湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 4
2. 已知向量满足，则值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 0
3. 若函数在处取得极值1，则（ ）
A. -4B. -3C. -2D. 2
4. 若是函数的极值点，则的极小值为．
A. B. C. D.
5. 将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）
A. B. C. D.
6. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 大于的角都是钝角B. 锐角一定是第一象限角
C. 第二象限角大于第一象限角D. 若，则是第二或第三象限的角
7. 已知数列为等差数列，且，则值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A. 2022B. 4044C. 2023D. 4046
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知集合，则（ ）
A. B.
C D.
10. 已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的首项为
B. 数列的通项公式为
C. 数列为递减数列
D. 数列为递增数列
11. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为______．
13. 曲线在点在时的切线斜率为______.
14. 若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：
16. 已知函数在处取到极小值．
（1）求的值；
（2）求曲线在点处的切线方程．
17. 在中，设，若，与交于点，
（1）用表示；
（2）在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
19. 已知曲线．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若曲线在处切线与曲线相切，求的取值．