资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题2.4 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题2.7 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题3.1 函数的概念及其表示-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
专题2.5 一元二次函数、方程和不等式全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）
展开
这是一份专题2.5 一元二次函数、方程和不等式全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题25一元二次函数方程和不等式全章八类必考压轴题举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题25一元二次函数方程和不等式全章八类必考压轴题举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
考点1
利用作差法、作商法比较大小
1．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，M=(2p+1)(p−3)，N=(p−6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤ND．M≥N
【解题思路】作出M，N的差，变形并判断符号作答.
【解答过程】M−N=(2p+1)(p−3)−[(p−6)(p+3)+10]=p2−2p+5=(p−1)2+4>0，
所以M>N.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）若0A．1a−b>1bB．1a<1bC．a>bD．−a<−b<0
【解题思路】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误.
【解答过程】A：1a−b−1b=b−(a−b)b(a−b)=2b−ab(a−b)，又00，但2b−a无法确定符号，错误；
B：1a÷1b=ba<1，0C：由0(b)2>0，即a>b，正确；
D：由0故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0,c Y（填“>”“<”或“=”）．
【解题思路】利用作差法可得答案.
【解答过程】X−Y=ea−c2−eb−d2=eb+a−c−db+c−a−da−c2b−d2.
因a>b>0,c0,−c−d>0⇒b+a−c−d>0.
b−a<0,c−d<0⇒b+c−a−d<0，又e<0，a−c2>0,b−d2>0.
则eb+a−c−db+c−a−da−c2b−d2>0，即X>Y.
故答案为：>.
4．（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2−b2a2+b2与a−ba+b的大小
【解题思路】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【解答过程】∵a>b>0⇒a+b>0,a−b>0，
∴a2−b2a2+b2=a+ba−ba2+b2>0,a−ba+b>0，
∴a2−b2a2+b2a−ba+b=(a+b)2a2+b2=1+2aba2+b2>1，
∴a2−b2a2+b2>a−ba+b.
5．（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知x<1，比较x3−1与2x2−2x的大小；
（2）已知a>0，试比较a与1a的大小.
【解题思路】（1）（2）利用作差法判断即可.
【解答过程】（1）x3−1−2x2−2x=x−1x2+x+1−2xx−1=x−1x2−x+1
=x−1x−122+34，
∵x<1，∴x−1<0，又x−122+34>0，∴x−1x−122+34<0，
所以x3−1<2x2−2x.
（2）∵a−1a=a2−1a=a−1a+1a，
又∵a>0，a+1>0，
∴当a>1时，a−1a+1a>0，所以a>1a；
当a=1时，a−1a+1a=0，所以a=1a；
当0综上，当a>1时，a>1a；当a=1时，a=1a；当0考点2
利用不等式的性质求取值范围
1．（2023·全国·高一假期作业）已知0A．4,8B．6,10C．4,10D．6,12
【解题思路】首先用a−b和a+b表示3a+b，再根据条件的范围，求解3a+b的范围.
【解答过程】设3a+b=xa−b+ya+b=x+ya+y−xb，
得x+y=3y−x=1，解得：x=1y=2，
所以3a+b=a−b+2a+b，
因为0所有3a+b的范围是4,10.
故选：C.
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知2A．6<2x+y<9B．−1⩽x−y<1C．2<2x−y<3D．4【解题思路】根据不等式的性质，依次分析即可判断.
【解答过程】对于A，2对于B，2对于C，4<2x<6，−3<−y<−2，则有1<2x−y<4，C错误；
对于D，2故选：C.
3．（2023·全国·高三对口高考）已知−1≤a+b≤1,−1≤a−b≤1，则2a+3b的取值范围是 [−3,3] ．
【解题思路】利用待定系数法设2a+3b=λ(a+b)+μ(a−b)，得到方程组，解出λ,μ，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【解答过程】设2a+3b=λ(a+b)+μ(a−b),则λ+μ=2,λ−μ=3,解得λ=52,μ=−12.
故2a+3b=52(a+b)−12(a−b)，
由−1≤a+b≤1,故−52≤52(a+b)≤52，
由−1≤a−b ≤1,故−12≤−12(a−b)≤12，
所以2a+3b∈[−3,3].
故答案为：[−3,3].
4．（2023·全国·高三专题练习）已知－1【解题思路】由不等式的基本性质求解即可.
【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
则m+n=3m−n=2，所以m=52n=12，即3x+2y=52x+y+12x−y.
又∵－1∴−32<52x+y+12x−y<232，即−32<3x+2y<232，
∴3x＋2y的取值范围为−32,232.
5．（2022·全国·高一专题练习）设2【解题思路】根据不等式的基本性质，先求出a+3b与2a−b的范围，再由可乘性得出ab的范围即可.
【解答过程】∵2∴4<2a<14，3<3b<6，−2<−b<−1，12<1b<1，
∴5∴1故5考点3
由基本不等式求最值
1．（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2b+1的最小值为（ ）
A．78B．109
C．910D．89
【解题思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代换求解.
【解答过程】解：因为a+2b=6，
所以a+2+2b+2=10，
所以1a+2+2b+1=1101a+2+42b+2a+2+2b+2≥1105+22b+2a+2⋅4a+22b+2=910，
当且仅当2b+2=2a+2，即a=43，b=73时，等号成立．
故选：C.
2．（2023·全国·高一假期作业）若x>4，则y=x+1x−4的最值情况是（ ）
A．有最大值−6B．有最小值6C．有最大值−2D．有最小值2
【解题思路】利用基本不等式可得答案.
【解答过程】若x>4，则y=x+1x−4=x−4+1x−4+4≥2x−41x−4+4=6，
当且仅当x−4=1x−4即x=5等号成立，
所以若x>4时，y=x+1x−4有最小值为6，无最大值.
故选：B.
3．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若a>0,b>0，且a22+b2=4，则a1+b2的最大值为 522 .
【解题思路】将a22+b2=4变为a2+2(1+b2)=10，则可将a1+b2化为a2⋅2(1+b2)2，利用基本不等式即可求得答案.
【解答过程】由a>0,b>0，且a22+b2=4可得a2+2(1+b2)=10，
则a1+b2=a2⋅2(1+b2)2≤22×a2+2(1+b2)2=22×102=522，
当且仅当a2=2(1+b2)，结合a22+b2=4，即a=5,b=62时取等号，
即a1+b2的最大值为522，
故答案为：522.
4．（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知x>0，y>0，x+y=2，求4x+1y的最小值；
（2）已知0【解题思路】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由题设知1−4x>0，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.
