专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（5分）（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a+b+c<130且abc<72000B．a+b+c>130且abc>72000
C．a+b+c≤130且abc≤72000D．a+b+c≥130且abc≥72000
【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130，由体积不超过72000cm3得abc≤72000.
故选：C.
2．（5分）（2023秋·江苏常州·高一校考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若a>b>0，则ba>b+ma+m
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b>0，则a+1b>b+1a
D．若a>b>0，则a3+2b3>3ab2
【解题思路】对于A，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于CD，作差判断
【解答过程】对于A，若a=2,b=1,m=1，则ba=12，b+ma+m=23，此时ba对于B，由ac2>bc2可得c≠0，则c2>0，所以由不等式的性质可得a>b，所以B正确，
对于C，因为a>b>0，所以a−b>0,ab>0，
所以a+1b−b+1a=a−b+1b−1a=(a−b)+a−bab=(a−b)1+1ab>0，
所以a+1b>b+1a，所以C正确，
对于D，因为a>b>0，所以a−b>0,a+2b>0，
所以a3+2b3−3ab2=a3−b3+3b2(b−a)=(a−b)(a2+ab+b2)−3b2(a−b)
=(a−b)(a2+ab−2b2)=(a−b)2(a+2b)>0，
所以a3+2b3>3ab2，所以D正确，
故选：A.
3．（5分）（2023春·福建泉州·高二校联考期末）若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．ab≥2B．a+b≤2
C．2a+1b≥3D．a2+b2≥2
【解题思路】根据不等式串21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【解答过程】对于选项A：∵ab≤a+b22=1，当且仅当a=b时取等号，∴A错误；
对于选项B： a+b2≤a+b2=1，a+b≤2，∴B错误；
对于选项C ：2a+1b=12a+b2a+1b=123+2ba+ab≥3+222，
因为3+222<3 ∴C错误；
对于选项D：∵a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号，
∴a2+b2≥2，D正确；
故选：D.
4．（5分）（2023·江苏南通·模拟预测）已知a−b∈0,1,a+b∈2,4，则4a−2b的取值范围是（ ）
A．1,5B．2,7C．1,6D．0,9
【解题思路】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【解答过程】设4a−2b=ma−b+na+b=m+na−m−nb，
所以m+n=4m−n=2，解得m=3n=1，
所以4a−2b=3a−b+a+b，
又a−b∈0,1,a+b∈2,4，
所以3a−b∈0,3,4a−2b∈2,7，故A，C，D错误.
故选：B.
5．（5分）（2023春·山东青岛·高二统考期末）已知正实数a,b满足2a+4b−ab=0，则a+2b的最小值为（ ）
A．162B．16C．82D．8
【解题思路】根据题意，化简2(a+2b)=ab=12⋅a⋅2b，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】正实数a,b满足2a+4b−ab=0，
可得2(a+2b)=ab=12⋅a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2，当且仅当a=2b时，等号成立，
即(a+2b)2−16(a+2b)≥0，解得a+2b≥16，
所以a+2b的最小值为16.
故选：B.
6．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A．B．
C．D．
【解题思路】由3个二次之间的关系，可得a<0，函数y＝ax2－x－c的两个零点为−2,1，选出图象.
【解答过程】因为不等式的解集为{x|－2故选：B.
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为−3,1，则不等式bx2+ax+c<0的解集为（ ）
A．1,2B．−1,2C．−12,1D．−32,1
【解题思路】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系a>0−3+1=−ba−3×1=ca，得到a,b,c的关系，代入不等式化简求解.
【解答过程】∵ax2+bx+c<0的解集是−3,1，∴a>0−3+1=−ba−3×1=ca，得b=2a,c=−3a，
则不等式bx2+ax+c<0⇔2ax2+ax−3a<0，
即2x2+x−3<0，解得：−32所以不等式的解集是−32,1.
故选：D.
8．（5分）（2023·高一课时练习）已知对任意m∈1,3，mx2−mx−1<−m+5恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．67,+∞B．−∞,1−52∪1+52,+∞
C．−∞,67D．1−52,1+52
【解题思路】面对含参不等式，利用分离变量法，由于m是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案.
