2023-2024学年江苏省苏州市三校高二上学期10月阶段检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市三校高二上学期10月阶段检测数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．55B．60C．65D．75
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式列方程，解方程得到，，然后根据等差数列求和公式求和即可.
【详解】设等差数列的公差为d，，，
，，
解得，，则.
故选：C.
2．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断在圆上，进而求得切线的斜率，再根据直线的垂直关系求解即可.
【详解】解：因为，
所以，在圆上，圆心为，
所以，，
所以，直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：A.
3．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】正负相间用表示，∴．
故选D．
【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
4．已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出定点P的坐标，再求出圆C的圆心C及线段CP长即可求解作答.
【详解】直线，即，
由解得，即，圆C：的圆心，，
所以所求圆的标准方程为.
故选：B
5．点在曲线上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.
【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，
表示点到直线距离的5倍，
点到直线的距离，即直线与圆相离，
点到直线的距离，
最小值为，最大值为，
则的取值范围为.
故选：B
6．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为.
【详解】如下图所示：
由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为点，则，
解得，，即点，
由对称性可知，
故选：D.
【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，
设，，则，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因为，故解得，
则，
在中，，即，所以．
故选：C．
8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（ ）
A．B．C．和D．和
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.
【详解】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，
设，其中且，
直线的方程为，纵截距为，
直线的方程为，纵截距为，
依题意有，整理得，
所以在圆上，圆心为，半径为.
则圆与圆有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，
当两圆外切或内切时：
圆的圆心为，半径为，
则或，
前者无解，后者解得.
当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，
，将代入，
得.

综上所述，的值为或.
故选：C
【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.
二、多选题
9．已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ）
A．直线l与圆相交
B．若点Q为圆上的动点，则的取值范围为
C．与直线l平行且截圆的弦长为2的直线为或
D．圆C上存在两个点到直线的距离为
【答案】BD
【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ABD，由平行的斜率关系，结合弦长公式即可求解C.
【详解】对于A:圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，A错误，
对于B，圆上的点到直线的最小距离为，故的取值范围为，B正确，
对于C，设与平行的直线为，
由于圆心到直线的距离为，所以，
故直线为或，故C错误，
对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，
而，故圆C上存在两个点到直线的距离为，D正确，
故选：BD
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
【答案】BC
【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；
B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确；
C选项，设椭圆：，双曲线：，，
由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；
D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标.
【详解】对A，圆变形为，故圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
当时，故圆心距，
此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；
对B，圆的圆心到直线的距离为，
而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
对C，设椭圆：，双曲线：，，
因为，所以，，
解得：，，
由勾股定理：，即，
化简得：，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，C正确；
对D，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
则此圆圆心为，半径为，
故圆的方程为，
，与相减得：，
因为，所以过定点，
即直线经过定点，D错误.
故选：BC
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
11．如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆
B．
C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
【答案】BC
【分析】由截口曲线的含义可判断A；过N作于点G，求出而， ，即可判断B；根据图形的几何性质求得椭圆的之间的关系式，即可求得离心率，可判断C，D.
【详解】由截口曲线知，当时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A错.
对于B，过N作于点G，而，

