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2023-2024学年江苏省苏州市吴江中学高二上学期10月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴江中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为
D．数列0，2，4，6，可记为
【答案】C
【分析】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示.
【详解】对A，数列可为常数数列，A错误；
对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；
对C，当时，，C正确；
对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.
故选：C
2．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】正负相间用表示，∴．
故选D．
【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
3．设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于（ ）
A．27B．81C．93D．243
【答案】B
【分析】由递推式得出数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，可得选项.
【详解】根据2Sn＝3an－3，得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
故选:B.
【点睛】本题考查由数列的递推式得出数列是等比数列，以及等比数列的通项公式，属于基础题.
4．在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得是首项为，公差为的等差数列，从而先利用等差数列的通项公式求出，进而可求出
【详解】解：因为，
所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题.
5．在正项等比数列{}中，，则=
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解.
【详解】因为，
所以.
选D.
【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】C
【分析】根据项之间的关系，先求出公差和，再写出通项公式，再求正数项的个数，即可.
【详解】设等差数列的公差为d，由，，两式相减可得，
则．∵，∴，
故，
当取得最大值时有，即解得，
又，∴．
故选：C
7．已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（ ）
A．65B．80C．90D．105
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质得，，成等比数列，计算得到答案.
【详解】设数列的前n项和为，由等比数列的性质得，，成等比数列．
，，故45，，成等比数列，
故，解得．
故选：A.
8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为
A．，14580元B．，14580元
C．，10800元D．，10800元
【答案】B
【解析】设“衰分比”为，甲获得的奖金为，联立方程解得，得到答案.
【详解】设“衰分比”为，甲获得的奖金为，则.
，解得，故.
故选：.
【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、多选题
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．
【详解】解：，，，，公比为整数．
解得．
，．
，数列是公比为2的等比数列．
．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC．
10．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.
【详解】由题意可得，则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故选：ACD.
【点睛】本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．在数列中，，，下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．
D．数列是递增数列
【答案】BC
【分析】根据已知化简得出等差数列可以判断AB选项，根据等差数列通项公式计算得出通项公式判断C选项，最后结合单调性判断D选项.
【详解】由，整理得，
故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误，
由等差数列可得，所以，，则C选项正确，
由通项公式可知数列是递减数列，D选项错误.
故选：BC.
12．已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，可得
故选：BCD
三、填空题
13．已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则 ．
【答案】63
【详解】试题分析：因为是方程的两个根，且等比数列是递增数列，所以，即，则；故填63．
【解析】1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．
14．在数列中，，，，则 ．
【答案】
【分析】列举出前几项，观察出其规律，即可.
【详解】因为，，，所以，
则，，则，，则，，则，
由此可得数列的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，，，
整个数列各项为：，
四个一组，以4为周期，
则
所以．
故答案为：
15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 .
【答案】135
【分析】根据题意可知所求数为能被15整除余1，得出数列的通项公式，然后再求解项数即可.
【详解】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数，
故，又，解得.
故答案为：135.
16．若等差数列的首项，，记，则 ．
【答案】
【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解.
【详解】因为，，则，
可得等差数列的前n项和，
令，解得，且，
当时，则；
当时，
；
综上所述：.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，求下列数列的通项公式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用可得答案；
（2）利用可得答案.
【详解】（1）当时，，
又满足，
故；
（2）当时，，
当时，，
故
18．已知数列满足且.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由，构造出，再求出，可得结论；
（2）由（1）和等比数列的通项公式可得解.
【详解】（1）证明：，
又，
是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知
.
【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题.
19．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
(1)设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入
【分析】（1）根据题意可知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列前项和公式即可求解；
（2）根据（1）中解析式列出不等式，令，化简不等式即可求解.
【详解】（1）2021年投入为1000万元，第年投入为万元，
所以年内的总投入为
，
2021年收入为500万元，第2年收入为万元，第年收入为万元
所以年内的总收入为．
（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即，化简得，
设，代入上式并整理得，
解此不等式，得或（舍去）．即，
不等式两边取常用对数可得，即
所以，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入.
20．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)-若数列的前项和为，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得，利用累乘法即可得数列的通项公式；
(2)利用裂项相消可得,即可证明.
【详解】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所以.
得证.
21．在数列中，，是与的等差中项，
(1)求证：数列是等差数列
(2)令，求数列的前项的和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求得，利用等差数列的定义可证得结论成立；
（2）求出，可计算得出，利用并项求和法可求得数列的前项的和.
【详解】（1）解：由题意知是与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
所以，，
又由，可得，所以数列是首项和公差均为的等差数列.
（2）解：由（1）可得：，
，
对任意的，，
因此，
.
22．若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）应用已知得出,根据等差等比通项公式计算即可;
（2）应用错位相减法计算求解.
【详解】（1）∵数列满足，，且．∴，解得．
又∵数列是公差为2的等差数列，∴．
∴，，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即．
（2）数列满足，
数列的前n项和，
∴，
两式相减得，
∴
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为
D．数列0，2，4，6，可记为
【答案】C
【分析】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示.