【解答过程】（1）∵x>0，y>0且x+y=2，
∴4x+1y=124x+1yx+y =125+4yx+xy≥125+24yx⋅xy=92，
当且仅当4yx=xy，即x=43，y=23时，等号成立，
∴4x+1y的最小值为92；
（2）∵00，
∴y=x1−4x =144x1−4x≤12⋅4x+1−4x2=14，
当且仅当4x=1−4x即x=18时等号成立.
∴y=x1−4x的最大值14.
5．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若正实数a， b满足a+b=1．
(1)求ab的最大值；
(2)求4a+1+1b的最小值.
【解题思路】（1）由基本不等式推论可得答案；
（2）注意到4a+1+1b=12a+1+b4a+1+1b，后由基本不等式可得答案.
【解答过程】（1）因a>0,b>0,a+b=1，a+b≥2ab，
则ab≤a+b24=14，当且仅当a=b=12时取等号，
则ab的最大值为14；
（2）4a+1+1b=124a+1+1b(a+1+b)=125+4ba+1+a+1b≥12(5+24)=92，
当且仅当4ba+1=a+1b，即a=13，b=23时取等号，
则4a+1+1b的最小值为92.
考点4
基本不等式的恒成立问题
1．（2023秋·广东广州·高一校考期末）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y−m≥0恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．447B．275C．143D．92
【解题思路】将x+y=1变成x+1+y=2，可得4x+1+1y=x+1+y2⋅4x+1+1y，展开后利用基本不等式求解即可．
【解答过程】解：∵x>0，y>0，x+y=1，
∴x+1+y=2，
∴4x+1+1y=12x+1+y⋅4x+1+1y=121+4+4yx+1+x+1y≥125+24=92
当且仅当4yx+1=x+1y，即x+1=2y时等号成立，解得x=13，y=23时等号成立，
因为不等式4x+1+1y−m≥0恒成立，
所以4x+1+1ymin≥m，即m≤92
所以，实数m的最大值为92.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 x、y满足x+y−xy=0， 且xy>0， 若不等式4x+9y−t≥0恒成立， 则实数t的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
【解题思路】由x+y−xy=0得到1x+1y=1，从而利用基本不等式“1”的妙用求出4x+9y的最小值，从而得到t≤25.
【解答过程】因为x+y−xy=0，所以1x+1y=1，
∴4x+9y=(4x+9y)1x+1y=13+9yx+4xy≥13+29yx⋅4xy=25，
当且仅当9yx=4xy， 即x=52，y=53时，等号成立．
因不等式4x+9y−t≥0恒成立，只需4x+9ymin≥t，
因此t≤25，故实数t的最大值为25．
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意x≥0，k1+x⩾1+x恒成立，则实数k的取值范围是 [2,+∞) .
【解题思路】由1+x>0可得原不等式等价于k≥1+x1+x，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【解答过程】因为x≥0，所以1+x>0，所以不等式可化为k≥1+x1+x，
设μ=1+x1+x，x≥0，则μ>0，则μ2=1+x+2x1+x=1+2x1+x，
因为x≥0，所以1+x⩾2x，当且仅当x=1时取等号，
所以μ2=1+2x1+x⩽1+1+x1+x=2，即0<μ⩽2，所以k∈[2,+∞)，
故答案为：[2,+∞).
4．（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）已知x>0，y>0.
(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；
(2)若x+y=1，若1x+1y+m>12m2恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）依题意利用基本不等式可得7−xy≥6xy，令t=xy(t>0)，再解关于t的一元二次不等式，即可求出t的最大值，即可得解；
（2）利用乘“1”法及基本不等式求出1x+1y的最小值，依题意可得1x+1ymin>12m2−m，再转化为关于m的一元二次不等式，解得即可.
【解答过程】（1）
解：因为x>0，y>0，x+9y+xy=7，
所以7−xy=x+9y≥2x⋅9y=6xy，当且仅当x=9y时取等号，
令t=xy(t>0)，则7−t2≥6t，即t2+6t−7≤0⇔(t+7)(t−1)≤0，解得−7≤t≤1，
又t>0，所以0由x=9yx+9y+xy=7及x>0，y>0，解得x=3，y=13，
故当x=3，y=13时，xy的最大值为1，所以3xy的最大值为3．
（2）
解：因为x>0，y>0，x+y=1，
所以1x+1y=1x+1yx+y=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4，当且仅当yx=xy，即x=y=12时取等号,
因为1x+1y+m>12m2恒成立，即1x+1ymin>12m2−m，
所以4>12m2−m，所以m+2m−4<0，解得−25．（2022·高一单元测试）已知关于x的不等式ax2−x−2<0的解集为x|−1(1)求a，b的值；
(2)当x>0,y>0，且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
【解题思路】（1）首先根据题意得到x1=−1，x2=b为方程ax2−x−2=0的根，且a>0，再利用根系关系求解即可.
（2）首先根据题意得到k2+k+2≤2x+ymin，再利用基本不等式求出2x+y的最小值即可.
【解答过程】（1）因为关于x的不等式ax2−x−2<0的解集为x|−1所以x1=−1，x2=b为方程ax2−x−2=0的根，且a>0.
所以−1+b=1a−1×b=−2a，解得a=1，b=2.
（2）因为2x+y≥k2+k+2恒成立，
所以k2+k+2≤2x+ymin即可.
因为1x+2y=1，所以2x+y=2x+y1x+2y=4+4xy+yx≥24+4=8，
当且仅当4xy=yx，即x=1,y=2时取等号.
所以k2+k+2≤8，解得−3≤k≤2.
考点5
基本不等式的有解问题
1．（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4A．(−1,4)B．(−4,1)C．(−∞,−4)∪(1,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,+∞)
【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到m2+3m>4，解一元二次不等式即可.
【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y+1x=1，
所以x+y4=x+y4⋅4y+1x=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即y=4x=8时等号成立，
所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或m>1，
所以m的取值范围是(−∞,−4)∪(1,+∞)．
故选：C.
2．（2022秋·高一单元测试）若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+y4A．(−1,4)B．(−4,1)
C．(−∞,−1)∪(4,+∞)D．(−∞,0)∪(3,+∞)
【解题思路】由题意可得x+y4=x+y41x+4y，化简后利用基本不等式可求出x+y4的最小值，然后将问题转化为m2−3m大于x+y4的最小值，从而可求出实数m的取值范围
【解答过程】因为两个正实数x,y满足1x+4y=1，
所以x+y4=x+y41x+4y=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即x=2,y=8时取等号，
因为不等式x+y4所以m2−3m大于x+y4的最小值，即m2−3m>4，
解得m<−1或m>4，
即实数m的取值范围是(−∞,−1)∪(4,+∞)，
故选：C.
3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程x+y=kx+y有解，则实数k的取值范围是 1,2 .
【解题思路】分离参数后平方，转化为求x+y+2xyx+y的取值范围，利用均值不等式求解即可.
