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2023-2024学年湖南省娄底市涟源市第二中学高二上学期10月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年湖南省娄底市涟源市第二中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，且，则的值为（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】A
【分析】根据空间向量坐标运算可以计算得到答案.
【详解】因为，所以，即，解得，
故选：A
2．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】先将直线的一般式化为斜截式，进而写出其斜率和倾斜角.
【详解】设该直线的倾斜角为，且，
将化为，
则该直线的斜率为，其倾斜角为.
故选：B.
3．直线，则直线与之间的距离为（ ）
A．1B．2C．5D．8
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】根据平行线距离公式知直线与之间的距离为.
故选：B
4．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】圆即，所以圆心坐标为.
故选：B.
5．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
6．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，
，
此时，与所成角的余弦值是.
故选：A
7．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】求出圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离为2，这样与直线3x＋4y－11＝0距离为2的两条直线中一条与圆相交，另一条与圆相离，从而可得满足题意的点的个数．
【详解】圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，
与直线3x＋4y－11＝0距离为2的两条直线中一条与圆相交，另一条与圆相离，
∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个.
故选：B.
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离问题，主要考查直线与圆的位置关系．解题关键是转化为求圆心到已知直线的距离，从而判断出到已知直线距离为2的直线和圆位置关系．
8．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.
【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，
设反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线方程为，即，
又由反射光线与圆相切，可得，
整理得，解得或.
故选：D.
【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，设，则下列各式的值为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用空间向量的垂直、数量积及其运算律运算即可得解.
【详解】正方体中，∴，即，，即，
，即，∴，，.
对于选项A， ，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选：BC.
10．若直线L的一个方向向量，且L经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线L与直线垂直
D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点
【答案】CD
【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令，求出的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为即可；对于D，算出原点到直线的距离即可判断.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
又经过点，所以直线的方程为：，
整理得.
对于A，由于直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A选项不正确；
对于B，在直线方程中令，解得，
所以在轴上的截距等于，故B选项不正确；
对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为，
又直线的斜率为，所以，所以直线与直线垂直，故C选项正确；
对于D，由于原点到直线的距离为，这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是，
因为，
因此上不存在与原点距离等于0.1的点，故D选项正确.
故选：CD,
11．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B．圆M的圆心坐标为
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切D．若，直线l被圆M截得的弦长为2
【答案】AB
【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
【详解】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
故选：AB
12．已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．圆关于直线对称
B．直线与圆相交所得弦长为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把变以代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得最小值判断D．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
易得点在直线上，A正确；
点到直线的距离为，弦长为，B错；
由得代入圆的方程整理得，
，，所以的最大值是，C正确；
，，所以的最小值是，D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．
三、填空题
13．已知向量和夹角为，且，则 ．
【答案】
【分析】由题设可得，应用向量数量积的运算律有，即可求值.
【详解】由题意，，
∴.
故答案为：
14．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离等于 ．
【答案】/
【分析】利用等体积法，求点到平面的距离即可.
【详解】如图所示：
在棱长为1的正方体中，,
所以为等边三角形，且，
设点到平面的距离为，
由题意知，四棱锥中，，三条棱两两垂直，
所以，
又因为，故，即：，
解得：.
所以点到平面的距离.
故答案为：
15．曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据圆与圆的位置关系以及成圆的充要条件，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：圆:，即，其圆心，半径
圆:，即，其圆心，
半径，则必有，即
两圆圆心的距离
若两圆有4条公切线，则两圆外离，必有，解得：
则的取值范围为.
故答案为：.
16．已知圆与直线相切，经过点，且被轴截得的弦长为，圆心在x轴上方，则圆的方程为 ．
【答案】
【分析】设圆的标准方程，由条件建立方程，解方程即可.
【详解】由题意可设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切，则有，
因为圆被轴截得的弦长为，
则，
解得，则.
又圆经过点，则，
则，解得，
由圆心在轴上方，则，所以，
所以圆的方程为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知．求：
(1)向量的坐标；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接进行向量坐标的加减法、数乘运算即可；
（2）先求出，再利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】（1）；
（2）.
18．已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)0或2
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
19．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．求：
(1)直线与平面所成角的正弦值．
(2)点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用直线与平面的夹角公式即可求出结果；
（2）利用（1）中结论，根据点到平面的空间向量法求出距离.
【详解】（1）因为，，两两垂直，故以为原点，,,方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图空间直角坐标系：
因为，，所以，，,，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）知，，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为.
20．已知直线经过两点，.
（1）求直线的方程；
（2）圆的圆心在直线上，且过点和，求圆的方程
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程；
（2）设圆心为，圆的方程为，根据圆过点和，即可得到方程组，求出，即可求圆的方程．
【详解】解：（1）因为直线经过两点，.
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心为，则圆的方程为
过点和，
，即，解得，所以，
圆的方程．
21．如图，在长方体中，是的中点，是的中点．
(1)求证：平面平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间面面位置关系的向量证明方法，即可证明结论；
（2）利用向量的坐标以及平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：在长方体中，以D为坐标原点，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于是的中点，是的中点．
故，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则；
设平面的法向量为，
则，即，令，则；
则，即，
故平面平面．
（2）由（1）知，故，
而平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
故.