【解答过程】对任意m∈1,3，不等式mx2−mx−1<−m+5恒成立，
即对任意m∈1,3，mx2−x+1<6恒成立，
所以对任意m∈1,3，x2−x+1<6m恒成立，
所以对任意m∈1,3，x2−x+1<6mmin=2，
所以x2−x+1<2，解得1−52故实数x的取值范围是1−52,1+52．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·山东滨州·高二统考期末）已知实数a,b,c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a>b，则ac>bc
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若aab>b2
D．若b>a>0，则a+cb+c>ab
【解题思路】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.
【解答过程】对于选项A，当c≤0时，若a>b，则ac≤bc，错误；
对于选项B，若ac2>bc2，故c2>0，则a>b，正确；
对于选项C，若a0,ab−b2=ba−b>0，
所以a2>ab>b2，正确；
对于选项D,a+cb+c−ab=(a+c)b−a(b+c)(b+c)b=(b−a)c(b+c)b，
当b>a>0时，b−a>0，但是c的符号与b+c的符号不确定，
所以a+cb+c与ab大小关系不确定，错误.
故选：BC.
10．（5分）（2023·黑龙江佳木斯·校考模拟预测）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,−2∪3,+∞，则下列选项中正确的是（ ）
A．a<0
B．不等式bx+c>0的解集是x|x<−6
C．a+b+c>0
D．不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)
【解题思路】根据给定的解集，用a表示出b,c，再逐项判断作答.
【解答过程】不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,−2∪3,+∞，则−2,3是方程ax2+bx+c=0的根，且a>0，
则−ba=1,ca=−6,a>0，即b=−a,c=−6a,a>0，A错误；
不等式bx+c>0化为−ax−6a>0，解得x<−6，即不等式bx+c>0的解集是x|x<−6，B正确；
a+b+c=−6a<0，C错误；
不等式cx2−bx+a<0化为−6ax2+ax+a<0，即6x2−x−1>0，解得x<−13或x>12，
所以不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)，D正确.
故选：BD.
11．（5分）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式ax2+(1−2a2)x−2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．−1B．32C．74D．2
【解题思路】由题意先判断出a>0，写出不等式的解集，由不等式ax+1x−2a<0的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为1,2,3,计算求解即可.
【解答过程】不等式化简为ax+1x−2a<0的解集中恰有3个正整数，
当a=0时，不等式化为x<0，则解集中有无数个整数.
当a<0时，不等式ax+1x−2a<0的解集中有无数个正整数，故A错误；
所以a>0，−1a<0，2a>0，所以−1a<2a
所以不等式的解集为：x|−1a则由不等式ax+1x−2a<0的解集中恰有3个正整数，
则这3个整数中一定为：1,2,3，
则3<2a≤4，解得32故a可取74和2，故C,D正确，AB错误；
故选：CD.
12．（5分）（2023·广东东莞·统考模拟预测）下列说法正确的有( )
A．若x<12，则2x+12x−1的最大值是−1
B．若x∈R，则x2+4+1x2+4的最小值为2
C．若a，b，c均为正实数，且a+b+c=2，则1a+b+4b+c+1a+c的最小值是4
D．已知a>0，b>0，且1a+2b=1，则a(b−1)最小值是3+22
【解题思路】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【解答过程】对于A，由x<12可得1−2x>0，
由基本不等式可得y=2x+12x−1=−[(1−2x)+11−2x]+1≤−2(1−2x)⋅11−2x+1=−1，
当且仅当1−2x=11−2x即x=0时取等号，
所以y=2x+12x−1的最大值为−1，故A正确；
对于B，x2+4+1x2+4≥2x2+4⋅1x2+4=2，
当且仅当x2+4=1x2+4时等号成立，但此时x无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故B错误；
对于C，由a+b+c=2可得1a+b+4b+c+1c+a=14(1a+b+4b+c+1c+a)(a+b+b+c+a+c)
=14[6+b+ca+b+4(a+b)b+c+4(a+c)b+c+b+cc+a+a+ca+b+a+bc+a]
≥14(6+2b+ca+b⋅4(a+b)b+c+24(a+c)b+c⋅b+cc+a+2a+ca+b⋅a+bc+a)=4，
当且仅当b+c=2(a+b)=2(c+a)且a+b+c=2，即a=0，b=1，c=1时，等号成立，
由于a，b，c均为正实数，则等号取不到，故C错误；
对于D，由1a+2b=1可得ab=2a+b，
代入到a(b−1)=ab−a=a+b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，
当且仅当ba=2ab即a=2+1,b=2+2时，等号成立，故D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）设a、b为实数，比较两式的值的大小：a2+b2 ≥ 2a−2b−2 （用符号>,≥,<,≤或=填入划线部分）．
【解题思路】利用作差比较法求得正确答案.
