左侧时，求得线段的长度不发生变化．
【解答】解：（1）．
故点在数轴上表示的数是1；
故答案为：1；
（2）设点运动秒时，在点处追上点，
则，，
，
，
解得，
点运动5秒时，追上点；
（3）线段的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点在、之间运动时（如图①．
②当点运动到点左侧时（如图②，
．
综上所述，线段的长度不发生变化，其长度为5．
7.如图所示，在数轴上点表示的数是4，点位于点的左侧，与点的距离是10个单位长度．

（1）点表示的数是 ，并在数轴上将点表示出来．
（2）动点从点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点与点的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点出发的同时，点也从点出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点到点的距离是点到点的距离的2倍？
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1），
点位于点的左侧，
点表示的数是，
故答案为：．
在数轴上将点表示如图所示：
（2）设经过秒点与点的距离是2个单位长度，
或
或
经过4秒或6秒点与点的距离是2个单位长度；
（3）设经过秒，点到点的距离是点到点的距离的2倍，
或
或
经过秒或6秒，点到点的距离是点到点的距离的2倍．
8.已知在数轴上有，两点，点表示的数为8，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．

（1）解决问题：①当秒时，写出数轴上点，所表示的数；
②若点，分别从，两点同时出发，问点运动多少秒与相距3个单位长度？
（2）探索问题：若为的中点，为的中点．当点在、上运动过程中，探索线段与线段的数量关系（写出过程）．
【分析】（1）①根据已知可得点表示的数为；点表示的数为；
②点运动秒时，与相距2个单位长度，则，，根据，或，列出方程求解即可；
（2）根据点在点、两点之间运动，故，由此可得出结论．
【解答】解：（1）①点表示的数为8，在点左边，，
点表示的数是，
动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
点表示的数是．
②设点运动秒时，与相距3个单位长度，
则，，
，
，
解得：，
，
解得：．
点运动1.8秒或3秒时与点相距3个单位长度．
（2）或；理由如下：
在右侧时有：，
即．
同理在左侧时有：．
9.如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

（1）数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？
②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）由已知得，则，因为点在原点左边，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是；
（2）①点运动秒时追上点，由于点要多运动10个单位才能追上点，则，然后解方程得到；
②分两种情况：当点运动秒时，不超过，则；超过，则；由此求得答案解即可．
【解答】解：（1）数轴上点表示的数为6，
，
则，
点在原点左边，
数轴上点所表示的数为；
点运动秒的长度为，
动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
所表示的数为：；
（2）①点运动秒时追上点，
根据题意得，
解得，
答：当点运动5秒时，点与点相遇；
②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，
当不超过，则，解得；
当超过，则，解得；
答：当点运动1或9秒时，点与点间的距离为8个单位长度．
10.如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．

（1）用1单位长度表示，请你在题中所给的数轴上表示出、、三点的位置；
（2）把这条数轴在数处对折，使表示和2017两数的点恰好互相重合，则与点重合的点所表示的数是 2011 ， ．
（3）把点到点的距离记为，点到点的距离记为，
① ；
②若点以每秒的速度向左移动，同时、以每秒、的速度向右移动，设移动时间为秒，试探究的值是否会随着的变化而改变？请说明理由．
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）利用对称的性质列方程解答即可；
（3）①由，即得答案；
②移动后，表示的数是，表示的数是，表示的数是，可得，，即得．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）数轴在数处对折，表示和2017两数的点恰好互相重合，
，
，
与点重合的点所表示的数是，
故答案为：2011，1003；
（3）①，，
，
故答案为：2；
②的值是不会改变，理由如下：
移动后，表示的数是，表示的数是，表示的数是，
，，
．
的值是不会改变．
11.已知数轴上两点、对应的数分别为、5，点为数轴上一动点，其对应的数为．

（1）若点到点、点的距离相等，直接写出点对应的数是 ；
（2）若点到点、点的距离之和为8．请直接写出的值为 ；
（3）现在点、点分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点与点之间的距离为5个单位长度时，求点所对应的数是多少？
【分析】（1）根据数轴上两点之间的中点所表示数的计算方法计算即可；
（2）根据数轴两点之间距离的计算方法列方程求解即可；
（3）分两种情况进行解答，即移动后点在点的左边，使，移动后点在点的右边，使，求出移动的时间，进而求出点所表示的数．
【解答】解：（1）点所对应的数；
故答案为：1.5；
（2）由题意得，
，
又因为，，且点在点的左侧或点的右侧，
所以点所表示的数或，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或5.5；
（3）设移动的时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，
①当点在点的左边，使时，有
，
解得，
此时点移动的距离为；
②当点在点的右边，使时，有
，
解得，
此时点移动的距离为，
所以当点与点之间的距离为5个单位长度时，点所对应的数是或．
12.定义：数轴上有，两点，若点到原点的距离为点到原点的距离的两倍，则称点为点的2倍原距点．已知点，，在数轴上表示的数分别为4，，．