【解答过程】由x+y=kx+y有解可化为k=x+yx+y有解，
而k2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤1+2xy2xy=2，当且仅当x=y时，等号成立，
又k2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y>1，
所以10，
可得1故答案为：1,2.
4．（2022·高一课时练习）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．
(1)求xy的最小值；
(2)若关于x的方程x(y+1)−42=m2−m有解，求实数m的取值范围．
【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；
(2)结合已知条件对x(y+1)−42进行变形，构造成可以使用基本不等式的形式，利用基本不等式求其值域即可﹒
【解答过程】（1）
∵x，y为正实数，x+2y−xy=0，
∴x+2y=xy≥22xy
解得：xy≥8，
当且仅当x=2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，
则xy的最小值为8．
（2）
由x+2y−xy=0得：x+2y=xy，则2x+1y=1，
∴x(y+1)−42=xy+x−42
=2(x+y)−42=2(x+y)2x+1y−42
2xy+2yx+3−42 ≥2(22+3)−42=6，
当且仅当x=2y，即x=2+2，y=2+1时，等号成立﹒
∴m2−m≥6，解得：m≥3或m≤−2．
5．（2023·高一课时练习）(1)已知x,y∈R+,求x+yx+y的最大值;
(2)求满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值,并说明理由.
【解题思路】(1)由已知得x+yx+y2=1+2xyx+y≤2,由此能求出x+yx+y的最大值.
(2)设a=m>0,b=n>0,a=m2,b=n2,由此利用均值定理能求出满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值.
【解答过程】(1)∵x,y∈R+,
∴x+yx+y2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2,
当且仅当x=y时,对等号,
∴当x=y时,x+yx+y的最大值为2.
(2)∵a,b∈R+,
∴设a=m>0,b=n>0,a=m2,b=n2,
∴2m+n≥22mn=22mn,
∵满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值,
∴2m+n≥k4m2+n2≥k24m2n2=2kmn,
∴2k≤22,解得k≤2,
∴满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值为2.
考点6
三个“二次”关系的应用
1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c≥0的解集为（ ）
A．x0B．∅C．xx≠x0D．R
【解题思路】数形结合求出不等式的解集.
【解答过程】ax2+bx+c≥0，即y≥0．
根据图象知，只有在x=x0时y=0，x取其它任何实数时y都是负值.
故选：A．
2．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知二次函数y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式yA．9B．6C．3D．13
【解题思路】根据二次函数最值可求得a2=4b，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程x1−x2=6，解方程求得结果.
【解答过程】∵y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，∴4b−a24=0，即a2=4b，
∵y∴x2+ax+b−c=0的两根分别为x1=m，x2=m+6，则x1+x2=−ax1x2=b−c，
∴x1−x2=x1+x22−4x1x2=a2−4b+4c=6，又a2=4b，
∴4c=6，解得：c=9.
故选：A.
3．（2022·全国·高一专题练习）二次函数fx=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为 −1,3 ．
【解题思路】根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到f3=f−1=0，再根据函数的单调性，即可得解；
【解答过程】解：∵f−2=f4，∴对称轴为x=1，
∴f3=f−1=0，
又∵fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴ax2+bx+c<0的解集为−1,3．
故答案为：−1,3.
4．（2023春·浙江·高二校联考期中）已知函数fx=x2+ax+a，x∈R
(1)若方程fx=0有两根，且两根为x1,x2，求x12+x22的取值范围；
(2)已知P=0,1，关于x的不等式fx>0的解为Q，若P∩Q=∅，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由Δ>0，求得a的范围，再由韦达定理和x12+x22=x1+x22−2x1x2，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由题意，结合二次函数的图象与性质，得到f0<0f1<0，即可求解.
【解答过程】（1）解：由fx=0，即x2+ax+a=0，
因为fx=0有两根，可得Δ=a2−4a≥0，解得a≥4或a≤0，
且x1+x2=−a,x1x2=a，
则x12+x22=x1+x22−2x1x2=a2−2a=(a−1)2−1，
因为a≥4或a≤0，可得(a−1)2−1≥0，所以x12+x22值范围为0,+∞.
（2）解：因为fx=x2+ax+a，
由P=0,1，fx>0的解为Q，且P∩Q=∅，可得f0=a<0f1=2a+1<0，
解得a<−12，即实数a的取值范围是(−∞,−12).
5．（2022秋·吉林长春·高一联考阶段练习）已知二次函数y=ax2+b−8x−a−ab，令y>0，解得−3（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于x的不等式ax2+bx+c≤0恒成立时，求实数c的范围.
【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解集是−3（2）根据题意，得出不等式−3x2+5x+c≤0恒成立，则Δ≤0，解不等式即可求出实数c的范围.
【解答过程】解：（1）由题可知，y=ax2+b−8x−a−ab>0，解得：−3则-3，2是方程ax2+b−8x−a−ab=0的两个根，且a<0，
所以由根与系数之间的关系得a<0−3+2=8−ba−3×2=−a−aba，解得a=−3b=5，
所以二次函数的解析式为：y=−3x2−3x+18；
（2）由于不等式ax2+bx+c≤0恒成立，即−3x2+5x+c≤0恒成立，
则Δ=25+12c≤0，解得：c≤−2512，
所以实数c的范围为cc≤−2512.
考点7
一元二次不等式的恒成立问题
1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）不等式ax2−ax+a+1>0对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．0,+∞
C．−∞,−43∪0,+∞D．−∞,−43∪0,+∞)
【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠0时a>0Δ<0，即可求出参数的取值范围.
【解答过程】①当a=0时，1>0成立，
②当a≠0时，只需a>0Δ=a2−4aa+1<0，解得a>0，
综上可得a≥0，即实数a的取值范围为0,+∞.
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤6B．−6≤m≤0
C．m≥0D．0≤m≤6
【解题思路】令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【解答过程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∈[13,12]，
∴yx∈[1,3]，
又∵mx2−xy+y2≥0，且x∈[2,3],x2>0，
可得m≥yx−yx2，
令t=yx∈1,3，则原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，
∵y=t−t2的开口向下，对称轴t=12，
则当t=1时，y=t−t2取到最大值ymax=1−12=0，
故实数m的取值范围是m≥0.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）对∀x∈R,a2−4x2＋a＋2x−1<0恒成立，则实数a的范围为 －2,65 .
【解题思路】分a2−4=0，a2−4≠0两种情况，利用判别式可得答案.
【解答过程】对∀x∈R,a2−4x2+a+2x−1<0恒成立．
① 当a2−4=0时，可得a=±2.