【解答过程】因为a2+b2−(2a−2b−2)=(a−1)2+(b+1)2≥0，a=1,b=−1时等号成立，
所以a2+b2≥2a−2b−2．
故答案为：≥.
14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数fx的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且fx在区间−1,4上的最大值为12，则函数fx的解析式为 fx=2x2−10x ．
【解题思路】根据函数特征设fx=axx−5,a>0然后判断并求解f−1=6a=12,a=2从而解得函数解析式.
【解答过程】设fx=axx−5,a>0其对称轴为直线x=52，又fx在区间−1,4上的最大值为12，
所以f−1=6a=12,a=2，所以fx=2x2－10x.
故答案为：fx=2x2−10x.
15．（5分）（2023·全国·高一假期作业）某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少5t2万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是 {t|3≤t≤5} ．
【解题思路】根据题意列式，解不等式可得结果.
【解答过程】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y=2400(20−52t)×t%=60(8t−t2)，
令y≥900，即60(8t−t2)≥900，解得3≤t≤5.
故答案为：{t|3≤t≤5}.
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知x≥4，y≥4，且x+4y−xy=0，若不等式a≤x+y恒成立，则a的最大值为 283 ．
【解题思路】根据x+4y−xy=0对x+y进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.
【解答过程】当x=4时，x+4y−xy=4+4y−4y=0不成立，所以x≠4.
由x+4y−xy=0得y=xx−4.
因为x≥4，y≥4，所以xx−4≥4，解得4所以a≤x+y=x+xx−4 =x+x−4+4x−4 =x+1+4x−4 =x−4+4x−4+5，
令t=x−4，则0令f(t)=t+4t+5，0由对勾函数的图象知，f(t)在0,43上单调递减，故f(t)min=f43 =43+3+5=283.
所以a≤283，即a的最大值为283.
故答案为：283.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）不等关系是数学中一种最基本的数量关系，生活中随处可见.例如：“已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
【解题思路】根据糖水变甜了可以得到不等式a+mb+m>ab，使用作差法比较大小即可.
【解答过程】b克糖水中有a克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为ab
若再添加m克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为a+mb+m
根据生活常识可知，加糖后的糖水更甜，所以糖在糖水中占的“比例”就越大，因此a+mb+m>ab，
所以这一事实表示为一个不等式是：a+mb+m>abb>a>0,m>0。
证明过程如下:
a+mb+m−ab=ba+m−ab+mbb+m=mb−abb+m，
∵b>a>0，∴b−a>0，
∵m>0，∴b+m>0，∴mb−abb+m>0，
∴a+mb+m−ab>0，∴a+mb+m>ab.
18．（12分）（2023·高一课时练习）判断下列说法的正误，并说明理由：
(1)y=3x+12x的最小值是12；
(2)当x>0时，2x+1x2≥22x⋅1x2=22x，等号成立当且仅当2x=1x2，即x=312时，2x+1x2取到最小值.
【解题思路】（1）分x>0、x<0讨论，利用基本不等式可得答案；
（2）利用基本不等式可得答案.
【解答过程】（1）错误，理由如下，
由y=3x+12x得x≠0，
当x>0时，y=3x+12x≥23x×12x=12，当且仅当3x=12x即x=2等号成立；
当x<0时，y=3x+12x=−−3x+12−x≤−23x×12x=−12，当且仅当−3x=12−x即x=−2等号成立；
故错误；
（2）错误，理由如下，
当x>0时，2x+1x2=x+x+1x2≥33x⋅x⋅1x2=3，当且仅当x=1x2即x=1等号成立，故错误.
