人教A版高中数学必修第一册第5章5-3第1课时公式二、公式三和公式四课时学案

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5.3　诱导公式第1课时　公式二、公式三和公式四1．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．(逻辑推理)2．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(数学运算)观察单位圆，回答下列问题：(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？知识点　公式二～四诱导公式中角α只能是锐角吗？[提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋π2，k∈Z．填空：(1)若sin (π＋α)＝13，则sin α＝________．(2)若cos (π－α)＝13，则cos α＝________．(3)已知tan α＝6，则tan (－α)＝________．(4)sin 585°＝________．[答案]　(1)－13　(2)－13　(3)－6　(4)－22 类型1　给角求值问题【例1】　(源自苏教版教材)求值：(1)sin 7π6；(2)cos 11π4；(3)tan (－1 560°)．[解]　(1)sin 7π6＝sin π+π6＝－sin π6＝－12．(2)cos 11π4＝cos 2π+3π4＝cos 3π4＝cos π-π4＝－cos π4＝－22．(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝3．　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”－－用公式一或三来转化．(2)“大化小”－－用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”－－用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”－－得到锐角的三角函数后求值．[跟进训练]1．计算：sin 5π6＋tan 7π4－cos -4π3．[解]　原式＝sin π-π6＋tan 2π-π4－cos 4π3＝sin π6＋tan -π4－cos π+π3＝sin π6－tan π4＋cos π3＝12－1＋12＝0． 类型2　给值(式)求值问题【例2】　已知cos (α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．思路导引：观察105°+α与α-75°的关系 诱导公式 实现三角函数间的转化[解]　∵cos (α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin (α－75°)＝－1-cos2α-75°＝－1--132＝－223，∴sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝223．[母题探究]本例条件不变，求cos (255°－α)的值．[解]　cos (255°－α)＝cos [180°－(α－75°)]＝－cos (α－75°)＝13．　解决条件求值问题的技巧[跟进训练]2．已知cos π6-α＝33，求cos 5π6+α－sin2α-π6的值．[解]　因为cos 5π6+α＝cos π-π6-α＝－cos π6-α＝－33，sin2α-π6＝sin2π6-α＝1－cos2π6-α＝1－332＝23，所以cos 5π6 +α－sin2α-π6＝－33－23＝－2+33． 类型3　利用诱导公式化简【例3】　化简：(1)tan2π-αsin-2π-αcos6π-αcosα-πsin5π-α；(2)sin1 440°+α·cos1 080°-αcos-180°-α·sin-α-180°．[解]　(1)原式＝-tanαsin-αcos-αcosπ-αsinπ-α＝tanα·sinα·cosα-cosα·sinα＝－tan α．(2)原式＝sin4×360°+α·cos3×360°-αcos180°+α·-sin180°+α＝sinα·cos-α-cosα·sinα＝cosα-cosα＝－1．　三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．[跟进训练]3．tan (5π＋α)＝m，则sinα-3π+cosπ-αsin-α-cosπ+α的值为(　　)A．m+1m-1　　　B．m-1m+1　　　C．－1　　　D．1A　[∵tan (5π＋α)＝tan α＝m，∴sinα-3π+cosπ-αsin-α-cosπ+α＝-sinα-cosα-sinα+cosα＝sinα+cosαsinα-cosα＝tanα+1tanα-1＝m+1m-1．故选A．]1．计算：sin 210°＝(　　)A．32 　　　B．－32　　　C．12 　　　D．－12D　[sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，故选D．]2．(多选)下列式子中正确的是(　　)A．sin (π－α)＝－sin α B．cos (π＋α)＝－cos αC．sin (π＋α)＝sin α D．sin (2π＋α)＝sin αBD　[A中sin (π－α)＝sin α，C中sin (π＋α)＝－sin α，B，D正确．]3．已知sin (45°＋α)＝513，则sin (135°－α)＝________．513　[sin (135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]＝sin (45°＋α)＝513．]4．化简：(1)sin540°+α·cos-αtanα-180°＝________；(2)sin2π+αcos-π+αcos-αtanα＝________．(1)－cos2α　(2)－cosα　[(1)sin540°+α·cos-αtanα-180°＝sin180°+α·cosαtanα＝-sinα·cosαtanα＝－cos2α．(2)sin2π+αcos-π+αcos-αtanα＝sinα-cosαcosαtanα＝－cos α．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能概括一下公式一～四的特征吗？[提示]　诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”，或者简述为“函数名不变，符合看象限”．2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？[提示]　任意负角的三角函数用公式 三或一 任意正角的三角函数　 用公式一 0～2π的角的三角函数用公式 二或四 锐角的三角函数　课时分层作业(四十六)　公式二、公式三和公式四一、选择题1．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos (－α)＋1的结果为(　　)A．1　　　B．2sin2α　　　C．0　　　D．2D　[原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2．]