若a=−2，则有－1<0，合乎题意；
若a=2，则有4x−1<0，解得x<14，不合乎题意；
②若a2−4≠0，则a2−4<0Δ=a+22+4a2−4<0，解得－2综上，实数a的范围为－2,65.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x2−2ax，gx=ax+3−a，a∈R．
(1)若对∀x∈R，fx+gx>0，求a的取值范围；
(2)若对∀x∈R，fx>0或gx>0，求a的取值范围．
【解题思路】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；
（2）根据a的取值分情况讨论即可求解.
【解答过程】（1）由题意可得fx+gx=x2−ax+3−a>0恒成立，
则Δ=−a2−4×1×3−a<0即a2+4a−12=a+6a−2<0，解得−6故a的取值范围为−6,2.
（2）当a=0时，fx=x2，gx=3>0，符合题意；
当a<0时，由fx=x2−2ax>0，解得x<2a或x>0，
故当2a≤x≤0时，gx=ax+3−a>0恒成立，而gx在R上为减函数，故只需g0=3−a>0，而由a<0，得3−a>0，故a<0符合题意；
当a>0时，由fx=x2−2ax>0，解得x<0或x>2a，
故当0≤x≤2a时，gx=ax+3−a>0恒成立，而gx在R上为增函数，故只需g0=3−a>0，解得0综上a的取值范围是−∞,3．
5．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）函数f(x)=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
【解题思路】（1）当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，利用判别式Δ≤0，求解即可；
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3−a，该二次函数对称轴为x=−a2，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当−a2≤−2时，当−2<−a2<2时，当−a2≥2时，分别求g(x)min≥0，解不等式求实数a的取值范围；
（3）令ℎ(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即ℎ(a)≥0恒成立，函数ℎ(a)是关于a的一次函数，只需ℎ(4)≥0ℎ(6)≥0，求解不等式得到实数x的取值范围.
【解答过程】（1）当x∈R时，f(x)=x2+ax+3≥a恒成立，即x2+ax+3−a≥0恒成立，
则Δ=a2−43−a≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2
所以实数a的取值范围是−6,2．
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3−a，即g(x)min≥0，该二次函数对称轴为x=−a2，分如下三种情况讨论：
①当−a2≤−2，即a≥4时，函数g(x)在−2,2上单调递增，g(x)min=g(−2)=4−2a+3−a≥0，解得a≤73，此时无解；
②当−2<−a2<2，即−4③当−a2≥2，即a≤−4时，函数g(x)在−2,2上单调递减，g(x)min=g(2)=4+2a+3−a≥0，解得a≥−7，此时−7≤a≤−4；
综上可知，实数a的取值范围是−7,2．
（3）令ℎ(a)=xa+x2+3，当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，即ℎ(a)≥0恒成立，
函数ℎ(a)是关于a的一次函数，其图像在x∈R上是单调的，所以要ℎ(a)≥0，只需ℎ(4)≥0ℎ(6)≥0，即x2+4x+3≥0x2+6x+3≥0，解得x≤−3−6或x≥−3+6，
所以实数x的取值范围是−∞,−3−6∪−3+6,+∞.
考点8
一元二次不等式的有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．−1,+∞B．−1,+∞
C．−34+∞D．0,+∞
【解题思路】将不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，转化为不等式m>x2−2x在x∈12,2上有解求解.
【解答过程】因为不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，
所以不等式m>x2−2x在x∈12,2上有解，
令t=x2−2x=x−12−1，则tmin=−1，
所以m>−1，
所以实数m的取值范围是−1,+∞
故选：B.
2．（2023秋·安徽淮北·高一校考期末）关于x的不等式x2−2m+1x+4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围是（ ）
A．52,3B．52,3C．−1,−12D．−1,−12∪52,3
【解题思路】不等式化为(x−2)(x−2m)⩽0，讨论2m⩽2和2m>2时，求出不等式的解集，从而求得m的取值范围．
【解答过程】原不等式可化为(x−2)(x−2m)⩽0，
若m⩽1，则不等式的解是[2m，2]，
不等式的解集中不可能有4个正整数，
所以m>1，不等式的解是[2，2m]；
所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；
令5⩽2m<6，解得52⩽m<3；
所以m的取值范围是[52，3)．
故选：B．
3．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数y=m+1x2−mx+m−1m∈R，若不等式y<0的解集非空，则m的取值范围是 −∞,233 .
【解题思路】对m+1进行分类讨论即可解决问题.
【解答过程】①当m+1=0时，即m=−1时，
y=x−2<0⇒x<2，解集不是空集；
②当m+1<0时，即m<−1时，
此时函数为开口向下的二次函数，
故不等式y<0的解集非空；
③当m+1>0时，若不等式y<0的解集非空，则
m+1>0Δ=m2−4m+1m−1>0，
即m>−13m2−4<0⇒m>−1−233综上，m的取值范围是−∞,233.
故答案为：−∞,233.
4．（2022秋·四川泸州·高二统考期末）已知函数fx=2x2−2ax+1．
(1)解关于x的不等式fx>a+1−x；
(2)若不等式fx<0在x∈−2,0上有解，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意得对a的值进行分类讨论可得不等式的解集；
（2）将条件转化为a【解答过程】（1）fx>a+1−x，即2x2−2ax+1>a+1−x，
所以 2x2−2a−1x−a>0，
所以 2x+1x−a>0，
①当a<−12时不等式的解为x−12，
②当a=−12时不等式的解为x≠−12,x∈R，
③当a>−12时不等式的解为x<−12或x>a，
综上：原不等式的解集为
当a<−12时xx−12，
当a=−12时xx≠−12，
当a>−12时xx>a或x<−12．
（2）不等式fx<0在x∈−2,0上有解，
即2x2−2ax+1<0在x∈−2,0上有解，
所以a所以a因为−x+−12x≥2−x−12x=2，
所以x+12x≤−2，
当且仅当−x=−12x，即x=−22时取等号，
所以a<−2.
