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- 专题6.12 平面向量及其应用全章综合测试卷(提高篇)-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测(人教A版必修第二册) 试卷 0 次下载
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专题6.11 平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测(人教A版必修第二册)
展开一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)
1.(5分)(2023·全国·高一专题练习)下列说法正确的个数是( )
(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量;
(2)零向量没有方向;
(3)向量的模一定是正数;
(4)非零向量的单位向量是唯一的.
A.0B.1C.2D.3
【解题思路】根据零向量与单位向量,向量的定义对各个项逐个判断即可求解.
【解答过程】对于(1),温度与功没有方向,不是向量,故(1)错误,
对于(2),零向量的方向是任意的,故(2)错误,
对于(3),零向量的模可能为0,不一点是正数,故(3)错误,
对于(4),非零向量的单位向量的方向有两个,故(4)错误,
故选:A.
2.(5分)(2023下·重庆·高一校联考阶段练习)10(a+b)−(a−b)=( )
A.9a+9bB.9a+11b
C.11a+9bD.11a+11b
【解题思路】根据数乘向量的运算律化简求解即可.
【解答过程】根据向量运算公式可知,10(a+b)−(a−b)=10a+10b−a+b=9a+11b.
故选:B.
3.(5分)(2023下·广东佛山·高一校考期中)如图,在△ABC中,AD=13AB,点E是CD的中点.设CA=a,CB=b,则EA=( )
A.23a−16bB.23a+16bC.16a−23bD.16a+23b
【解题思路】根据向量的线性运算即可求得答案.
【解答过程】由题意在△ABC中,AD=13AB,点E是CD的中点,
故EA=−AE=−12(AC+AD)=12CA−12AD
=12CA−16AB=12CA−16(CB−CA)
=23CA−16CB=23a−16b,
故选:A.
4.(5分)(2023上·江苏南通·高三校考阶段练习)已知非零向量a,b满足b=23a,且a⊥3a+b,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
【解题思路】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.
【解答过程】解:因为a⊥(3a+b),
所以a⋅(3a+b)=3|a|2+a⋅b=0,
设a与b的夹角为θ,
所以csθ=a⋅b|a||b|=−3|a|2|a|×23|a|=−32,
所以θ=5π6.
故选:D.
5.(5分)(2023上·全国·高三专题练习)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π3,a=3,b=2,则此三角形的解的情况是( )
A.有一解B.有两解
C.无解D.有解但解的个数不确定
【解题思路】运用正弦定理计算出sinB,结合a>b有sinA>sinB,计算出B即可得.
【解答过程】由asinA=bsinB,得sinB=b⋅sinAa=2×323=22,
又a>b ,A=π3,故B只能为锐角,即B=π4,
故该三角形只有一解.
故选:A.
6.(5分)(2023上·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习)设向量a=1,2,b=−3,5,c=4,x,若a+b=λcλ∈R,则λ+x的值为( )
A.−112B.112C.−292D.292
【解题思路】利用平面向量的坐标运算可得出关于λ、x的方程组,解出这两个未知数的值,即可求得结果.
【解答过程】因为a+b=λcλ∈R,即−2,7=λ4,x,所以,4λ=−2λx=7,解得λ=−12,x=−14,
因此,λ+x=−292.
故选:C.
7.(5分)(2023·陕西安康·校联考模拟预测)已知向量a=3,−4,b=−2,m,c=2,1,若a+b⊥c,则m=( )
A.−2B.2C.−6D.6
【解题思路】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可.
【解答过程】由题意可得 a+b=1,m−4,
因为a+b⊥c,所以a+b⋅c=2+m−4=0,解得m=2,
故选:B.
8.(5分)(2023上·北京·高二清华附中校考期中)在△ABC中,sinB=2sinA,∠C=105°,c=3+1,则△ABC的面积为( )
A.3−12B.3−1C.3+12D.3+1
【解题思路】应用正弦定理进行边角互化,得b=2a,再应用余弦定理出cs∠C,进而得到a,b,利用同角三角函数关系求出sin∠C,应用三角形面积公式S=12absinC即可求得.