【详解】对A，数列可为常数数列，A错误；
对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；
对C，当时，，C正确；
对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.
故选：C
2．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】正负相间用表示，∴．
故选D．
【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
3．设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于（ ）
A．27B．81C．93D．243
【答案】B
【分析】由递推式得出数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，可得选项.
【详解】根据2Sn＝3an－3，得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
故选:B.
【点睛】本题考查由数列的递推式得出数列是等比数列，以及等比数列的通项公式，属于基础题.
4．在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得是首项为，公差为的等差数列，从而先利用等差数列的通项公式求出，进而可求出
【详解】解：因为，
所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题.
5．在正项等比数列{}中，，则=
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解.
【详解】因为，
所以.
选D.
【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】C
【分析】根据项之间的关系，先求出公差和，再写出通项公式，再求正数项的个数，即可.
【详解】设等差数列的公差为d，由，，两式相减可得，
则．∵，∴，
故，
当取得最大值时有，即解得，
又，∴．
故选：C
7．已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（ ）
A．65B．80C．90D．105
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质得，，成等比数列，计算得到答案.
【详解】设数列的前n项和为，由等比数列的性质得，，成等比数列．
，，故45，，成等比数列，
故，解得．
故选：A.
8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为
A．，14580元B．，14580元
C．，10800元D．，10800元
【答案】B
【解析】设“衰分比”为，甲获得的奖金为，联立方程解得，得到答案.
【详解】设“衰分比”为，甲获得的奖金为，则.
，解得，故.
故选：.
【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、多选题
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．
【详解】解：，，，，公比为整数．
解得．
，．
，数列是公比为2的等比数列．
．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC．
10．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.
【详解】由题意可得，则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故选：ACD.
【点睛】本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．在数列中，，，下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．
D．数列是递增数列
【答案】BC
【分析】根据已知化简得出等差数列可以判断AB选项，根据等差数列通项公式计算得出通项公式判断C选项，最后结合单调性判断D选项.
【详解】由，整理得，
故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误，
由等差数列可得，所以，，则C选项正确，
由通项公式可知数列是递减数列，D选项错误.
故选：BC.
12．已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，可得
故选：BCD
三、填空题
13．已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则 ．
【答案】63
【详解】试题分析：因为是方程的两个根，且等比数列是递增数列，所以，即，则；故填63．
【解析】1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．
14．在数列中，，，，则 ．
【答案】
【分析】列举出前几项，观察出其规律，即可.
【详解】因为，，，所以，
则，，则，，则，，则，
由此可得数列的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，，，
整个数列各项为：，
四个一组，以4为周期，
则
所以．
故答案为：
15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 .
【答案】135
【分析】根据题意可知所求数为能被15整除余1，得出数列的通项公式，然后再求解项数即可.
【详解】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数，
故，又，解得.
故答案为：135.
16．若等差数列的首项，，记，则 ．
【答案】
【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解.
【详解】因为，，则，
可得等差数列的前n项和，
令，解得，且，
当时，则；
当时，
；
综上所述：.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，求下列数列的通项公式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用可得答案；
（2）利用可得答案.
【详解】（1）当时，，
又满足，
故；
（2）当时，，
当时，，
故
18．已知数列满足且.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由，构造出，再求出，可得结论；
（2）由（1）和等比数列的通项公式可得解.
【详解】（1）证明：，
又，
是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知
.
【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题.
19．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
(1)设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入
【分析】（1）根据题意可知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列前项和公式即可求解；
（2）根据（1）中解析式列出不等式，令，化简不等式即可求解.
【详解】（1）2021年投入为1000万元，第年投入为万元，
所以年内的总投入为
，
2021年收入为500万元，第2年收入为万元，第年收入为万元
所以年内的总收入为．
（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即，化简得，
设，代入上式并整理得，
解此不等式，得或（舍去）．即，
不等式两边取常用对数可得，即
所以，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入.
20．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)-若数列的前项和为，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得，利用累乘法即可得数列的通项公式；
(2)利用裂项相消可得,即可证明.
【详解】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所以.
得证.
21．在数列中，，是与的等差中项，
(1)求证：数列是等差数列
(2)令，求数列的前项的和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求得，利用等差数列的定义可证得结论成立；
（2）求出，可计算得出，利用并项求和法可求得数列的前项的和.
【详解】（1）解：由题意知是与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
所以，，
又由，可得，所以数列是首项和公差均为的等差数列.
（2）解：由（1）可得：，
，
对任意的，，
因此，
.
22．若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）应用已知得出,根据等差等比通项公式计算即可;
（2）应用错位相减法计算求解.
【详解】（1）∵数列满足，，且．∴，解得．
又∵数列是公差为2的等差数列，∴．
∴，，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即．
（2）数列满足，
数列的前n项和，
∴，
两式相减得，
∴
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