5．（2023秋·浙江湖州·高一期末）已知函数f(x)=x−2，g(x)=x2−2mx+4(m∈R)．
(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得gx1=fx2，求m的取值范围；
(3)若m=−1，对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式gx0−x02+n≥k成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）将不等式g(x)>f(x)恒成立转化为x2−(2m+1)x+6>0恒成立，再根据Δ<0即可求m的取值范围；
（2）将题中条件转化为gx1的值域包含于fx2的值域，再根据区间[1,2]的两端点的函数值g(1),g(2)可得到y=g(x)的对称轴x=m在区间[1,2]之间，从而可得到g(x)min=g(m)，进而可求得m的取值范围；
（3）将不等式gx0−x02+n≥k成立化简得到不等式2x0+4+n≥k成立，再构造函数ℎx0=2x0+4+n，从而得到ℎx0max≥k，再构造函数φ(n)=ℎx0max=maxn,8+n，根据φ(n)min即可求解．
【解答过程】（1）由题意得x2−2mx+4>x−2恒成立，
得x2−(2m+1)x+6>0恒成立，即Δ=(2m+1)2−24<0
解得m∈−6−12,6−12．
（2）当x1∈[1,2],gx1∈D，当x2∈[4,5],fx2∈[2,3]，
由题意得D⊆[2,3]
∴2≤g(1)=1−2m+4≤32≤g(2)=4−4m+4≤3得54≤m≤32，
此时y=g(x)对称轴为x=m∈[1,2]，
故g(x)min=g(m)∈[2,3]，即2≤g(m)=m2−2m2+4≤3得1≤m≤2或−2≤m≤−1，
综上可得m∈54,2．
（3）由题意得对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式2x0+4+n≥k成立，
令ℎx0=2x0+4+n，由题意得ℎx0max≥k，
而ℎx0max=maxℎ(−2),ℎ(2)=maxn,8+n，
设φ(n)=maxn,8+n，则φ(n)min≥k，
而φ(n)=maxn,8+n=n,n<−4n+8,n≥−4，
易得φ(n)min=φ(−4)=4≥k，故k≤4．x
−4
−3
−2
3
4
y
21
12
5
0
5
考点1
利用作差法、作商法比较大小
1．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，M=(2p+1)(p−3)，N=(p−6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为（ ）
A．M
C．M≤ND．M≥N
【解题思路】作出M，N的差，变形并判断符号作答.
【解答过程】M−N=(2p+1)(p−3)−[(p−6)(p+3)+10]=p2−2p+5=(p−1)2+4>0，
所以M>N.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）若0
【解题思路】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误.
【解答过程】A：1a−b−1b=b−(a−b)b(a−b)=2b−ab(a−b)，又0
B：1a÷1b=ba<1，0
D：由0
3．（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0,c
【解题思路】利用作差法可得答案.
【解答过程】X−Y=ea−c2−eb−d2=eb+a−c−db+c−a−da−c2b−d2.
因a>b>0,c
b−a<0,c−d<0⇒b+c−a−d<0，又e<0，a−c2>0,b−d2>0.
则eb+a−c−db+c−a−da−c2b−d2>0，即X>Y.
故答案为：>.
4．（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2−b2a2+b2与a−ba+b的大小
【解题思路】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【解答过程】∵a>b>0⇒a+b>0,a−b>0，
∴a2−b2a2+b2=a+ba−ba2+b2>0,a−ba+b>0，
∴a2−b2a2+b2a−ba+b=(a+b)2a2+b2=1+2aba2+b2>1，
∴a2−b2a2+b2>a−ba+b.
5．（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知x<1，比较x3−1与2x2−2x的大小；
（2）已知a>0，试比较a与1a的大小.
【解题思路】（1）（2）利用作差法判断即可.
【解答过程】（1）x3−1−2x2−2x=x−1x2+x+1−2xx−1=x−1x2−x+1
=x−1x−122+34，
∵x<1，∴x−1<0，又x−122+34>0，∴x−1x−122+34<0，
所以x3−1<2x2−2x.
（2）∵a−1a=a2−1a=a−1a+1a，
又∵a>0，a+1>0，
∴当a>1时，a−1a+1a>0，所以a>1a；
当a=1时，a−1a+1a=0，所以a=1a；
当0
利用不等式的性质求取值范围
1．（2023·全国·高一假期作业）已知0
【解题思路】首先用a−b和a+b表示3a+b，再根据条件的范围，求解3a+b的范围.
【解答过程】设3a+b=xa−b+ya+b=x+ya+y−xb，
得x+y=3y−x=1，解得：x=1y=2，
所以3a+b=a−b+2a+b，
因为0
故选：C.
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知2
【解答过程】对于A，2
对于D，2
3．（2023·全国·高三对口高考）已知−1≤a+b≤1,−1≤a−b≤1，则2a+3b的取值范围是 [−3,3] ．
【解题思路】利用待定系数法设2a+3b=λ(a+b)+μ(a−b)，得到方程组，解出λ,μ，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【解答过程】设2a+3b=λ(a+b)+μ(a−b),则λ+μ=2,λ−μ=3,解得λ=52,μ=−12.
故2a+3b=52(a+b)−12(a−b)，
由−1≤a+b≤1,故−52≤52(a+b)≤52，
由−1≤a−b ≤1,故−12≤−12(a−b)≤12，
所以2a+3b∈[−3,3].
故答案为：[−3,3].
4．（2023·全国·高三专题练习）已知－1
【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
则m+n=3m−n=2，所以m=52n=12，即3x+2y=52x+y+12x−y.
又∵－1
∴3x＋2y的取值范围为−32,232.
5．（2022·全国·高一专题练习）设2
【解答过程】∵2
∴5
由基本不等式求最值
1．（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2b+1的最小值为（ ）
A．78B．109
C．910D．89
【解题思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代换求解.
【解答过程】解：因为a+2b=6，
所以a+2+2b+2=10，
所以1a+2+2b+1=1101a+2+42b+2a+2+2b+2≥1105+22b+2a+2⋅4a+22b+2=910，
当且仅当2b+2=2a+2，即a=43，b=73时，等号成立．
故选：C.
2．（2023·全国·高一假期作业）若x>4，则y=x+1x−4的最值情况是（ ）
A．有最大值−6B．有最小值6C．有最大值−2D．有最小值2
【解题思路】利用基本不等式可得答案.
【解答过程】若x>4，则y=x+1x−4=x−4+1x−4+4≥2x−41x−4+4=6，
当且仅当x−4=1x−4即x=5等号成立，
所以若x>4时，y=x+1x−4有最小值为6，无最大值.
故选：B.
3．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若a>0,b>0，且a22+b2=4，则a1+b2的最大值为 522 .
【解题思路】将a22+b2=4变为a2+2(1+b2)=10，则可将a1+b2化为a2⋅2(1+b2)2，利用基本不等式即可求得答案.
【解答过程】由a>0,b>0，且a22+b2=4可得a2+2(1+b2)=10，
则a1+b2=a2⋅2(1+b2)2≤22×a2+2(1+b2)2=22×102=522，
当且仅当a2=2(1+b2)，结合a22+b2=4，即a=5,b=62时取等号，
即a1+b2的最大值为522，
故答案为：522.
4．（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知x>0，y>0，x+y=2，求4x+1y的最小值；
（2）已知0
（2）由题设知1−4x>0，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.
【解答过程】（1）∵x>0，y>0且x+y=2，
∴4x+1y=124x+1yx+y =125+4yx+xy≥125+24yx⋅xy=92，
当且仅当4yx=xy，即x=43，y=23时，等号成立，
∴4x+1y的最小值为92；
（2）∵0
∴y=x1−4x =144x1−4x≤12⋅4x+1−4x2=14，
当且仅当4x=1−4x即x=18时等号成立.