2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P-55，255，则cos (π－θ)的值为(　　)A．－255 B．－55C．55 D．255C　[由题意可知cos θ＝－55，cos (π－θ)＝－cos θ＝－-55＝55．故选C．]3．若sin (π＋α)＝12，α∈-π2，0，则tan (π－α)＝(　　)A．3　　　B．－33　　　C．－3　　　D．33D　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12．又α∈-π2，0，∴cos α＝1-sin2α＝1-14＝32．∴tan α＝sinαcosα＝－33．∴tan (π－α)＝－tan α＝33，故选D．]4．(多选)已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　)A．sin α＝sin β B．sin (α－2π)＝－sin βC．cos α＝cos β D．cos (2π－α)＝－cos βBC　[由题意可知α＝－β，∴sin α＝sin (－β)＝－sin β；sin (α－2π)＝sin α＝－sin β；cos α＝cos (－β)＝cos β；cos (2π－α)＝cos (－α)＝cos α＝cos β，故选BC．]5．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　)A．m2-12 B．m2+12C．1-m22 D．－m2+12A　[sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α＝sinα+cosα2-12＝m2-12．]二、填空题6．cos 600°＝________．－12　[cos 600°＝cos (360°＋240°)＝cos 240°＝cos (180°＋60°)＝－cos 60°＝－12．]7．化简：cos3π-αsinπ+α·tan (2π－α)＝________．－1　[原式＝cosπ-αsinπ+α·tan (－α)＝-cosα-sinα·(－tan α)＝－cosαsinα·tan α＝－1．]8．已知tan π7+α＝5，则tan 6π7-α＝________．－5　[tan 6π7-α＝tan π-π7+α＝－tan π7+α＝－5．]三、解答题9．已知sin (α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，求2sinα-π+3tan3π-α4cosα-3π的值．[解]　因为sin (α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sinα-π+3tan3π-α4cosα-3π＝-2sinα-3tanα-4cosα＝85+4-4×35＝－73．10．记cos (－80°)＝k，则tan 100°等于(　　)A．1-k2k B．－1-k2kC．k1-k2 D．－k1-k2B　[∵cos (－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝1-cos280°＝1-k2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1-k2k．故选B．]11．(多选)已知A＝sinkπ+αsinα＋coskπ+αcosα(k∈Z)，则A的值是(　　)A．－1　　　B．－2　　　C．1　　　D．2BD　[当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝-sinαsinα－cosαcosα＝－2．故选BD．]12．设f (x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 020)＝8，则f (2 023)的值为________．6　[因为f (2 020)＝a sin (2 020π＋α)＋b cos (2 020π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7，所以a sin α＋b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 023)＝a sin (2 023π＋α)＋b cos (2 023 π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7＝－1＋7＝6．所以f (2 023)＝6．]13．(2021·北京高考)若点P(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为Qcosθ+π6，sinθ+π6，则θ的一个取值为________．5π12(答案不唯一)　[由题意可知cosθ=-cosθ+π6，sinθ=sinθ+π6． 结合诱导公式可知θ＋π6＝π－θ＋2kπ，k∈Z，解得θ＝5π12＋kπ，k∈Z．即符合题意的θ可取5π12．]14．已知f (α)＝sinπ+αcos2π-αtan-αtan-π-αsin-π-α．(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解]　(1)f (α)＝-sinαcosα-tanα-tanαsinα＝－cos α．(2)∵sin (α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15．又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265．(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f -31π3＝－cos -6×2π+5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12．15．设k为整数，化简：sinkπ-αcosk-1π-αsink+1π+αcoskπ+α．[解]　法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ-αcos2m-1π-αsin2m+1π+αcos2mπ+α＝sin-αcosπ+αsinπ+αcosα＝-sinα-cosα-sinαcosα＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1．所以原式＝－1．法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)，sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)．所以原式＝-sinkπ+α-coskπ+α-sinkπ+αcoskπ+α＝－1．名称终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α公式三角－α与角α的终边关于x轴对称sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α公式四角π－α与角α的终边关于y轴对称sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α