人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-2弧度制课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-2弧度制课时学案，共16页。
5.1.2　弧度制1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．(数学抽象)2．能对弧度和角度进行正确的转换，掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．(数学运算)如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？知识点1　角度制与弧度制(1)度量角的两种制度(2)弧度数的计算比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．(3)角度制与弧度制的换算知识点2　扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧． (　　)(2)用弧度表示的都是正角． (　　)(3)160°化为弧度制是89π rad． (　　)(4)1 rad的角比1°的角要大． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(1)7π5 rad化为角度是________．(2)105°的弧度数是________ rad．(1)252°　(2)7π12　[(1)7π5 rad＝7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180 rad＝7π12 rad．]3．(1)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的________倍；(2)半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．(1)2　(2)π3　[(1)由l＝|α|R知，当半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的2倍．(2)由已知得S扇＝12×π6×22＝π3．] 类型1　角度与弧度的互化与应用【例1】　将下列各角度与弧度互化：(1)67.5°；(2)112°30′；(3)9π4；(4)3．[解]　(1)67.5°＝67.5×π180＝3π8．(2)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝5π8．(3)9π4＝9π4×180π°＝405°．(4)3＝3×180π°≈3×57.30°＝171.90°．　角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×180π°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[跟进训练]1．(1)(多选)下列转化结果正确的是(　　)A．60°化成弧度是π3 radB．－103π rad化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－76π radD．π12 rad化成角度是15°(2)将下表中的角度与弧度互化．(1)ABD　(2)角度：30°　75°　270°　360°　弧度：0　π4　π3　π2　3π4　5π6　π　[(1)对于A，60°＝60×π180 rad＝π3 rad；对于B，－103π rad＝－103×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π180 rad＝－56π rad；对于D，π12 rad＝112×180°＝15°．故选ABD．] 类型2　用弧度制表示角的集合【例2】　(1)下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)(2)用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．(1)C　[A，B中弧度与角度混用，错误．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．](2)[解]　30°＝π6 rad，150°＝5π6 rad．终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是βπ6+kπ＜β＜5π6+kπ，k∈Z．　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用．[跟进训练]2．已知角α＝－1 125°．(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β