∴y=x1−4x的最大值14.
5．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若正实数a， b满足a+b=1．
(1)求ab的最大值；
(2)求4a+1+1b的最小值.
【解题思路】（1）由基本不等式推论可得答案；
（2）注意到4a+1+1b=12a+1+b4a+1+1b，后由基本不等式可得答案.
【解答过程】（1）因a>0,b>0,a+b=1，a+b≥2ab，
则ab≤a+b24=14，当且仅当a=b=12时取等号，
则ab的最大值为14；
（2）4a+1+1b=124a+1+1b(a+1+b)=125+4ba+1+a+1b≥12(5+24)=92，
当且仅当4ba+1=a+1b，即a=13，b=23时取等号，
则4a+1+1b的最小值为92.
考点4
基本不等式的恒成立问题
1．（2023秋·广东广州·高一校考期末）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y−m≥0恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．447B．275C．143D．92
【解题思路】将x+y=1变成x+1+y=2，可得4x+1+1y=x+1+y2⋅4x+1+1y，展开后利用基本不等式求解即可．
【解答过程】解：∵x>0，y>0，x+y=1，
∴x+1+y=2，
∴4x+1+1y=12x+1+y⋅4x+1+1y=121+4+4yx+1+x+1y≥125+24=92
当且仅当4yx+1=x+1y，即x+1=2y时等号成立，解得x=13，y=23时等号成立，
因为不等式4x+1+1y−m≥0恒成立，
所以4x+1+1ymin≥m，即m≤92
所以，实数m的最大值为92.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 x、y满足x+y−xy=0， 且xy>0， 若不等式4x+9y−t≥0恒成立， 则实数t的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
【解题思路】由x+y−xy=0得到1x+1y=1，从而利用基本不等式“1”的妙用求出4x+9y的最小值，从而得到t≤25.
【解答过程】因为x+y−xy=0，所以1x+1y=1，
∴4x+9y=(4x+9y)1x+1y=13+9yx+4xy≥13+29yx⋅4xy=25，
当且仅当9yx=4xy， 即x=52，y=53时，等号成立．
因不等式4x+9y−t≥0恒成立，只需4x+9ymin≥t，
因此t≤25，故实数t的最大值为25．
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意x≥0，k1+x⩾1+x恒成立，则实数k的取值范围是 [2,+∞) .
【解题思路】由1+x>0可得原不等式等价于k≥1+x1+x，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【解答过程】因为x≥0，所以1+x>0，所以不等式可化为k≥1+x1+x，
设μ=1+x1+x，x≥0，则μ>0，则μ2=1+x+2x1+x=1+2x1+x，
因为x≥0，所以1+x⩾2x，当且仅当x=1时取等号，
所以μ2=1+2x1+x⩽1+1+x1+x=2，即0<μ⩽2，所以k∈[2,+∞)，
故答案为：[2,+∞).
4．（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）已知x>0，y>0.
(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；
(2)若x+y=1，若1x+1y+m>12m2恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）依题意利用基本不等式可得7−xy≥6xy，令t=xy(t>0)，再解关于t的一元二次不等式，即可求出t的最大值，即可得解；
（2）利用乘“1”法及基本不等式求出1x+1y的最小值，依题意可得1x+1ymin>12m2−m，再转化为关于m的一元二次不等式，解得即可.
【解答过程】（1）
解：因为x>0，y>0，x+9y+xy=7，
所以7−xy=x+9y≥2x⋅9y=6xy，当且仅当x=9y时取等号，
令t=xy(t>0)，则7−t2≥6t，即t2+6t−7≤0⇔(t+7)(t−1)≤0，解得−7≤t≤1，
又t>0，所以0
故当x=3，y=13时，xy的最大值为1，所以3xy的最大值为3．
（2）
解：因为x>0，y>0，x+y=1，
所以1x+1y=1x+1yx+y=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4，当且仅当yx=xy，即x=y=12时取等号,
因为1x+1y+m>12m2恒成立，即1x+1ymin>12m2−m，
所以4>12m2−m，所以m+2m−4<0，解得−2
(2)当x>0,y>0，且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
【解题思路】（1）首先根据题意得到x1=−1，x2=b为方程ax2−x−2=0的根，且a>0，再利用根系关系求解即可.
（2）首先根据题意得到k2+k+2≤2x+ymin，再利用基本不等式求出2x+y的最小值即可.
【解答过程】（1）因为关于x的不等式ax2−x−2<0的解集为x|−1
所以−1+b=1a−1×b=−2a，解得a=1，b=2.
（2）因为2x+y≥k2+k+2恒成立，
所以k2+k+2≤2x+ymin即可.
因为1x+2y=1，所以2x+y=2x+y1x+2y=4+4xy+yx≥24+4=8，
当且仅当4xy=yx，即x=1,y=2时取等号.
所以k2+k+2≤8，解得−3≤k≤2.
考点5
基本不等式的有解问题
1．（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4
【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到m2+3m>4，解一元二次不等式即可.
【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y+1x=1，
所以x+y4=x+y4⋅4y+1x=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即y=4x=8时等号成立，
所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或m>1，
所以m的取值范围是(−∞,−4)∪(1,+∞)．
故选：C.
2．（2022秋·高一单元测试）若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+y4
C．(−∞,−1)∪(4,+∞)D．(−∞,0)∪(3,+∞)
【解题思路】由题意可得x+y4=x+y41x+4y，化简后利用基本不等式可求出x+y4的最小值，然后将问题转化为m2−3m大于x+y4的最小值，从而可求出实数m的取值范围
【解答过程】因为两个正实数x,y满足1x+4y=1，
所以x+y4=x+y41x+4y=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即x=2,y=8时取等号，
因为不等式x+y4
解得m<−1或m>4，
即实数m的取值范围是(−∞,−1)∪(4,+∞)，
故选：C.
3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程x+y=kx+y有解，则实数k的取值范围是 1,2 .
【解题思路】分离参数后平方，转化为求x+y+2xyx+y的取值范围，利用均值不等式求解即可.
【解答过程】由x+y=kx+y有解可化为k=x+yx+y有解，
而k2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤1+2xy2xy=2，当且仅当x=y时，等号成立，
又k2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y>1，
所以1
可得1
4．（2022·高一课时练习）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．
(1)求xy的最小值；
(2)若关于x的方程x(y+1)−42=m2−m有解，求实数m的取值范围．
【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；
(2)结合已知条件对x(y+1)−42进行变形，构造成可以使用基本不等式的形式，利用基本不等式求其值域即可﹒
【解答过程】（1）
∵x，y为正实数，x+2y−xy=0，
∴x+2y=xy≥22xy
解得：xy≥8，
当且仅当x=2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，
则xy的最小值为8．
（2）
由x+2y−xy=0得：x+2y=xy，则2x+1y=1，
∴x(y+1)−42=xy+x−42
=2(x+y)−42=2(x+y)2x+1y−42
2xy+2yx+3−42 ≥2(22+3)−42=6，
当且仅当x=2y，即x=2+2，y=2+1时，等号成立﹒
∴m2−m≥6，解得：m≥3或m≤−2．
5．（2023·高一课时练习）(1)已知x,y∈R+,求x+yx+y的最大值;
(2)求满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值,并说明理由.