（1）若点是点的2倍原距点，
①当点在数轴正半轴上时，则 ；
②当点在数轴负半轴上，且为线段的中点时，判断点是否是点的2倍原距点，并说明理由；
（2）若点，分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点每秒运动速度为2个单位长度，点每秒运动速度为个单位长度．若点为点的2倍原距点时，点恰好也是点的2倍原距点，请直接写出所有可能的值．
【分析】（1）①点到原点的距离为4，根据定义可知点到原点距离为2，点在数轴正半轴，进而可求出．
②，则，得出的值，再根据定义来判断．
（2）设秒时，点为点的2倍原距点，点恰好也是点的2倍原距点；由求出的值，将代入，求出的所有可能值即可．
【解答】解：（1）①，
．
，
．
故答案为：2．
②，
．
点为线段的中点，
，
解得．
，，
故点是点的2倍原距点．
（2）设秒时，点为点的2倍原距点，点恰好也是点的2倍原距点．
，
解①得：，．
将代入②得：，
解得：，；
将代入②得：，
解得：，．
故所有的可能值为：4，8，，．
13.对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．

（1）若点表示数，点表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别，，，其中是点，的“联盟点”的是 或 ；
（2）点表示数，点表示的数30，在为数轴上一个动点：
①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数；
②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数为 ．
【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可；
（2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点是点，点的“联盟点”，点是点、点的“联盟点”，点是点、点的“联盟点”进行计算即可．
【解答】解：（1）点所表示的数为，点所表示的数是4，
当点所表示的数是3时，
，，所以不是点、点的“联盟点”，
当点所表示的数是2时，
，，由于，所以是表示点、点的“联盟点”，
当点所表示的数是0时，
，，由于，所以是表示点、点的“联盟点”，
故答案为：或；
（2）①设点在数轴上所表示的数为，
当点在上时，若，则，解得，
若时，则，解得，
当点在点的左侧时，由可得，解得，
综上所述，点表示的数为或或；
②若点在点的右侧，
当点是点，点的“联盟点”时，有，即，
解得，
当点是点、点的“联盟点”时，有或，
即或，解得或；
当点是点、点的“联盟点”时，有，即，
解得；
故答案为：70或50或110．
14.如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为6，，．

（1）写出数轴上点，表示的数： ， ；
（2）动点，同时从，出发，点以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
①当时，求出此时，在数轴上表示的数；
②为何值时，点，相距2个单位长度，并写出此时点，在数轴上表示的数．
【分析】（1）点表示的数是，点表示的数是，求出即可；
（2）①求出，，根据、表示的数求出、表示的数即可；
②利用“点，相距6个单位长度”列出关于的方程，并解答即可．
【解答】解：（1）点对应的数为6，，
点表示的数是，
，
点表示的数是，
故答案为：；2；
（2）①由题意得：，，
在数轴上点表示的数是，
在数轴上点表示的数是；
此时，在数轴上表示的数分别为；2；
②如图所示：，，
在数轴上点表示的数是，
在数轴上点表示的数是；
当点，相距2个单位长度时：，
解得或．
当时，，；当时，，，
或时，点，相距2个单位长度．点，对应的数分别为2，0或，
15.如图，点表示的数为，线段（点在点右侧），动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向终点运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度在线段上来回运动（从点向点运动，到达点后，立即原速返回，再次到达点后立即调头向点运动）．当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为秒．

（1）当时，线段的长为 ．
（2）当、两点第一次重合时，求线段的长；
（3）是否存在某一时刻，使点的中点恰好与点重合，若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结合图形，表示出、的长，可得；
（2）当，两点第一次重合时，点运动路程点运动路程的长，列方程可求得；
（3）点落在线段的中点上有以下三种情况：①点从点出发未到点；②点到达点后，从到；③点第一次返回到后，从到，根据列方程可得．
【解答】解：（1）根据题意，当时，
此时：，，
，
故答案为：4；
（2）设秒后，、第一次重合，
得：
解得：，
；
（3）设秒后，点的中点恰好与点重合，根据题意，
①当点从点出发未到点时，即时，有
，
解得（舍去）；
②当点到达点后，从到时，即时，有
，
解得（舍去）；
③当点第一次返回到后，从到时，时，有
，
解得；
综上所述：当时，点恰好落在线段的中点上．
16．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点表示数，则点向右移动个单位到达的点表示的数为，若点向左移动个单位到达的点表示的数为．
如图，已知数轴上点表示的数为10，点与点距离16个单位，且在点的左边，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

（1）数轴上点表示的数为 ，点表示的数为 ．（用含的式子表示）；
（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发．
①求点运动多少秒追上点？
②求点运动多少秒时与点相距6个单位？并求出此时点表示的数．
【分析】（1）根据数轴上点的特点和题目中给到的点在移动所表示的数的公式即可求出．
（2）①追击问题，快的路程慢的路程距离差，列方程求解即可．
②相距问题，分两种情况讨论，即点追上点之前相距6个单位和点追上点之后超过6个单位，列方程求解即可．
【解答】解：（1）点表示的数为10，点与点距离16个单位，且在点的左边，
点表示的数为，
故答案为：．
点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
点运动的长度为，
点所表示的数为，
故答案为：．
（2）①设点运动秒追上点，
由题意可列方程为：，
解得，
点运动8秒追上点．
②当点在追上之前相距6个单位时，
设此时时间为，
，
解得．
此时点所表示的数为，
当点超过点个单位长度时，
设设此时时间为，
，
，
此时点所表示的数为，
综上所述，点运动5秒或11秒时与点相距6个单位，点表示的数分别为和．
课程标准
1.掌握数轴上动点问题的方法；
2.灵活运用“相遇”和“追及”在数轴动点问题中的应用.