【解答过程】由sinB=2sinA,根据正弦定理得:b=2a,
又∠C=105°,c=3+1,则
cs105∘=cs(60∘+45∘)=cs60∘cs45∘−sin60∘sin45∘
=12⋅22−32⋅22=2−64,
sin105∘=1−(cs105∘)2=2+64
cs∠C=a2+b2−c22ab=a2+2a2−4−2322a2= 2−64,
解得a=2,则b=2,
S△ABC=12absin∠C=12⋅2⋅2⋅2+64=3+12
故选:C.
二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)
9.(5分)(2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)下列命题中错误的有( )
A.起点相同的单位向量,终点必相同;
B.已知向量AB∥CD,则四边形ABCD为平行四边形;
C.若a//b,b//c,则a//c;
D.若a=b,b=c,则a=c
【解题思路】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件,判断各选项的结论.
【解答过程】单位向量的方向不确定,所以起点相同的,终点不一定相同,A选项错误;
四边形ABCD中,AB∥CD,则AB//CD且AB=CD,四边形ABCD为平行四边形,B选项正确;
当b=0时,满足a//b,b//c,但不能得到a//c,C选项错误;
由向量相等的条件可知,若a=b,b=c,则a=c,D选项正确.
故选:AC.
10.(5分)(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)已知向量a,b满足a+2b=a,a⋅b+a2=0且a=2,则( )
A.b=2B.a+b=0C.a−2b=6D.a⋅b=4
【解题思路】由a+2b=a,得a⋅b+b2=0,又a⋅b+a2=0且a=2,得b=2,a⋅b=−4,可得csa,b=a⋅bab=−1,a,b=π,有a+b=0,a−2b=6,可判断各选项.
【解答过程】因为a+2b=a,所以a+2b2=a2,即a2+4a⋅b+4b2=a2,整理可得a⋅b+b2=0,
再由a⋅b+a2=0,且a=2,可得a2=b2=4,所以b=2,a⋅b=−4,A选项正确,D选项错误;
csa,b=a⋅bab=−1,即向量a,b的夹角a,b=π,故向量a,b共线且方向相反,所以a+b=0,B选项正确;
a−2b=a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=4+16+16=6,C选项正确.
故选:ABC.
11.(5分)(2023上·黑龙江大庆·高三校考期末)已知a=t,−2,b=−4,t,则( )
A.若a//b,则t=±22
B.若a⊥b,则t=0
C.a−b的最小值为2
D.若向量a与向量b的夹角为钝角,则t的取值范围为(0,+∞)
【解题思路】利用向量平行垂直的坐标表示,向量模和夹角的坐标表示,通过计算验证各选项中的结论.
【解答过程】已知a=t,−2,b=−4,t,
若a//b,则t2=−2×−4=8,解得t=±22,A选项正确;
若a⊥b,则a⋅b=−4t−2t=0,解得t=0,B选项正确;
a−b=t+4,−2−t,a−b=t+42+−2−t2=2t+32+2,
当t=−3时,a−b有最小值2,C选项错误;
当t=22时,a=22,−2,b=−4,22,b=−2a,
向量a与向量b的夹角为180∘,D选项错误.
故选:AB.
12.(5分)(2023下·山东青岛·高一统考期中)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinA+C2=bsinA,a+c=3b,则下列结论一定正确的为( )
A.B=π3B.a:c=2:1
C.△ABC为直角三角形D.a:b=1:3
【解题思路】由asinA+C2=bsinA,利用正弦定理求得角B,再根据a+c=3b,利用余弦定理求得a,c的关系逐项判断.
【解答过程】解:因为asinA+C2=bsinA,
由正弦定理得sinAcsB2=sinBsinA,
因为A,B∈0,π,
化简得csB2=2sinB2csB2,
则sinB2=12,B2=π6,
所以B=π3,故A正确;
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB,
=a+c2−2ac−2accsB,
即a+c32=a+c2−3ac,即2a2−5ac+2c2=0,
解得a=2c或a=12c,
当a=2c时,b=3c,则b2+c2=a2,a:b=2:3,
当a=12c时,b=32c,则b2+a2=c2, a:b=1:3,故BD错误,C正确,
故选:AC.
三.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
13.(5分)(2023下·海南儋州·高一校考阶段练习)下列各量中,向量有: ③⑤⑥ .(填写序号)
①浓度;②年龄;③风力;④面积;⑤位移;⑥加速度.
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】向量是有大小有方向的量,故符合的有:风力,位移,加速度.
故答案为:③⑤⑥.