【解题思路】(1)由已知得x+yx+y2=1+2xyx+y≤2,由此能求出x+yx+y的最大值.
(2)设a=m>0,b=n>0,a=m2,b=n2,由此利用均值定理能求出满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值.
【解答过程】(1)∵x,y∈R+,
∴x+yx+y2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2,
当且仅当x=y时,对等号,
∴当x=y时,x+yx+y的最大值为2.
(2)∵a,b∈R+,
∴设a=m>0,b=n>0,a=m2,b=n2,
∴2m+n≥22mn=22mn,
∵满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值,
∴2m+n≥k4m2+n2≥k24m2n2=2kmn,
∴2k≤22,解得k≤2,
∴满足2a+b≥k4a+b对a,b∈R+有解的实数k的最大值为2.
考点6
三个“二次”关系的应用
1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c≥0的解集为（ ）
A．x0B．∅C．xx≠x0D．R
【解题思路】数形结合求出不等式的解集.
【解答过程】ax2+bx+c≥0，即y≥0．
根据图象知，只有在x=x0时y=0，x取其它任何实数时y都是负值.
故选：A．
2．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知二次函数y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式y
【解题思路】根据二次函数最值可求得a2=4b，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程x1−x2=6，解方程求得结果.
【解答过程】∵y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，∴4b−a24=0，即a2=4b，
∵y
∴x1−x2=x1+x22−4x1x2=a2−4b+4c=6，又a2=4b，
∴4c=6，解得：c=9.
故选：A.
3．（2022·全国·高一专题练习）二次函数fx=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为 −1,3 ．
【解题思路】根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到f3=f−1=0，再根据函数的单调性，即可得解；
【解答过程】解：∵f−2=f4，∴对称轴为x=1，
∴f3=f−1=0，
又∵fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴ax2+bx+c<0的解集为−1,3．
故答案为：−1,3.
4．（2023春·浙江·高二校联考期中）已知函数fx=x2+ax+a，x∈R
(1)若方程fx=0有两根，且两根为x1,x2，求x12+x22的取值范围；
(2)已知P=0,1，关于x的不等式fx>0的解为Q，若P∩Q=∅，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由Δ>0，求得a的范围，再由韦达定理和x12+x22=x1+x22−2x1x2，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由题意，结合二次函数的图象与性质，得到f0<0f1<0，即可求解.
【解答过程】（1）解：由fx=0，即x2+ax+a=0，
因为fx=0有两根，可得Δ=a2−4a≥0，解得a≥4或a≤0，
且x1+x2=−a,x1x2=a，
则x12+x22=x1+x22−2x1x2=a2−2a=(a−1)2−1，
因为a≥4或a≤0，可得(a−1)2−1≥0，所以x12+x22值范围为0,+∞.
（2）解：因为fx=x2+ax+a，
由P=0,1，fx>0的解为Q，且P∩Q=∅，可得f0=a<0f1=2a+1<0，
解得a<−12，即实数a的取值范围是(−∞,−12).
5．（2022秋·吉林长春·高一联考阶段练习）已知二次函数y=ax2+b−8x−a−ab，令y>0，解得−3
（2）当关于x的不等式ax2+bx+c≤0恒成立时，求实数c的范围.
【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解集是−3
【解答过程】解：（1）由题可知，y=ax2+b−8x−a−ab>0，解得：−3
所以由根与系数之间的关系得a<0−3+2=8−ba−3×2=−a−aba，解得a=−3b=5，
所以二次函数的解析式为：y=−3x2−3x+18；
（2）由于不等式ax2+bx+c≤0恒成立，即−3x2+5x+c≤0恒成立，
则Δ=25+12c≤0，解得：c≤−2512，
所以实数c的范围为cc≤−2512.
考点7
一元二次不等式的恒成立问题
1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）不等式ax2−ax+a+1>0对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．0,+∞
C．−∞,−43∪0,+∞D．−∞,−43∪0,+∞)
【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠0时a>0Δ<0，即可求出参数的取值范围.
【解答过程】①当a=0时，1>0成立，
②当a≠0时，只需a>0Δ=a2−4aa+1<0，解得a>0，
综上可得a≥0，即实数a的取值范围为0,+∞.
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤6B．−6≤m≤0
C．m≥0D．0≤m≤6
【解题思路】令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【解答过程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∈[13,12]，
∴yx∈[1,3]，
又∵mx2−xy+y2≥0，且x∈[2,3],x2>0，
可得m≥yx−yx2，
令t=yx∈1,3，则原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，
∵y=t−t2的开口向下，对称轴t=12，
则当t=1时，y=t−t2取到最大值ymax=1−12=0，
故实数m的取值范围是m≥0.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）对∀x∈R,a2−4x2＋a＋2x−1<0恒成立，则实数a的范围为 －2,65 .
【解题思路】分a2−4=0，a2−4≠0两种情况，利用判别式可得答案.
【解答过程】对∀x∈R,a2−4x2+a+2x−1<0恒成立．
① 当a2−4=0时，可得a=±2.
若a=−2，则有－1<0，合乎题意；
若a=2，则有4x−1<0，解得x<14，不合乎题意；
②若a2−4≠0，则a2−4<0Δ=a+22+4a2−4<0，解得－2
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x2−2ax，gx=ax+3−a，a∈R．
(1)若对∀x∈R，fx+gx>0，求a的取值范围；
(2)若对∀x∈R，fx>0或gx>0，求a的取值范围．
【解题思路】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；
（2）根据a的取值分情况讨论即可求解.
【解答过程】（1）由题意可得fx+gx=x2−ax+3−a>0恒成立，
则Δ=−a2−4×1×3−a<0即a2+4a−12=a+6a−2<0，解得−6
（2）当a=0时，fx=x2，gx=3>0，符合题意；
当a<0时，由fx=x2−2ax>0，解得x<2a或x>0，
故当2a≤x≤0时，gx=ax+3−a>0恒成立，而gx在R上为减函数，故只需g0=3−a>0，而由a<0，得3−a>0，故a<0符合题意；
当a>0时，由fx=x2−2ax>0，解得x<0或x>2a，
故当0≤x≤2a时，gx=ax+3−a>0恒成立，而gx在R上为增函数，故只需g0=3−a>0，解得0
5．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）函数f(x)=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
【解题思路】（1）当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，利用判别式Δ≤0，求解即可；
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3−a，该二次函数对称轴为x=−a2，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当−a2≤−2时，当−2<−a2<2时，当−a2≥2时，分别求g(x)min≥0，解不等式求实数a的取值范围；
（3）令ℎ(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即ℎ(a)≥0恒成立，函数ℎ(a)是关于a的一次函数，只需ℎ(4)≥0ℎ(6)≥0，求解不等式得到实数x的取值范围.
