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湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题(含答案)
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这是一份湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题(含答案)，共6页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共8小题）
1．设集合，，若集合，则集合M的子集个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．若则（ ）
A．9B．53C．81D．243
3．已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（ ）
A．B．C．b与α相交D．以上都有可能
4．同时掷两个骰子，向上的点数之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．7B．6C．5D．3
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是；②的值域是；
③是奇函数；④是区间上的增函数．
其中推断正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（共3小题）
9．若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数为B．z的模为13
C．z的虚部为D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知，且，则（ ）
A．xy的最小值为B．xy的最大值为
C．的最小值为8D．的最大值为8
11．在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为60°，则（ ）
A．
B．二面角为60°
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．
三．填空题（共3小题）
12．一组数据为12，13，15，12，24，则众数为______．
13．中，，，，则的面积=______．
14．已知，，则______．
四．解答题（共5小题）
15．（1）解不等式：．
（2）已知，求的值。
16．为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130．140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数；
（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
17．已知函数．
（Ⅰ）若是奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）若，求在上的值域．
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）设角A的平分线交BC于D，且，若，求的面积．
19．如图，在直三棱柱中，D是BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求几何体的体积．
2024年上学期涟源市高二5月联考数学试题参考答案
一、单选题
1-5BDDAA6-8AAC
二、多选题
9．CD 10．BC 11．BCD
三、填空题
12．答案：12
13．答案：
14．答案：2
四、解答题：
15．（1）解不等式： 答案：
（2）已知，求的值。答案：3
16【分析】（1）根据百分位数、众数的定义计算即可；
（2）根据古典概型公式计算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为，众数为；
（2）甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，
乙组20名同学的成绩不低于140分的有个，
记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，
任意选出2个成绩的所有样本点共个，
其中两个成绩不是同一组的样本点共个，
∴．
17．【分析】（Ⅰ）由已知结合奇函数的定义，即可求解a；
（Ⅱ）由已知先求出a，然后判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，
∴，，
令，则，
令，，
设，则，
∴，
∴在上单调递减，
∴，即，
同理可证在上单调递增，
∴，即，
故函数的值域为．
18．解：（1）由已知及余弦定理得，整理得，
所以，
又，所以，即角C的大小为．
（2）由（1）知，依题意画出图形．在中，，，
由正弦定理得，又中，，所以，故．
因为是角的平分线，所以，所以为等膘三角形，且．
所以的面积．
19（1）证明：连接，与交于点O，连接DO，由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面，侧面为矩形，所以O为中点，则．
又因为平面，平面，所以平面．
（2）解：由于是直棱柱，所以侧棱长就是几何体的高，又，
所以底面为直角三角形。
所以，，
所以．
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共8小题）
1．设集合，，若集合，则集合M的子集个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．若则（ ）
A．9B．53C．81D．243
3．已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（ ）
A．B．C．b与α相交D．以上都有可能
4．同时掷两个骰子，向上的点数之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．7B．6C．5D．3
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是；②的值域是；
③是奇函数；④是区间上的增函数．
其中推断正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（共3小题）
9．若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数为B．z的模为13
C．z的虚部为D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知，且，则（ ）
A．xy的最小值为B．xy的最大值为
C．的最小值为8D．的最大值为8
11．在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为60°，则（ ）
A．
B．二面角为60°
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．
三．填空题（共3小题）
12．一组数据为12，13，15，12，24，则众数为______．
13．中，，，，则的面积=______．
14．已知，，则______．
四．解答题（共5小题）
15．（1）解不等式：．
（2）已知，求的值。
16．为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130．140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数；
（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
17．已知函数．
（Ⅰ）若是奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）若，求在上的值域．
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）设角A的平分线交BC于D，且，若，求的面积．
19．如图，在直三棱柱中，D是BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求几何体的体积．
2024年上学期涟源市高二5月联考数学试题参考答案
一、单选题
1-5BDDAA6-8AAC
二、多选题
9．CD 10．BC 11．BCD
三、填空题
12．答案：12
13．答案：
14．答案：2
四、解答题：
15．（1）解不等式： 答案：
（2）已知，求的值。答案：3
16【分析】（1）根据百分位数、众数的定义计算即可；
（2）根据古典概型公式计算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为，众数为；
（2）甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，
乙组20名同学的成绩不低于140分的有个，
记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，
任意选出2个成绩的所有样本点共个，
其中两个成绩不是同一组的样本点共个，
∴．
17．【分析】（Ⅰ）由已知结合奇函数的定义，即可求解a；
（Ⅱ）由已知先求出a，然后判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，
∴，，
令，则，
令，，
设，则，
∴，
∴在上单调递减，
∴，即，
同理可证在上单调递增，
∴，即，
故函数的值域为．
18．解：（1）由已知及余弦定理得，整理得，
所以，
又，所以，即角C的大小为．
（2）由（1）知，依题意画出图形．在中，，，
由正弦定理得，又中，，所以，故．
因为是角的平分线，所以，所以为等膘三角形，且．
所以的面积．
19（1）证明：连接，与交于点O，连接DO，由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面，侧面为矩形，所以O为中点，则．
又因为平面，平面，所以平面．
（2）解：由于是直棱柱，所以侧棱长就是几何体的高，又，
所以底面为直角三角形。
所以，，
所以．
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