所以，而，
同理过N向作垂线，可得，
，B正确；
对于C，D，设圆锥上部球与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆，半径为r，
球与的切点为椭圆左焦点F，
设①，
，
,
解得，而，
故，故C正确，D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设，结合图形的几何性质，得到，，即可求解.
12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
【答案】ACD
【分析】当斜率不存在时可得点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用和垂直关系可构造等式求得点轨迹；结合两种情况可知A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.
【详解】
对于A，当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，
由得：，
由整理可得：，，
又，，即，，
点轨迹为；
将检验，满足，
蒙日圆的方程为，A正确；
对于B，为椭圆上的点，，
；
的最小值为点到直线的距离，又，
，，B错误；
对于C，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，
（当且仅当时取等号），
此矩形面积最大值为，C正确；
对于D，设位于椭圆上半部分，即，，
在处的切线斜率，切线方程为：，
即，在处的切线方程为；
同理可得：当位于椭圆下半部分，即时，切线方程为：；
在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；
设，则，可知坐标满足方程，
即切点弦所在直线方程为：；
当时，，此时所在直线方程为：，
，；
当时，由得：，
由A知：，，
设，则，，
，
又原点到直线的距离，
，
令，，，则，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，
，，
综上所述：的面积的最小值为，最大值为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
三、填空题
13．设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为 .
【答案】，或
【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由可知：该圆的圆心坐标为，半径为，
因为，所以该圆过原点，
设直线与圆相交另一点为点，
因为直线经过原点且将圆分成两部分，
所以弦所以圆心角为，因为圆的半径为，
所以
因此圆心到直线的距离为，
当直线不存在斜率时，方程为，显然到直线的距离为1，符合题意；
当直线存在斜率时，设为，方程为，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即方程为，
综上所述：直线的方程为，或，
故答案为：，或
14．在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则 .
【答案】
【分析】设，由椭圆定义求出，，得到答案.
【详解】由题意可设，以为焦点且经过点的椭圆为，
以为焦点且经过点的椭圆为，
由椭圆定义可得，，
故，
同理可知，，
则，所以.
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，动点满足，若动点在圆：，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据，设出点M的坐标，求得M的轨迹方程，根据动点在圆上，从而得到M的轨迹与圆C有公共点，结合两圆的位置关系，得到两圆心之间的距离大于等于半径差的绝对值小于等于两圆半径和，从而得到r所满足的不等关系，求得结果.
【详解】设，因为动点满足，
所以，
化简得，即
若动点在圆上，
就是圆与圆有公共点，
所以，解得，
故答案为：.
16．已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】设圆心为，由四边形的面积得，利用转化为，再由距离公式求的最小值即可.
【详解】
设圆心为，半径为2，则四边形的面积，
所以，
又在中，，
所以，
设，则，
所以当时，有最小值，
此时有最小值
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题中求有最小值关键是利用四边形的面积将的表达式求出来，再转化为的函数求最值.
四、解答题
17．在公差为的等差数列中，已知，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)当时，，
当时，；
(2)65
【分析】（1）根据基本量进行计算；（2）先判断前10项为正数，再计算即可.
【详解】（1）由，，
，解得或，
当时，，
当时，；
（2）由， ，
所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，
所以==.
18．已知点，圆的半径为1.
(1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；
（2）由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出的取值范围.
【详解】（1）由题意得圆标准方程为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
所以切线的方程为或.
（2）由圆心在直线上，设，
设点，由，
得：，
化简得：，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，
解得：或.
19．如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3．
(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
(2)若点N的坐标为，求过点N且被圆E截得的弦长与CD等长的直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等腰梯形的对称性，可确定圆心在轴上，设出圆心和半径，根据几何关系列出方程，即可得圆E的方程；
（2）考虑过N的直线斜率是否存在，再利用半径、弦长与圆心到直线之间的距离三者之间关系即可解题.
【详解】（1）由题意知，设圆心，半径为，
则，解得，
∴等腰梯形ABCD的外接圆E的方程为：
（2）若过N的直线斜率不存在，则该直线为，
圆心到该直线距离为2，
∴该直线被圆E截得的弦长为：，符合题意；
若过N的直线斜率存在，则设该直线为即，
圆心到该直线距离为，
∵过点N且被圆E截得的弦长与CD等长，
∴，无解；
综上所述，过点N且被圆E截得的弦长与CD等长的直线的一般式方程.
20．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，
则可设双曲线，
因为在双曲线上，
所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，
设，，
因为，
所以，
则，，
又，同理得，
设的倾斜角为，且，则，
所以.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
21．已知点在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值.
【答案】(1)点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
(2)2
【分析】（1）根据题中关系结合椭圆定义即可得到答案；
（2）设，由直线与圆相切得，再由直线与椭圆相交以及，可得，由弦长公式结合基本不等式可得答案．
【详解】（1）由关系式，结合椭圆的定义，
点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
∴，，，
∴点M的方程为.
（2）联立方程，则，
设，，
则，，，
直线l：与圆O相切，则，

，
∵，∴，解得，
.
当且仅当取等号.
所以弦长的最大值为2.

22．已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线CD过定点，定点坐标为．
【分析】（1）方法一：将代入方程，结合求得得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得得双曲线方程.
（2）方法一：设CD的方程为，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，求出，由B点与D点写出BD方程，求出，利用两个相等建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.
方法二：设CD的方程为，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方程，将代入以上两方程，两式相比消去建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.
【详解】（1）法一．由解得，∴双曲线E的标准方程为．
法二．左右焦点为，，
，
∴双曲线E的标准方程为．
（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为，
联立消去x得，
，，，
AC的方程为，令，得，
BD的方程为，令，得，

，
解得或，即或（舍去）或（舍去），
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为，
联立，消去x得，
，
AC的方程为，BD的方程为，
分别在AC和BD上，，
两式相除消去n得，
又，．
将代入上式，
得
．
整理得，解得或（舍去）．
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.