2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二上学期10月联合调研数学试题含答案

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二上学期10月联合调研数学试题一、单选题1．若直线过点，，则该直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线的斜率即为直线倾斜角的正切值，求倾斜角即可.【详解】因为直线过点，，所以该直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，所以.故选：B2．若，则z=（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简即可.【详解】.故选：C3．已知向量，，若，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据向量的数量积运算法则计算即可；【详解】因为，所以，故选：B.4．已知，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．，，，，则【答案】D【分析】根据直线、平面的位置关系的空间想象，应用线面、面面平行与垂直判定定理来判断各项.【详解】对A，若，，则或，A错误；对B，若，，，则或相交，B错误；对C，若，，，若时也满足条件，C错误；对D，若，，，，，又，，则.故选：D.6．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（    ）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，因为下一段圆弧的半径为13，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为，故选：C7．已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出辅助线，表达出，，，根据斜率得到方程，求出，得到离心率.【详解】过点作⊥轴于点，因为为等腰三角形，，所以，，故，，故，因为直线的斜率为，所以，解得，故离心率为.故选：B8．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是A． B．C． D．【答案】C【分析】由消去y整理得，设，则．过点分别作直线的垂线，垂足分别为，则． 对于A，，不为定值，故A不正确．对于B，，不为定值，故B不正确．对于C，，为定值，故C正确．对于D，，不为定值，故D不正确．选C．   点睛：抛物线定义的两种应用：（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．二、多选题9．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（    ）A．a的值为-2 B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.【详解】由题意可知：，故，故A正确；乙组样本数据方差为，故B正确；设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；故选：ABD.10．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（    ）A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称【答案】BC【分析】根据三角函数图像的伸缩以及平移变换可得的表达式，根据正弦型函数的周期公式可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；采用代入x的值，验证y的值的方法可判断C，D.【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，即，故的最小正周期为，A错误；由，得，由于在上单调递减，故在区间上单调递减，B正确；将代入中，得，故的图象关于直线对称，C正确；将代入中，得，即的图象不关于点成中心对称，D错误，故选：BC11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的范围是D．三棱锥的体积不变【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质，结合三棱锥的体积性质逐一判断即可.【详解】分别以、、为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，对于A：设边长为1，则，，所以，因为，所以，即，又平面，所以直线平面，又平面，所以平面⊥平面，故A正确；对于B：因为点P在线段上运动，所以设，，则点，则，由选项A可知：平面的法向量为，因为，又平面，所以直线平面，故B正确；对于C：，，设异面直线与所成角为，所以，因为，所以当时，，当时，，因为，所以，综上，所以，故C错误；对于D：因为，点P在线段上运动，所以点P到直线的距离不变，即的面积不变，又因为点到平面的距离恒为，所以点到平面的距离不变，所以三棱锥的高不变，所以三棱锥的体积为定值，所以为定值，故D正确.故选：ABD12．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点为，点为坐标原点，动点满足.下列四个命题中，正确的是（    ）A．点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B．点的横坐标的取值范围是C．的最小值为 D．的面积的最大值为【答案】ACD【分析】A项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；B项结合曲线方程特征消元转化进行判断即可；C项根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；D项根据方程特征求得P纵坐标的范围，结合三角形面积公式进行判断即可.【详解】由题意可知P的轨迹方程为：，则关于轴对称的点的横纵坐标满足，同理关于轴对称的点，关于原点对称的点均满足轨迹方程，，即P的轨迹关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称，故A正确；由基本不等式可知，当且仅当，即时取得最小值，故C正确；将轨迹方程平方得，整理得，解之得，所以，故B错误；又因为，故，当且仅当时取得最大值，故D正确.故选：ACD.【点睛】难点在于对轨迹方程的变形与化简，利用方程的特点求横纵坐标的取值范围是本题关键.三、填空题13．从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的第25百分位数为 ．【答案】88【分析】由百分位数的概念求解【详解】，故第25百分位数为第3小的数88，故答案为：8814．已知，均为锐角，，，则的值为 【答案】【分析】直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果．【详解】已知，均为锐角，，，则，所以：，故．故答案为．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的动点，，，点P到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则＝ ．