【解答过程】（1）当x∈R时，f(x)=x2+ax+3≥a恒成立，即x2+ax+3−a≥0恒成立，
则Δ=a2−43−a≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2
所以实数a的取值范围是−6,2．
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3−a，即g(x)min≥0，该二次函数对称轴为x=−a2，分如下三种情况讨论：
①当−a2≤−2，即a≥4时，函数g(x)在−2,2上单调递增，g(x)min=g(−2)=4−2a+3−a≥0，解得a≤73，此时无解；
②当−2<−a2<2，即−4
综上可知，实数a的取值范围是−7,2．
（3）令ℎ(a)=xa+x2+3，当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，即ℎ(a)≥0恒成立，
函数ℎ(a)是关于a的一次函数，其图像在x∈R上是单调的，所以要ℎ(a)≥0，只需ℎ(4)≥0ℎ(6)≥0，即x2+4x+3≥0x2+6x+3≥0，解得x≤−3−6或x≥−3+6，
所以实数x的取值范围是−∞,−3−6∪−3+6,+∞.
考点8
一元二次不等式的有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．−1,+∞B．−1,+∞
C．−34+∞D．0,+∞
【解题思路】将不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，转化为不等式m>x2−2x在x∈12,2上有解求解.
【解答过程】因为不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，
所以不等式m>x2−2x在x∈12,2上有解，
令t=x2−2x=x−12−1，则tmin=−1，
所以m>−1，
所以实数m的取值范围是−1,+∞
故选：B.
2．（2023秋·安徽淮北·高一校考期末）关于x的不等式x2−2m+1x+4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围是（ ）
A．52,3B．52,3C．−1,−12D．−1,−12∪52,3
【解题思路】不等式化为(x−2)(x−2m)⩽0，讨论2m⩽2和2m>2时，求出不等式的解集，从而求得m的取值范围．
【解答过程】原不等式可化为(x−2)(x−2m)⩽0，
若m⩽1，则不等式的解是[2m，2]，
不等式的解集中不可能有4个正整数，
所以m>1，不等式的解是[2，2m]；
所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；
令5⩽2m<6，解得52⩽m<3；
所以m的取值范围是[52，3)．
故选：B．
3．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数y=m+1x2−mx+m−1m∈R，若不等式y<0的解集非空，则m的取值范围是 −∞,233 .
【解题思路】对m+1进行分类讨论即可解决问题.
【解答过程】①当m+1=0时，即m=−1时，
y=x−2<0⇒x<2，解集不是空集；
②当m+1<0时，即m<−1时，
此时函数为开口向下的二次函数，
故不等式y<0的解集非空；
③当m+1>0时，若不等式y<0的解集非空，则
m+1>0Δ=m2−4m+1m−1>0，
即m>−13m2−4<0⇒m>−1−233
故答案为：−∞,233.
4．（2022秋·四川泸州·高二统考期末）已知函数fx=2x2−2ax+1．
(1)解关于x的不等式fx>a+1−x；
(2)若不等式fx<0在x∈−2,0上有解，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意得对a的值进行分类讨论可得不等式的解集；
（2）将条件转化为a
所以 2x2−2a−1x−a>0，
所以 2x+1x−a>0，
①当a<−12时不等式的解为x
②当a=−12时不等式的解为x≠−12,x∈R，
③当a>−12时不等式的解为x<−12或x>a，
综上：原不等式的解集为
当a<−12时xx
当a=−12时xx≠−12，
当a>−12时xx>a或x<−12．
（2）不等式fx<0在x∈−2,0上有解，
即2x2−2ax+1<0在x∈−2,0上有解，
所以a
所以x+12x≤−2，
当且仅当−x=−12x，即x=−22时取等号，
所以a<−2.
5．（2023秋·浙江湖州·高一期末）已知函数f(x)=x−2，g(x)=x2−2mx+4(m∈R)．
(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得gx1=fx2，求m的取值范围；
(3)若m=−1，对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式gx0−x02+n≥k成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）将不等式g(x)>f(x)恒成立转化为x2−(2m+1)x+6>0恒成立，再根据Δ<0即可求m的取值范围；
（2）将题中条件转化为gx1的值域包含于fx2的值域，再根据区间[1,2]的两端点的函数值g(1),g(2)可得到y=g(x)的对称轴x=m在区间[1,2]之间，从而可得到g(x)min=g(m)，进而可求得m的取值范围；
（3）将不等式gx0−x02+n≥k成立化简得到不等式2x0+4+n≥k成立，再构造函数ℎx0=2x0+4+n，从而得到ℎx0max≥k，再构造函数φ(n)=ℎx0max=maxn,8+n，根据φ(n)min即可求解．
【解答过程】（1）由题意得x2−2mx+4>x−2恒成立，
得x2−(2m+1)x+6>0恒成立，即Δ=(2m+1)2−24<0
解得m∈−6−12,6−12．
（2）当x1∈[1,2],gx1∈D，当x2∈[4,5],fx2∈[2,3]，
由题意得D⊆[2,3]
∴2≤g(1)=1−2m+4≤32≤g(2)=4−4m+4≤3得54≤m≤32，
此时y=g(x)对称轴为x=m∈[1,2]，
故g(x)min=g(m)∈[2,3]，即2≤g(m)=m2−2m2+4≤3得1≤m≤2或−2≤m≤−1，
综上可得m∈54,2．
（3）由题意得对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式2x0+4+n≥k成立，
令ℎx0=2x0+4+n，由题意得ℎx0max≥k，
而ℎx0max=maxℎ(−2),ℎ(2)=maxn,8+n，
设φ(n)=maxn,8+n，则φ(n)min≥k，
而φ(n)=maxn,8+n=n,n<−4n+8,n≥−4，
易得φ(n)min=φ(−4)=4≥k，故k≤4．x
−4
−3
−2
3
4
y
21
12
5
0
5
相关试卷
专题4.7 指数函数与对数函数全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）： 这是一份专题4.7 指数函数与对数函数全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题47指数函数与对数函数全章八类必考压轴题举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题47指数函数与对数函数全章八类必考压轴题举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
专题4.3 对数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）： 这是一份专题4.3 对数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题43对数举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题43对数举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
专题4.1 指数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）： 这是一份专题4.1 指数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题41指数举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题41指数举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