22．已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
【详解】（1）直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
一、单选题
1．已知，且，则的值为（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】A
【分析】根据空间向量坐标运算可以计算得到答案.
【详解】因为，所以，即，解得，
故选：A
2．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】先将直线的一般式化为斜截式，进而写出其斜率和倾斜角.
【详解】设该直线的倾斜角为，且，
将化为，
则该直线的斜率为，其倾斜角为.
故选：B.
3．直线，则直线与之间的距离为（ ）
A．1B．2C．5D．8
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】根据平行线距离公式知直线与之间的距离为.
故选：B
4．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】圆即，所以圆心坐标为.
故选：B.
5．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
6．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，
，
此时，与所成角的余弦值是.
故选：A
7．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】求出圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离为2，这样与直线3x＋4y－11＝0距离为2的两条直线中一条与圆相交，另一条与圆相离，从而可得满足题意的点的个数．
【详解】圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，
与直线3x＋4y－11＝0距离为2的两条直线中一条与圆相交，另一条与圆相离，
∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个.
故选：B.
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离问题，主要考查直线与圆的位置关系．解题关键是转化为求圆心到已知直线的距离，从而判断出到已知直线距离为2的直线和圆位置关系．
8．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.
【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，
设反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线方程为，即，
又由反射光线与圆相切，可得，
整理得，解得或.
故选：D.
【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，设，则下列各式的值为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用空间向量的垂直、数量积及其运算律运算即可得解.
【详解】正方体中，∴，即，，即，
，即，∴，，.
对于选项A， ，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选：BC.
10．若直线L的一个方向向量，且L经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线L与直线垂直
D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点
【答案】CD
【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令，求出的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为即可；对于D，算出原点到直线的距离即可判断.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
又经过点，所以直线的方程为：，
整理得.
对于A，由于直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A选项不正确；
对于B，在直线方程中令，解得，
所以在轴上的截距等于，故B选项不正确；
对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为，
又直线的斜率为，所以，所以直线与直线垂直，故C选项正确；
对于D，由于原点到直线的距离为，这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是，
因为，
因此上不存在与原点距离等于0.1的点，故D选项正确.
故选：CD,
11．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B．圆M的圆心坐标为
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切D．若，直线l被圆M截得的弦长为2
【答案】AB
【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
【详解】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
故选：AB
12．已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．圆关于直线对称
B．直线与圆相交所得弦长为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把变以代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得最小值判断D．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
易得点在直线上，A正确；
点到直线的距离为，弦长为，B错；
由得代入圆的方程整理得，
，，所以的最大值是，C正确；
，，所以的最小值是，D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．
三、填空题
13．已知向量和夹角为，且，则 ．
【答案】
【分析】由题设可得，应用向量数量积的运算律有，即可求值.
【详解】由题意，，
∴.
故答案为：
14．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离等于 ．
【答案】/
【分析】利用等体积法，求点到平面的距离即可.
【详解】如图所示：
在棱长为1的正方体中，,
所以为等边三角形，且，
设点到平面的距离为，
由题意知，四棱锥中，，三条棱两两垂直，
所以，
又因为，故，即：，
解得：.
所以点到平面的距离.
故答案为：
15．曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据圆与圆的位置关系以及成圆的充要条件，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：圆:，即，其圆心，半径
圆:，即，其圆心，
半径，则必有，即
两圆圆心的距离
若两圆有4条公切线，则两圆外离，必有，解得：
则的取值范围为.
故答案为：.
16．已知圆与直线相切，经过点，且被轴截得的弦长为，圆心在x轴上方，则圆的方程为 ．
【答案】
【分析】设圆的标准方程，由条件建立方程，解方程即可.
【详解】由题意可设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切，则有，
因为圆被轴截得的弦长为，
则，
解得，则.
又圆经过点，则，
则，解得，
由圆心在轴上方，则，所以，
所以圆的方程为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知．求：
(1)向量的坐标；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接进行向量坐标的加减法、数乘运算即可；
（2）先求出，再利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】（1）；
（2）.
18．已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)0或2
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
19．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．求：
(1)直线与平面所成角的正弦值．
(2)点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用直线与平面的夹角公式即可求出结果；
（2）利用（1）中结论，根据点到平面的空间向量法求出距离.
【详解】（1）因为，，两两垂直，故以为原点，,,方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图空间直角坐标系：
因为，，所以，，,，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）知，，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为.
20．已知直线经过两点，.
（1）求直线的方程；
（2）圆的圆心在直线上，且过点和，求圆的方程
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程；
（2）设圆心为，圆的方程为，根据圆过点和，即可得到方程组，求出，即可求圆的方程．
【详解】解：（1）因为直线经过两点，.
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心为，则圆的方程为
过点和，
，即，解得，所以，
圆的方程．
21．如图，在长方体中，是的中点，是的中点．
(1)求证：平面平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间面面位置关系的向量证明方法，即可证明结论；
（2）利用向量的坐标以及平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：在长方体中，以D为坐标原点，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于是的中点，是的中点．
故，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则；
设平面的法向量为，
则，即，令，则；
则，即，
故平面平面．
（2）由（1）知，故，
而平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
故.
22．已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
【详解】（1）直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
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