【答案】【分析】根据已知条件求得，求得双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】依题意，所以，双曲线的标准方程为，所以双曲线的渐近线为，设，则，，则.故答案为：16．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为 ．【答案】【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积.【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，因为正四面体的棱长为6，所以正四面体的高，正四面体的表面积为，因为，所以，解得，所以蛋黄的体积为，故答案为：四、解答题17．溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总得分为3分的概率；(2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，甲队得3分，即三人都回答正确，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分的概率；（2）记“乙队得分为1分”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率．【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率P(A)＝；（2）“乙队总得分为1分”为事件B.乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，则P(B)＝由题意得事件A与事件B相互独立，则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3asinC=4ccosA，.(1)求；(2)如图，点M为边上一点，，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将条件边化角，结合平方关系可得解；（2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案.【详解】（1）由及正弦定理，得，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以.（2）设，易知，则，在中，由余弦定理，得，即，解得 (负值已舍去)，所以， 在中，，，即，又，则，所以.所以.19．在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上．(1)若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；(2)若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】(1)和(2)[]【分析】（1）先求出圆心坐标，之后利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求切线方程，注意按照斜率是否存在进行讨论；（2）利用求出点的轨迹方程，之后由题意转化为两个圆有交点的问题，列不等式计算的范围.【详解】（1）解：因为圆心同在直线和直线上，所以，解得所以圆心，所以圆的方程为：，则圆的切线：若过点的直线斜率不存在，此时恰为圆的切线； 若过点的直线斜率存在，设直线方程为：，即，因为直线与圆相切，所以，解得：，所以切线方程为：，即，综上可知：过点圆的切线方程为：和．（2）设点，因为，所以，则，即的轨迹方程为，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，又因点在圆上，则圆与圆必有公共点，又圆的圆心，半径为，则，即， 即，解得：，所以圆心的横坐标的取值范围为[] .20．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明平面，即可证明面面垂直；（2）表达出二面角的平面角，即可求出二面角的平面角的正弦值.【详解】（1）由题意，因为四边形为菱形，所以.连接AC.因为，所以为等边三角形，从而. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以.∵，面，平面，面，∴平面.又平面，∴平面PCE⊥平面PAD（2）由题意及（1）得，在平面中，过点作，垂足为，连接.因为平面,平面，所以.又, 平面,平面，所以平面. 又平面，所以，从而是二面角的平面角．在Rt中，,，所以.在Rt中，，，所以.在Rt中,,所以二面角的平面角的正弦值为.21．已知双曲线C : 的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆 O :上，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O为坐标原点）的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设双曲线C的半焦距为c，通过点在圆上易得的值，通过，求解的值，进而得到双曲线的标准方程；（2）直线与轴相交于点，当动直线的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线的斜率存在时，且斜率，不妨设直线，由直线与双曲线的位置关系得，联立方程求解M，N纵坐标，求解面积即可.【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c，由点在圆O :上，得a=1，由，得，所以==3，所以双曲线C的标准方程为.（2）设直线与轴相交于点，双曲线C的渐近线方程为当直线的斜率在存在时，直线为1，|，得|MN||OD|1 当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则把直线的方程与方程C:联立得3=0由直线与轨迹C有且只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，所以，且，于是得，得， 设，由，得，同理得，所以=|==综上，△OMN 的面积为.22．已知椭圆C：（）过点，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A关于y轴的对称点为B，直线l与平行，且与椭圆C相交于，N两点，直线，分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形为菱形．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意列出关于的方程组求解即可；（2）求出直线的斜率为，设直线的方程为，代入椭圆方程，设坐标，由直线的方程得点的纵坐标，同理得点的纵坐标，结合韦达定理求得，进而可得线段AB，PQ垂直且平分，从而得证.【详解】（1）由题意可知，解得．所以椭圆的标准方程为．（2）点关于轴的对称点为点的坐标为．直线OB的斜率为．因为直线与OB平行，设直线的方程为．由得,由，得，且,设，则,  直线BM的方程为，令，得点的纵坐标为．同理可得点的纵坐标为． ，，所以线段PQ中点坐标为．又线段AB中点坐标也为，所以线段AB，PQ垂直且平分．所以四边形APBQ为菱形．