19．（12分）（2023·高一课时练习）证明下列不等式
（1）若bc-ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd
（2）已知a＞0，b＞0，求证：a2b+b2a≥a+b
【解题思路】（1）运用作差比较法得a+bb−c+dd≤0，由此可得证；
（2）作差，判断符号得a2b+b2a−a+b≥0，由此可得证.
【解答过程】证明:（1）因为a+bb−c+dd=a+bd−c+dbbd=ad−bcbd，又bc-ad≥0，bd＞0，
所以ad−bcbd≤0，所以a+bb≤c+dd；
（2）因为a2b+b2a−a+b=a3+b3−a2b−ab2ab=a+ba−b2ab，
又a＞0，b＞0，
所以a+ba−b2ab≥0，
所以a2b+b2a≥a+b.
20．（12分）（2023春·湖南长沙·高二统考期末）设函数fx=ax2−2a+1x+ba,b∈R.
(1)若不等式fx<0的解集为1,2，求a，b的值；
(2)若b=4，求不等式fx>0的解集.
【解题思路】（1）由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；
（2）b=4时，不等式可化为ax−2x−2>0，讨论a=0,a>0,a<0，分别求出不等式的解集.
【解答过程】（1）函数fx=ax2−2a+1x+ba,b∈R，
由不等式fx<0的解集为1,2，得a>0，
且1和2是方程ax2−2a+1x+b=0的两根；
则1+2=2(a+1)a1×2=ba，解得a=2，b=4
（2）b=4时，不等式为ax2−2a+1x+4>0，
可化为ax−2x−2>0，则
当a=0时，不等式为−2x−2>0，解得x<2
当a>0时，不等式化为x−2ax−2>0，令2a=2，得a=1，
当a>1时，2a<2，解不等式得x<2a或x>2；
当a=1时，不等式为x−22>0，解得x≠2；
当02，解不等式得x<2或x>2a；
当a<0时，不等式化为x−2ax−2<0，且2a<2，
解不等式得2a综上知：当a>1时，不等式的解集为−∞,2a∪2,+∞；
当a=1时，不等式的解集为xx≠2；
当0当a=0时，不等式的解集为−∞,2；
当a<0时，不等式的解集为2a,2.
21．（12分）（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知a,b是实数.
(1)求证：a2+b2≥2a−2b−2，并指出等号成立的条件；
(2)若ab=1，求a2+4b2的最小值.
【解题思路】（1）作差法证明即可；
（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.
【解答过程】（1）证明：因为a2+b2−(2a−2b−2)=a2+b2−2a+2b+2
=(a−1)2+(b+1)2≥0，
所以a2+b2≥2a−2b−2，
当且仅当a=1，b=−1时，不等式中等号成立.
（2）a2+4b2=a2+(2b)2≥2⋅a⋅(2b)=4ab=4，
当且仅当a=2b，即a=2b=22或a=−2b=−22时，不等式中等号成立.
所以a2+4b2的最小值为4.
22．（12分）（2022秋·四川南充·高一统考期末）已知函数f(x)=xx2+k(k>0).
(1)若不等式fx−m>0的解集为x|x<−2或x>−1，若不等式mx2+x+km>0的解集；
(2)若∃x∈12,2，使得fx>13成立，求实数k的取值范围.
【解题思路】（1）根据不等式fx−m>0的解集求得m,k，进而求得不等式mx2+x+km>0的解集.
（2）利用分离常数法化简不等式fx>13，结合二次函数的性质求得正确答案.
【解答过程】（1）不等式fx−m>0，即xx2+k−m>0，由于k>0，
所以x>mx2+k,mx2−x+mk<0，其解集为x|x<−2或x>−1，
所以m<0，且−2+−1=1m−2×−1=mkm=k，解得m=−13,k=2，
所以不等式mx2+x+km>0即−13x2+x−23>0，
即x2−3x+2<0，解得1所以不等式mx2+x+km>0的解集为1,2.
（2）依题意，∃x∈12,2，使得fx>13成立，
∃x∈12,2，使得xx2+k>13成立，由于k>0，
所以3x>x2+k,k<−x2+3x，
由于函数y=−x2+3x的开口向下，对称轴为x=32，
所以k<−322+3×32=94，
即k的取值范围是−∞,94.