14.(5分)(2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习)已知在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,P为线段AC上任意一点,则PB⋅PC的取值范围是 −116,3 .
【解题思路】设PC=mAC,0≤m≤1,得到PB⋅PC=4m−182−116,求出取值范围.
【解答过程】设PC=mAC,0≤m≤1,则PB=PA+AB=m−1AC+AB,
故PB⋅PC=m−1AC+AB⋅mAC=mm−1AC2+mAB⋅AC
=4mm−1+mAB⋅ACcs∠BAC=4m2−4m+3m
=4m2−m=4m−182−116,
因为0≤m≤1,所以−18≤m−18≤78,
故−116≤4m−182−116≤3,PB⋅PC∈−116,3.
故答案为:−116,3.
15.(5分)(2023上·上海长宁·高三校考阶段练习)已知在△ABC中,E为AC的中点,D是线段BE上的动点,若AD=xAB+yAC,则2x+1y的最小值为 8 .
【解题思路】根据三点共线可得x+2y=1,利用“1”的技巧及均值不等式求解.
【解答过程】如图,
因为AD=xAB+yAC,E为AC的中点,
所以AD=xAB+2yAE,
因为B,E,D三点共线,所以x+2y=1(x>0,y>0),
2x+1y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8,
当且仅当4yx=xy,即x=12,y=14时等号成立,
故2x+1y的最小值为8.
故答案为:8.
16.(5分)(2023上·全国·高三专题练习)落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色,滕王阁,江南三大名楼之一,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古,如图所示,在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75米,则滕王阁的高度OP= 1515 米.
【解题思路】设OP=ℎ,ℎ>0,表示出OA,OB,OC,利用cs∠OBC=−cs∠OBA结合余弦定理列方程求解.
【解答过程】设OP=ℎ,ℎ>0,
则OA=OPtan30°=3ℎ,OB=OPtan60°=33ℎ,OC=OPtan45°=ℎ.
由∠OBC+∠OBA=π得cs∠OBC=−cs∠OBA,
由余弦定理得33ℎ2+752−ℎ22×75×33ℎ=−33ℎ2+752−3ℎ22×75×33ℎ,
解得ℎ=1515,即OP为1515米.
故答案为:1515.
四.解答题(共6小题,满分70分)
17.(10分)(2023·江苏·高一专题练习)如图,O是正六边形ABCDEF的中心,且OA=a,OB=b,OC=c.在以A,B,C,D,E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中,问:
(1)与a相等的向量有哪些?
(2)b的相反向量有哪些?
(3)与c的模相等的向量有哪些?
【解题思路】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念,结合图形进行分析求解即可.
【解答过程】(1)由相等向量定义知:与a相等的向量有DO,EF,CB.
(2)由相反向量定义知:b的相反向量有OE,CD,AF,BO.
(3)由向量模长定义知:与c的模相等的向量有CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA, AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC.
18.(12分)(2023上·山东德州·高三校考阶段练习)设向量a,b满足a=b=1,且a−2b=7.
(1)求a与b的夹角;
(2)求a+3b的大小.
【解题思路】(1)平方a−2b=7计算得到csθ=−12,得到答案.
(2)确定a+3b=a+3b2,计算得到答案.
【解答过程】(1)设a与b的夹角为θ0≤θ≤π,
a−2b=a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=7,则a2−4a⋅bcsθ+4b2=7,
将a=b=1代入得1−4csθ+4=7,csθ=−12,故θ=2π3;
(2)a+3b=a+3b2=a2+6a⋅b+9b2=a2+6a⋅bcsθ+9b2
将a=b=1代入得a+3b=1+6×−12+9=7,故a+3b=7.
19.(12分)(2023下·吉林长春·高一校考阶段练习)已知平面向量a→=1,x,b→=2x+3,−xx∈R
(1)若a⊥b,求x的值:
(2)若a∥b,求a−b
【解题思路】(1)直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解;
(2)先通过向量平行的坐标公式求出x,再通过向量的坐标运算求模.
【解答过程】(1)∵a⊥b,
∴a⋅b=2x+3−x2=0,
解得x=3或x=−1;
(2)∵a∥b,
∴−x=2x+3x,即2x2+4x=0解得x=0或x=−2,
当x=0时,a=1,0,b=3,0,a−b=−2,0,∴a−b=2;
当x=−2时,a=1,−2,b=−1,2,a−b=2,−4,∴a−b=4+16=25,
∴a−b=2或a−b=25.
