2021-2022学年湖南省娄底市涟源市第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省娄底市涟源市第二中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.

【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，

故选：D.

2．如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据代入计算化简即可.

【详解】

故选：B.

3．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒

【详解】由题知圆心为，半径，

∴圆的方程为﹒

故选：A﹒

4．已知点到直线的距离为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.

【详解】解：由题意得．

解得或．，．

故选：C.

5．椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出便可得到离心率.

【详解】解：由题意得：

，

，

故选：D

6．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.

【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，

则由题意可知，，即，故，

所以双曲线的标准方程为.

故选：C．

7．在等比数列中，若，，则（    ）

A．10 B．16 C．24 D．32

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质即可求出.

【详解】等比数列中，若，，则，

故选：.

【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题

8．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由分母构成等差数列即可求出.

【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．关于直线，下列说法正确的有（    ）

A．过点 B．斜率为

C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1

【答案】BC

【分析】A. 当时，，所以该选项错误；

B. 直线的斜率为，所以该选项正确；

C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    

D. 当时，，所以该选项错误.

【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；

B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；

C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    

D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.

故选：BC

10．已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（    ）

A．的实轴长为 B．的离心率为

C． D．的焦距为

【答案】AD

【分析】根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误.

【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，

∴，故，

∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为.

∴A、D正确，B、C错误.

故选：AD

11．下列四个选项中，正确的是（    ）

A．数列的图象是一群孤立的点

B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列

C．数列，，，，…的一个通项公式是

D．数列，，…，是递减数列

【答案】AD

【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．

【详解】解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；

对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；

对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；

对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．

故选：AD.

12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ）

A．为定值

B．的周长的取值范围是

C．当时，为直角三角形

D．当时，的面积为

【答案】ACD

【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.

【详解】设椭圆的左焦点为，则

所以为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，

所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，

又因为，∴

所以为直角三角形，C正确；

将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．抛物线上点的横坐标为4，则到抛物线焦点的距离等于______.

【答案】8

【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由抛物线，可得，

根据抛物线的定义可得，到抛物线焦点的距离.

故答案为：8.

14．在等差数列中，已知，，，则______.

【答案】8

【分析】根据等差数列的前n项公式求解即可.

【详解】根据题意，，

整理得，解得或（舍去）.

故答案为：8.

15．已知，，若，则m的值为______.

【答案】6

【分析】根据向量垂直于向量数量积之间的关系解方程即可.

【详解】解：∵，

∴，即，

∴，解得.

故答案为：6.

16．已知椭圆的焦距为4，则的值为______.

【答案】9或1

【分析】分焦点在轴和轴两种情况求解即可.

【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，即，

此时，

因为焦距为4，故，解得；

当椭圆的焦点在轴上时，，即，

此时，

因为焦距为4，故，解得.

故答案为：9或1.

四、解答题

17．在中，已知，，.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由直线方程的两点式可得；

（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.

【详解】（1），，

边所在的直线方程为，即；

（2）设到的距离为，

则，

，

方程为：即：

.

.

18．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．

（1）求证：；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；

（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值

【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

则，，

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.

19．已知椭圆的两焦点分别为、，长轴长为6．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可知，椭圆的焦点在上，，，再由，即可求解.

（2）由题意可知双曲线的，，再由，即可求解.

【详解】解：（1）由、，长轴长为6，

得：，，所以，

∴椭圆方程为．

（2）由题意得，双曲线的，，

所以，

∴双曲线方程为．

20．已知等差数列中，，公差d＝2.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）直接利用等差数列的通项公式求解；

（2）利用等差数列的前项和公式求解.

【详解】（1）解：由题得数列的通项公式为.

所以数列的通项公式为.

（2）解：由题得数列的前n项和为.

21．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，

所以即，解得，

所以；

（2）由（1）得，

所以.

22．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2)2x﹣y﹣6＝0﹒

【分析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果．

(2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程．

【详解】（1）由抛物线定义可知：，解得：，

抛物线的方程为：．

（2）由抛物线方程知：，设直线，，，，，

联立方程，得：，，，

以线段为直径的圆过点，，

，解得：，

直线的方程为：，即．