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2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若复数z=7+i3+4i，则z的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.函数y=−2−x与y=2x的图象( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点轴对称 D. 关于直线y=x轴对称
3.求(2 x−1 x)4的展开式中x的系数( )
A. 32B. −32C. 24D. −24
4.对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是( )
A. 若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
B. |a+b|≤|a|+|b|
C. |a·b|≥|a||b|
D. |a−b|≤|a|−|b|
5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)的值为( )
A. 0.68B. 0.6C. 0.2976D. 3.88
6.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=3.122.已知P(χ2≥3.841)=0.05，依据小概率值α=0.05的独立性检验，则( )
A. x与y不独立
B. x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. x与y独立
D. x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
7.将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向左平移π3后得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的解析式是( )
A. g(x)=3sin(2x+7π12)B. g(x)=3sin(2x−π12)
C. g(x)=−3sin(2x−π12)D. g(x)=3sin(2x−5π12)
8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1ℎ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1ℎ的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. 25B. 38C. 58D. 34
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3)的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则( )
A. 这组数据的极差为39B. 这组数据的众数为33
C. 这组数据的中位数为31或33D. 这组数据的第60百分位数为33
10.下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱
B. 经验回归方程y =3x+1相对于点(2,6.5)的残差为−0.5
C. 在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为X，X～B(10,0.8)，则E(X)=8
11.已知函数f(x)=12ex，g(x)=12e−x，则( )
A. y=f(x)+g(x)是偶函数
B. f(2x)+g(2x)=[f(x)+g(x)]+[f(x)−g(x)]恒成立
C. y=f(x)+g(x)的值域是(0,+∞)
D. y=f(x)−g(x)的值域是[0,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______．
13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布N(75,82)如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，则B等级的最低分是______．
14.甲、乙、丙三人做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人，则经过5次传球后，球在甲手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算下列各式的值：
(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(32× 3)6− (−23)23；
(2)lg8+lg125lg 10⋅lg0.1−eln2+lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49．
16.(本小题12分)
三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c， 3bcsA−asinB=0．
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题12分)
某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1：
表1
表2
(1)根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表．
①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；
②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率．
(2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据α=0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),x0.05=3.841)
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
(1)求PC与底面ABCD所成角的正切值；
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的大小；
(3)若E是PC上的点，且PA//平面BDE，求四面体P−BDE的体积．
19.(本小题12分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye1，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0)，OB=(0,2)，OP=(3,2)，F是BP的中点，AF与OP交于T两点．
(1)求|OP|；
(2)求OT的坐标；
(3)若过点P的直线l分别与x轴、y轴正方向交于M、N两点，求S△OMN的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.BD
11.AB
12.13
13.75分
14.516
15.解：(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(32× 3)6− (−23)23
=(23)13×1+234×214+22×33−(23)13
=2+4×27=110；
(2)lg8+lg125lg 10⋅lg0.1−eln2+lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49．
=lg(8×125)(12lg10)⋅lg10−1−2+lg8+lg125−lg2lg3⋅2lg32lg2
=312×(−1)−2+lg1000−1
=−6−2+3−1=−6．
16.解：(1)因为 3bcsA−asinB=0，
所以由正弦定理可得 3sinBcsA=sinAsinB，
又sinB≠0，
所以 3csA=sinA，即tanA= 3，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)因为A=π3，a=2，
所以由余弦定理可得4=b2+c2−2bccsA≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号，
所以bc≤4，
所以S△ABC=12bcsinA≤12×4× 32= 3，当且仅当b=c=2时取等号，
则△ABC面积的最大值为 3．
17.解：(1)记事件A=“选到同学数学成绩优秀”，记事件B=“选到同学语文成绩优秀”，则A与B相互独立，
①P(AB)=73400，
②P(B|A)=n(AB)n(A)=73127．
