初中数学北师大版七年级上册1.3 截一个几何体导学案

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知识点 截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
例1
用一个平面去截一个三棱锥，截面可能是__三角___形或___四边____形．
【答案】 三角 四边
【解析】
【分析】
用平面去截一个三棱锥，当截面经过三个面时截面为三角形，当截面经过四个面时截面为四边形．
【详解】
解：用平面去截一个三棱锥，截面可能为三角形或四边形．
故答案为：三角；四边．
变1
用一个平面去截三棱柱，截面的边数最多是__5____，用一个平面去截四棱柱，截面的边数最多是___6____，用一个平面去截五棱柱，截面的边数最多是___7____.
【答案】 5 6 7
【解析】
【分析】
截面的形状随截法的不同而变化，一般为多边形或者不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形即可得出答案．
【详解】
解：①∵用平面去截三棱柱时最多与5个面相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，
∴截面最多得边数是五边形；
②∵用平面去截四棱柱时最多与6个面相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，
∴截面最多得边数是六边形；
③∵用平面去截五棱柱时最多与7个面相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，
∴截面最多得边数是七边形；
故答案为：①5；②6；③7．
例2
正方体的截面形状不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形．
【详解】
解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形．
故选：D．
例3
用个平面去截下列几何体：①球体、②圆锥、③圆柱、④正三枝柱、⑤长方体，得到的截面形状可能是三角形的有 __②④⑤___（写出正确的序号）．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】
当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
【详解】
解：①球体不能截出三角形；
②圆锥沿着母线截几何体可以截出三角形；
③圆柱不能截出三角形；
④正三棱柱能截出三角形．
⑤长方体能截出三角形
故截面可能是三角形的有3个．
故答案为：②④⑤．
变2
用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么被截的几何体可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据每一个几何体的截面形状判断即可．
【详解】
解：用一个平面去截一个几何体，三棱柱，四棱锥，长方体的截面形状不可能是圆，只可能是多边形，
圆柱的截面形状可能是圆，
故选：D．
变3
用一个平面去截下列几何体：长方体、圆柱、圆锥、正方体、五棱柱，截面形状可能是三角形的有（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据长方体、圆柱、圆锥、正方体、五棱柱的特征，找到用一个平面截一个几何体得到的形状可能是三角形的几何体解答即可．
【详解】
解：用一个平面去截下列几何体：长方体、圆柱、圆锥、正方体、五棱柱，截面形状可能是三角形的有长方体、圆锥、正方体、五棱柱，一共4个．
故选：C．
考点二 截面的相关计算
例1
如图所示是一个圆柱体，它的底面半径为3cm，高为6cm．
（1）请求出该圆柱体的表面积；
（2）用一个平面去截该圆柱体，你能截出截面最大的长方形吗？截得的长方形面积的最大值为多少？
【答案】（1）；（2）能截出截面最大的长方形，长方形面积的最大值为：
【解析】
【分析】
（1）用圆柱上下底面积加上侧面积即可；
（2）当截得的面积最大时，长方形的长为底面直径，宽为6，可得面积最大值.
【详解】
解：（1）圆柱体的表面积为：
；
；
（2）能截出截面最大的长方形．
该长方形面积的最大值为：．
例2
我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的高为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请计算截面的面积．
【答案】(1)长方形
(2)10
【解析】
【分析】
（1）由图可得截面的形状为长方形；
（2）根据小正三棱柱的底面周长为3，求出底面边长为1，根据高是10，即可求出截面面积．
(1)
解：由图可得截面的形状为长方形；
(2)
∵小正三棱柱的底面周长为3，
∴底面边长＝1，
∴截面的面积1×10＝10．
变1
如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积．
【答案】52cm2
【解析】
【分析】
截去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变，根据长方体的表面积公式计算即可求解．
【详解】
解：（2×3+2×4+3×4）×2
＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2），
答：剩余几何体的表面积为52cm2．
变2
我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，
大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请直接写出四边形DECB的周长．
【解题思路】（1）依据大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；
（2）依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为10的等边三角形，即可得到四边形DECB的周长．
【解答过程】解：（1）由题可得，截面的形状为长方形；
（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，
∴DE＝AD＝1，
又∵△ABC是周长为10的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴DB＝EC1，
∴四边形DECB的周长＝129．
课后强化
1.用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是（ ）
【解题思路】根据圆柱体的主视图只有矩形或圆，即可得出答案．
【解答过程】解：∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，
∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱．
故选：A．
2.下列几何体：①球；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤正方体，用一个平面去截上面的几何体，其
中能截出圆的几何体有（ ）
【解题思路】根据几何体的形状，可得答案．
【解答过程】解：长方体、正方体不可能截出圆，
球、圆柱、圆锥都可截出圆，
故选：B．
3.用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，即可求解
【详解】
如图，

因为四棱柱共有5个面，
用平面去截三棱柱时最多与5个面都相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，则
故选C
4.用一个平面去截一个几何体，截到的平面是八边形，这个几何体可能是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
分别得到几何体有几个面，再根据截面是八边形作出选择．
【详解】
解：∵三棱柱有5个面，四棱柱有6个面，五棱柱有7个面，
只有六棱柱有8个面，
∴只有六棱柱可能得到一个八边形截面．
故选：A．
5.如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（ ）

【解题思路】如图截去一个角后得到面增加一个，棱增加3．
【解答过程】解：原来正方体的面数为6，增加1变为7；原来正方体的棱数为12，增加3变为15，故选C．
6.一个圆柱的底面半径是10cm，高是18cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．

（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
【解题思路】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积
【解答过程】解：（1）所得的截面是圆；
（2）所得的截面是长方形；
（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，
则这个长方形的面积为：10×2×18＝360（cm2）．
7.如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）
【解题思路】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．
【解答过程】解：如图所示：
根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，
三棱柱的体积5（cm3）．
课程标准
1.掌握截面的概念；
2.掌握各类立体图形的作图；
3.掌握各类立体图形的截面规律；
4.掌握截面的计算方法.
立体图形
截面
n棱柱
最少为__3__边形，最多为__n+2__边形
n棱锥
最少为__3__边形，最多为__n+_1__边形
圆柱
可能为圆、长方形、椭圆、半圆或圆的一部分
圆锥
可能为圆、椭圆、半圆或圆的一部分
A．三角形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
A．三棱柱
B．四棱锥
C．长方体
D．圆柱
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
A．圆柱
B．长方体
C．圆锥
D．三棱柱
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A．a=3，b=6
B．a=2，b=5
C．a=3，b=5
D．a=4，b=6
A．六棱柱
B．三棱柱
C．四棱柱
D．五棱柱
A．6，14
B．7，14
C．7，15
D．6，15