20.(12分)(2023·全国·高三专题练习)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度AC=3km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点,船只在河内行驶的路程AB=2km,行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为v1,水流的速度v2的大小为v2=2km/h.求:
(1)v1;
(2)船在静水中速度v1与水流速度v2夹角的余弦值.
【解题思路】(1)由题意得v=v1+v2,结合已知利用余弦定理可求解;
(2)由(1)结合余弦定理可求出csv1,v2.
【解答过程】(1)∵河的宽度AC=3km,AB=2km,
∴sin∠ABC=ACAB=32,∴∠ABC=60°.
如图,设合速v=OE,v2=OF,船在静水中的速度v1=FE,则v=v1+v2,
由题意可得v=20.2=10kmh,且∠EOF=∠ABC=60°,
又v2=2km/h,∴在△EOF中,由余弦定理可得
v1=OE2+OF2−2×OE×OF×cs60°=100+4−2×10×2×12=221kmh
(2)由(1)知EF=221,OE=10,OF=2,
由余弦定理可得cs∠OFE=4+84−1002×2×221=−2114.
∴csv1,v2=cs180°−∠OFE=−cs∠OFE=2114.
21.(12分)(2023下·广西钦州·高一校考期中)如图,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.
(1)用AB,AC表示AD,BE;
(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.
【解题思路】(1)由BC=4BD得出BD=14AC−14AB,然后可得AD=34AB+14AC;根据AC=3CE得出AE=23AC,然后根据BE=AE−AB即可用AB,AC表示出BE;
(2)根据A,M,D三点共线得出AM=3λ4AB+λ4AC,然后根据平面向量基本定理得出m=3n;根据B,M,E三点共线得出AM=kAB+2(1−k)3AC,然后即可根据平面向量基本定理求出k的值,进而得出m+n的值.
【解答过程】(1)因为BC=4BD,所以BD=14BC=14AC−AB=14AC−14AB,
所以AD=AB+BD=AB+14AC−14AB=34AB+14AC.
因为AC=3CE,所以AE=23AC,
所以BE=AE−AB=23AC−AB.
(2)因为A,M,D三点共线,所以AM=λAD=3λ4AB+λ4AC.
因为AM=mAB+nAC,所以m=3λ4n=λ4,即m=3n.
因为B,M,E三点共线,所以AM=kAB+1−kAE=kAB+21−k3AC.
因为AM=mAB+nAC,所以m=kn=21−k3.
因为m=3n,所以k=3×231−k,解得k=23,
从而m=23,n=29,故m+n=89.
22.(12分)(2023·四川成都·校考模拟预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且atanA=b2sinB.
(1)求角A的值;
(2)若a=6,b=2c,求△ABC的面积.
【解题思路】(1)利用正弦定理边化角,结合角的范围求解即得.
(2)由(1)的结论,利用余弦定理求出c,再利用三角形面积公式计算即得.
【解答过程】(1)在△ABC中,atanA=b2sinB得acsAsinA=b2sinB,
由正弦定理得sinAcsAsinA=sinB2sinB.又sinA>0,sinB>0,
因此csA=12,而A∈0,π,所以A=π3.
(2)由(1)知A=π3,由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc,
而a=6,b=2c,则36=4c2+c2−2c2=3c2,解得c=23(舍去负值),所以b=2c=43,
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×43×23×32=63.
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专题7.7 复数全章综合测试卷(基础篇)-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测(人教A版必修第二册): 这是一份专题7.7 复数全章综合测试卷(基础篇)-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测(人教A版必修第二册),文件包含专题77复数全章综合测试卷基础篇人教A版必修第二册原卷版docx、专题77复数全章综合测试卷基础篇人教A版必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共13页, 欢迎下载使用。
专题7.5 复数全章九大基础题型归纳(基础篇)-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测(人教A版必修第二册): 这是一份专题7.5 复数全章九大基础题型归纳(基础篇)-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测(人教A版必修第二册),文件包含专题75复数全章九大基础题型归纳基础篇举一反三人教A版必修第二册原卷版docx、专题75复数全章九大基础题型归纳基础篇举一反三人教A版必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共23页, 欢迎下载使用。