2022-2023学年湖南省娄底市涟源市第二中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖南省娄底市涟源市第二中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：A.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解.

【详解】的否定是，的否定是，

故“，”的否定是“，”，

故选：D

3．若，，则的值可能是（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】运用不等式的性质求出的范围即可.

【详解】因为，，所以

所以

故选：B

【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单.

4．函数的定义域是（　　）

A． B．

C． D．R

【答案】C

【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.

【详解】要使函数有意义，需满足即且.

所以函数定义域为

故选：C.

5．设，则的大小关系是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a,b,c的范围即可比较其大小关系.

【详解】由题意可知：，则：.

故选C.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．已知角的终边经过点，且，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用任意角的三角函数定义列方程求解，进而可得解.

【详解】角的终边经过点，

由，可得，所以.

所以.

故选D.

【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.

7．已知，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.

【详解】.

故选：D

【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.

8．已知函数则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】将代入分段函数的解析式即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

又，所以，

故选：C.

二、多选题

9．对于实数，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答.

【详解】对于A，，两边同时除以，则，A正确；

对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确；

对于C，因为，则，C正确；

对于D，取，满足，而，D错误.

故选：ABC

10．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】根据幂函数的性质分别判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于选项A：是奇函数且是增函数，故选项A正确；

对于选项B：是奇函数且是增函数，故选项B正确；

对于选项C：是奇函数，在和单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C不正确；

对于选项D：是偶函数，不符合题意，故选项D不正确；

故选：AB

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数的图像过定点

B．函数有且只有两个零点

C．函数的最小值是1

D．在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称

【答案】CD

【分析】A选项，由对数函数的性质判断图像所过定点；B选项，数形结合，由零点的存在定理判断零点个数；C选项，由指数函数的单调性求最小值；D选项，由函数图像的对称变换研究对称性.

【详解】对数函数的图像过定点，A选项错误；

如图所示，作出函数和函数的图像，

结合图像可知，函数满足，

，，所以，使，

故函数有且只有三个零点，故B选项错误；

，则，所以函数的最小值是1，C选项正确；

把中的用替换，得，

则在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称，D选项正确.

故选：CD.

12．函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．的最小正周期是 B．是奇函数.

C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴

【答案】BC

【分析】由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质.

【详解】由函数图像可得，，

最小正周期，，，

则，

又由题意可知当时，，

即，则，

故，所以.

的最小正周期是，A选项正确；

，是偶函数，B选项错误；

时，，是正弦函数的单调递减区间，C选项错误；

由，得曲线的对称轴方程为，

当时，得直线是曲线的一条对称轴，D选项正确；

选项中错误的说法是BC.

故选：BC

三、填空题

13．已知且. 则ab的最大值为         .

【答案】

【分析】根据两个数的和为定值，利用基本不等式求两个数乘积的最大值即可.

【详解】因为且，

由基本不等式可得：，

当且仅当时等号成立.

故答案为：.

14．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围      ．

【答案】

【分析】依据函数零点存在定理列不等式组解之即可求得实数a的取值范围.

【详解】函数在区间上为增函数，

若函数在区间上有零点，则，，

即，解之得

故答案为：

15．已知，都是锐角，，，则           ．

【答案】

【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．

【详解】解：，都是锐角，，

又，，

，，

则

．

故答案为：

【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．

16．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为      ．

【答案】

【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.

【详解】当时，，符合题意，

当时，二次函数的判别式为：，

若，此时函数的零点为，符合题意；

当时，只需，所以且；

当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意；

所以实数a的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知，，.

(1)求，及；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)，，.

(2)

【分析】（1）根据定义，直接进行集合的交并补运算；

（2）根据集合的包含关系，求的取值范围

【详解】（1）已知，，

则有，，.

（2），，

，则，即的取值范围为.

18．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．

(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；

(2)若f(1)=2，

①a＞0，b＞0，求的最小值；

②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)①9；②

【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；

（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．

【详解】（1）由题意的两根是和1且，

所以，解得．

（2）①，，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是9．

②由①得，，即，

的解集为R，时，不合题意，

所以，且，解得，

所以的范围是．

19．设，且.

(1)求的值；

(2)求在区间上的最大值.

【答案】（1）；（2）2

【分析】（1）直接由求得的值；

（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域．

【详解】解：(1)∵，

∴，

∴；

(2)由得，

∴函数的定义域为，

，

∴当时，是增函数；当时，是减函数，

∴函数在上的最大值是．

【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．

20．已知.

(1)求的解析式及定义域；

(2)求的值域，单调区间并判断奇偶性.（不要求写理由，只写结果）

【答案】(1)，定义域为；

(2)详见解析.

【分析】（1）利用配凑法求的解析式，根据解析式求定义域；

（2）由定义法求函数单调区间，得函数值域；由定义法判断函数奇偶性.

【详解】（1）因为，

所以.

函数有意义，则，

所以的定义域为.

（2）因为，任取，

所以，

由，可得，，

当时，；当时，，

所以当时，，，

当时，，，

所以在上单调递减，在上单调递增，；

同理，在上单调递增，在上单调递减，；

所以值域为；

又，即，

，即，

所以为非奇非偶函数；

所以函数的值域为；单调增区间为，，单调减区间为，；为非奇非偶函数.

21．（1）已知．求的值．

（2）已知函数.求的解析式及最小正周期.

【答案】（1）；（2），最小正周期为.

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值；

（2）利用诱导公式、降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期公式求最小正周期.

【详解】（1）已知，

则

（2）

.

最小正周期为.

22．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．

(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；

(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．

①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？

②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？

【答案】(1)A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；

B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.

(2)①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.

【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；

（2）①：利用代入法进行求解即可；

②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为A产品的利润y与投资x成正比，

所以设，由函数图象可知，当时，，

所以有，所以；

因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，

所以设，由函数图象可知：当时，，

所以有，所以；

（2）①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，

所以A产品的利润为，

B产品的利润为，

所以获得总利润为万元；

②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，

设企业获得的总利润为万元，

所以，令，

所以，

当时，即当时，有最大值，最大值为，

所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.