(2)表2整理如下：
零假设H0：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(8×20−6×6)214×26×14×26=384408281≈4.642>3.841，
依据α=0.05的独立性检验，我们可以推断H0不成立；即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05．
18.解：(1)设O是AD的中点，连接PO，CO，
又侧面PAD是正三角形，O是AD的中点，
∴PO⊥AD，
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，PAD∩ABCD=AD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴∠PCO是PC与底面ABCD所成角，
在Rt△PCO中，PO= 3，OC= 7，
∴tan∠PCO= 217．
(2)又∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又O为AD的中点，所以BO⊥BC，
由(1)知，PO⊥BC，
∴BC⊥平面POB，则PB⊥BC，
∴∠PBO是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
而在Rt△PBO中，PO=BO= 3，
∴∠PBO=45°，
∴侧面PBC与底面ABCD所成二面角大小为45°．
(3)连结AC交BD于点F，连结EF，
∵底面ABCD为菱形，且PA//平面BDE，
∴EF//PA，
又∵在△PAC中，F为AC中点，
∴E为PC中点，
又PA//平面BDE，
∴P点到平面BDE的距离等于A点到平面BDE的距离，
即VP−BDE=VA−BDE=VE−ABD，
由(1)知AD⊥PO，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，
因为等边△PAD的边长为2，∴PO= 3，
又因为E为PC中点，
∴点E到底面ABCD的距离为12PO= 32，
∵△ABD为边长为2的等边三角形，
∴三棱锥P−BDE的体积为VP−BDE=VE−ABD=13⋅ℎ⋅S△ABD=13× 32× 34×22=12．
19.解：(1)依题意可得e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cs60°=1×1×12=12，
∵OP=(3,2)=3e1+2e2，|OP|2=(3e1+2e2)2=9e12+12e1⋅e2+4e22=9+12×12+4=19，
∴|OP|= 19．
(2)∵OA=(3,0)，OB=(0,2)，OP=(3,2)，
∴OA=3e1，OB=2e2，OP=3e1+2e2，∴OP=OA+OB，
∴四边形OAPB是平行四边形，即OA//BP，∴△PFT∽△OAT，
∵F是BP的中点，PFOA=FTAT=12，∴AT=23AF，
又AF=OF−OA=12(OB+OP)−OA=12(2e2+3e1+2e2)−3e1=2e2−32e1，
∴OT=OA+AT=3e1+23(2e2−32e1)=2e1+43e2，
∴OT=(2,43)．
(3)设OM=(x,0)，ON=(0,y)(x,y>0)，则OM=xe1，ON=ye2，
∵M，P，N三点共线，则设MP=λMN(0<λ<1)，
∴OP−OM=λ(ON−OM)，
∴(3e1+2e2)−(xe1+0e2)=λ[(0e1+ye2)−(xe1+0e2)]，
∴(3−x)e1+(2−0)e2=λ[(0−x)e1+(y−0)e2]，
∴3−x=−λx2=λy，∴x=31−λ,y=2λ(0<λ<1)，
∴S△OMN=12OM⋅ONsin60°= 34xy=3 32⋅1λ(1−λ)≥3 32⋅1[λ+(1−λ)2]2=6 3，
当且仅当λ=12时取等号，
∴S△OMN的最小值为6 3． X
0
1
2
P
0.36
1−2q
q2
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
73
54
127
不优秀
61
212
273
合计
134
266
400
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
6
14
不优秀
6
26
合计
40
数学成绩
优秀
不优秀
合计
优秀
8
6
14
不优秀
6
20
26
合计
14
26
40
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若复数z=7+i3+4i，则z的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.函数y=−2−x与y=2x的图象( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点轴对称 D. 关于直线y=x轴对称
3.求(2 x−1 x)4的展开式中x的系数( )
A. 32B. −32C. 24D. −24
4.对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是( )
A. 若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
B. |a+b|≤|a|+|b|
C. |a·b|≥|a||b|
D. |a−b|≤|a|−|b|
5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)的值为( )
A. 0.68B. 0.6C. 0.2976D. 3.88
6.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=3.122.已知P(χ2≥3.841)=0.05，依据小概率值α=0.05的独立性检验，则( )
A. x与y不独立
B. x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. x与y独立
D. x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
7.将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向左平移π3后得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的解析式是( )
A. g(x)=3sin(2x+7π12)B. g(x)=3sin(2x−π12)
C. g(x)=−3sin(2x−π12)D. g(x)=3sin(2x−5π12)
8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1ℎ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1ℎ的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. 25B. 38C. 58D. 34
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3)的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则( )
A. 这组数据的极差为39B. 这组数据的众数为33
C. 这组数据的中位数为31或33D. 这组数据的第60百分位数为33
10.下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱
B. 经验回归方程y =3x+1相对于点(2,6.5)的残差为−0.5
C. 在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为X，X～B(10,0.8)，则E(X)=8
11.已知函数f(x)=12ex，g(x)=12e−x，则( )
A. y=f(x)+g(x)是偶函数
B. f(2x)+g(2x)=[f(x)+g(x)]+[f(x)−g(x)]恒成立
C. y=f(x)+g(x)的值域是(0,+∞)
D. y=f(x)−g(x)的值域是[0,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______．
13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布N(75,82)如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，则B等级的最低分是______．
14.甲、乙、丙三人做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人，则经过5次传球后，球在甲手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算下列各式的值：
