湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

这是一份湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
A．1B．C．iD．
2．命题，，则
A．p是假命题；，B．p是假命题；，
C．p是真命题；，D．p是真命题；，
3．在中，，，，则最短边的边长等于
A．B．C．D．
4．甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示：
则下列说法正确的是
A．甲平均成绩高，乙成绩稳定B．甲平均成绩高，甲成绩稳定
C．乙平均成绩高，甲成绩稳定D．乙平均成绩高，乙成绩稳定
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A．B．C．D．
6．把边长为a的正三角形沿高线折成的二面角，这时顶点A到的距离是
A．aB．C．D．
7．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为
A．B．C．D．
8．若不等式对任意的恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．下列结论正确的是
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
10．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是
A．B．C．D．
11．如图，平面，为正方形，下列结论正确的是
A．B．C．D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，上的频率分布直方图如图所示，记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为a，则a的值为________．
13．已知分段函数则________，________．
14．已知中，点D在边上，，，．当取得最小值时，________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
16．（15分）在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
17．（15分）函数的部分图象如图所示．
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．
18．（17分）一种药在病人血液中的含量不低于时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用（，且）的药剂，药剂在血液中的含量随着时间变化的函数关系式近似为，其中．
（1）若病人一次服用的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用的药剂，后再服用的药剂，要使接下来的中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
19．（17分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人．
（1）分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．
2024年上学期高一期末质量检测试题·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D ．
2．B ，，，
．是假命题．，．
3．A ，
，边b最短，
由，得．
4．A 由题意可得，，
，
，
，
因为且．故选A．
5．C 用图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则，解得．
6．D 如图所示，在翻折后的图形中，为二面角的平面角，即，平面．过D作于E，连接，则E为中点，且，所以即为点A到的距离．易知，是边长为的等边三角形，所以，．
7．A 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．
又
，
故目标被击中的概率．
8．B 由，得，，
，即对任意的恒成立．设，，则，．
9．BCD 对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，则，故D正确．故选BCD．
10．ABC 因为的定义域为R，又因为，所以A是偶函数；令，则，所以是偶函数，即B是偶函数；
令，则，所以是偶函数，即C是偶函数；
令，则，所以是奇函数，即D是奇函数．
11．ABD ，，，
平面，
，正确；同理B正确；
平面，
，故D正确．
，，
平面，，
与不垂直，故C不正确．
12．【答案】67.5
【解析】平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率，于是．
13．【答案】2 0
【解析】由
得，．
14．【答案】
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，．故答案为．
15．解 （1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为：．
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为．
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为．
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务．
16．解 （1）证明：在四边形中，作于E，于F，
因为，，，所以四边形为等腰梯形，所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，所以平面，
又因平面，所以；
（2）如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，，则，，，
则，，，设平面的法向量，则有，
可取，则，，
所以与平面所成角的正弦值为．
17．解 （1）由题图可知，，故，
所以的最小正周期为．
当时，，即．又，所以．
所以的解析式为．
（2），
由，得，
所以当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．
18．解 （1）由题意，当时，
．
当时，由，
解得，此时；
当时，由，
解得，此时．
综上可得，所以病人一次服用的药剂，
则有效治疗时间可达．
（2）当时，，
由，在上均为减函数，可得在上递减，即有，
由，可得，可得m的最小值为．
19．解 （1）由题意，因为第1组有5人，则，，
所以第3组有（人），
第4组有（人），
第5组有（人）．
所以利用分层随机抽样在第3，4，5组中应分别抽取3人，2人，1人．
（2）记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，，第5组的1名志愿者为，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能组合有，，，，，，，，，，，，，，，共15种．
其中第3组的3名志愿者，，至少有一名志愿者被抽中的可能组合有，，，，，，，，，，，，共12种．
则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为．等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
利润
65
25
频数
40
20
20
20
利润
70
30
0
频数
28
17
34
21