(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(32× 3)6− (−23)23；
(2)lg8+lg125lg 10⋅lg0.1−eln2+lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49．
16.(本小题12分)
三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c， 3bcsA−asinB=0．
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题12分)
某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1：
表1
表2
(1)根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表．
①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；
②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率．
(2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据α=0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),x0.05=3.841)
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
(1)求PC与底面ABCD所成角的正切值；
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的大小；
(3)若E是PC上的点，且PA//平面BDE，求四面体P−BDE的体积．
19.(本小题12分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye1，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0)，OB=(0,2)，OP=(3,2)，F是BP的中点，AF与OP交于T两点．
(1)求|OP|；
(2)求OT的坐标；
(3)若过点P的直线l分别与x轴、y轴正方向交于M、N两点，求S△OMN的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.BD
11.AB
12.13
13.75分
14.516
15.解：(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(32× 3)6− (−23)23
=(23)13×1+234×214+22×33−(23)13
=2+4×27=110；
(2)lg8+lg125lg 10⋅lg0.1−eln2+lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49．
=lg(8×125)(12lg10)⋅lg10−1−2+lg8+lg125−lg2lg3⋅2lg32lg2
=312×(−1)−2+lg1000−1
=−6−2+3−1=−6．
16.解：(1)因为 3bcsA−asinB=0，
所以由正弦定理可得 3sinBcsA=sinAsinB，
又sinB≠0，
所以 3csA=sinA，即tanA= 3，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)因为A=π3，a=2，
所以由余弦定理可得4=b2+c2−2bccsA≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号，
所以bc≤4，
所以S△ABC=12bcsinA≤12×4× 32= 3，当且仅当b=c=2时取等号，
则△ABC面积的最大值为 3．
17.解：(1)记事件A=“选到同学数学成绩优秀”，记事件B=“选到同学语文成绩优秀”，则A与B相互独立，
①P(AB)=73400，
②P(B|A)=n(AB)n(A)=73127．
(2)表2整理如下：
零假设H0：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(8×20−6×6)214×26×14×26=384408281≈4.642>3.841，
依据α=0.05的独立性检验，我们可以推断H0不成立；即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05．
18.解：(1)设O是AD的中点，连接PO，CO，
又侧面PAD是正三角形，O是AD的中点，
∴PO⊥AD，
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，PAD∩ABCD=AD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴∠PCO是PC与底面ABCD所成角，
在Rt△PCO中，PO= 3，OC= 7，
∴tan∠PCO= 217．
(2)又∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又O为AD的中点，所以BO⊥BC，
由(1)知，PO⊥BC，
∴BC⊥平面POB，则PB⊥BC，
∴∠PBO是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
而在Rt△PBO中，PO=BO= 3，
∴∠PBO=45°，
∴侧面PBC与底面ABCD所成二面角大小为45°．
(3)连结AC交BD于点F，连结EF，
∵底面ABCD为菱形，且PA//平面BDE，
∴EF//PA，
又∵在△PAC中，F为AC中点，
∴E为PC中点，
又PA//平面BDE，
∴P点到平面BDE的距离等于A点到平面BDE的距离，
即VP−BDE=VA−BDE=VE−ABD，
由(1)知AD⊥PO，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，
因为等边△PAD的边长为2，∴PO= 3，
又因为E为PC中点，
∴点E到底面ABCD的距离为12PO= 32，
∵△ABD为边长为2的等边三角形，
∴三棱锥P−BDE的体积为VP−BDE=VE−ABD=13⋅ℎ⋅S△ABD=13× 32× 34×22=12．
19.解：(1)依题意可得e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cs60°=1×1×12=12，
∵OP=(3,2)=3e1+2e2，|OP|2=(3e1+2e2)2=9e12+12e1⋅e2+4e22=9+12×12+4=19，
∴|OP|= 19．
(2)∵OA=(3,0)，OB=(0,2)，OP=(3,2)，
∴OA=3e1，OB=2e2，OP=3e1+2e2，∴OP=OA+OB，
∴四边形OAPB是平行四边形，即OA//BP，∴△PFT∽△OAT，
∵F是BP的中点，PFOA=FTAT=12，∴AT=23AF，
又AF=OF−OA=12(OB+OP)−OA=12(2e2+3e1+2e2)−3e1=2e2−32e1，
∴OT=OA+AT=3e1+23(2e2−32e1)=2e1+43e2，
∴OT=(2,43)．
(3)设OM=(x,0)，ON=(0,y)(x,y>0)，则OM=xe1，ON=ye2，
∵M，P，N三点共线，则设MP=λMN(0<λ<1)，
∴OP−OM=λ(ON−OM)，
∴(3e1+2e2)−(xe1+0e2)=λ[(0e1+ye2)−(xe1+0e2)]，
∴(3−x)e1+(2−0)e2=λ[(0−x)e1+(y−0)e2]，
∴3−x=−λx2=λy，∴x=31−λ,y=2λ(0<λ<1)，
∴S△OMN=12OM⋅ONsin60°= 34xy=3 32⋅1λ(1−λ)≥3 32⋅1[λ+(1−λ)2]2=6 3，
当且仅当λ=12时取等号，
∴S△OMN的最小值为6 3． X
0
1
2
P
0.36
1−2q
q2
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
73
54
127
不优秀
61
212
273
合计
134
266
400
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
6
14
不优秀
6
26
合计
40
数学成绩
优秀
不优秀
合计
优秀
8
6
14
不优秀
6
20
26
合计
14
26
40
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